ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación lineal que pasa por los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$. ¿ Cuál es la imagen de $0$ según dicha función ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,1]$ ) ? ¿ Cuál es la imagen de $1,4$ ( extrapolación a la derecha de $x=1$ ) ?.
SOLUCIÓN.
a)
La función de interpolación lineal es $f(x)=m\,x+k$, pues su gráfica es una recta; siendo $m$ la pendiente, y $k$ la ordenada en el origen de la misma. Para encontrar el valor de estos coeficientes, impondremos que los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$ estén en dicha recta, por lo cual deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}(-2)\cdot m &+& k&=&1\\1\cdot m &+& k&=& 3\end{matrix}\right.$$ que podemos resolver fácilmente sin más que restar la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, obteniendo la ecuación equivalente $$3m=2$$ de la cual deducimos que $m=\dfrac{2}{3}$. Sustituyendo dicho valor en cualquier de las dos ecuaciones originales, encontramos el valor de $k$, que resulta ser $k=\dfrac{7}{3}$. Así, la ecuación pedida es $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$
b)
La imagen de $x=0$ es $f(0)=\dfrac{2}{3} \cdot 0+\dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3}$
c)
La imagen de $x=1,4=\dfrac{7}{5}$ es $f(\frac{7}{5})=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{5}+\dfrac{7}{3} = \dfrac{49}{15}$
$\square$
