Los problemas de apuestas en los juegos de azar constituyeron importantes estímulos para los matemáticos en los orígenes de la teoría del cálculo de probabilidades ( siglo XVII ); así, por ejemplo, cabe destacar los problemas históricos que el escritor, matemático aficionado y jugador Antoine Gambaud, Chevalier de Méré ( 1607-1684 ) planteaba al gran matemático aficionado Pierre de Fermat ( 1601-1665 ) y al matemático y filósofo Blaise Pascal ( 1623-1684 ). Uno de estos problemas es el conocido como el problema de la partida inacabada ( no hablaremos de éste ahora ). Y, otro de ellos se conoce como el problema de las apuestas en el juego de los dados, del cual sí vamos a hablar a continuación. Dice así:
ENUNCIADO:
¿ Qué es más probable: a) sacar al menos un seis en 4 lanzamiento de un dado, o bien, b) sacar al menos dos seises en 24 lanzamientos de dos dados ? Esto es, ¿ cuál de las dos apuestas es la más ventajosa ?.
SOLUCIÓN:
Vamos a calcular la probabilidad de (a). La probabilidad de no sacar un '6' en un lanzamiento es $\dfrac{5}{6}$, luego la de no sacar ningún '6' en cuatro lanzamientos es $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$, con lo cual, y por la propiedad del contrario, vemos que la probabilidad de sacar al menos un '6' es $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0,5177$
Veamos ahora cuál es la probabilidad de (b). Al lanzar una vez dos dados, la probabilidad de sacar dos seises es $\dfrac{1}{36}$, luego la de no sacarlos es $1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$; por lo tanto, la probabilidad de no sacar ningún par de seises en 24 tiradas ( de dos dados ) es $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}$, con lo cual - por la propiedad de la probabilidad del suceso contrario - vemos que la probabilidad de sacar al menos un par de seises es $1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0'4914$
Como la probabilidad en este segundo caso es menor que la del primero, concluimos que es más ventajoso apostar por lo primero ( lanzar cuatro veces un dado, contemplando la posibilidad de que aparezcan al menos dos seises ) que no por lo segundo ( lanzar 24 veces una pareja de dados, contemplando la posibilidad de que aparezca al menos dos seises ).
OTRA FORMA DE LLEGAR A LA SOLUCIÓN:
Arriba se ha resuelto el problema empleando un método dinámico, esto es, recorriendo el árbol de posibilidades y colocándonos en cada situación hipotética, empleando el principio de independencia de sucesos. También puede resolverse el problema, desde un enfoque estático, esto es, mediante el cálculo combinatoria; de esta forma, no simulamos lo que sucede en cada nodo del árbol, sino que, de una vez, extraemos la solución, empleando la regla de Laplace. Veamos cómo.
En el primer caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{6,4}=6^4$ y el número de casos favorables es igual a $VR_{6-1,4}=5^4$, por consiguiente la probabilidad de no obtener un '6' en cuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{5^4}{6^4}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{5^4}{6^4}\approx 0,5177$$
En el segundo caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{36,24}=36^{24}$, pues al lanzar una vez dos dados, obtenemos $6\cdot 6=36$ resultados. Por otra parte, el número de casos favorables es igual a $VR_{36-1,24}=35^{24}$ ( ya que debemos descartar el resultado [6,6] en un lanzamiento de la pareja de dados ), por consiguiente la probabilidad de no obtener un doble '6' en veinticuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{35^{24}}{36^{24}}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{35^{24}}{36^{24}}\approx 0,4914$$
$\square$
