ENUNCIADO. Consideremos que hacer una apuesta ( en el juego que proponemos y que está inspirado en el de la Bono Loto) consiste en marcar ( en un boleto ) $6$ números distintos de entre el conjunto de números naturales $\{1,2,\ldots,49\}$. Al sortear $6$ números de dicho conjunto de $49$ números, ¿ cuál es la probabilidad de acertar $0\le k\le 6$ números ( de entre los $6$ números a los que hemos apostado ) ?
Nota: las normas para apostar en la Bono Loto son un poco más complicadas, pues se requiere, por ejemplo, que en una apuesta sencilla se rellenen al menos dos bloques, eligiendo seis números en cada uno de los bloques. También se pueden hacer apuestas múltiples. Y, además, se sortea también un número llamado "complementario", mediante el cual se otorga un premio especial si se acierta también dicho número en combinación con haber acertado cinco números, pero no vamos a entrar en más detalles sobre el juego de la Bono Loto propiamente dicho.
SOLUCIÓN. El número total de posibilidades es $\binom{49}{6}$, y el número de posibilidades favorables a que acertemos $k$ números es $\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}$, donde los dos factores representan la forma de disponer los $k$ aciertos y la forma de disponer los $6-k$ fracasos ( de entre los números que no figuran en la apuesta, que son $49-6$ ).
Entonces, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}}{\binom{49}{6}}$$
Así, por ejemplo:
La probabilidad de acertar los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,000\,07$
La probabilidad de acertar cinco de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{5}\cdot \binom{49-6}{6-5}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,018\,4$
La probabilidad de acertar cuatro de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000967$
La probabilidad de acertar tres de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{3}\cdot \binom{49-6}{6-3}}{\binom{49}{6}}\approx 0'0187$
La probabilidad de acertar dos de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{49-6}{6-2}}{\binom{49}{6}}\approx 0'132$
La probabilidad de acertar uno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 0'413$
La probabilidad de no acertar ninguno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 0'436$
$\square$
