ENUNCIADO. La tripulación de un barco consta de $10$ españoles, $12$ franceses y $5$ portugueses. Se quiere formar un equipo de $6$ personas, eligiéndolas al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que esté formado por $2$ españoles, $3$ franceses y $1$ portugués ?.
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6]$ en el que $x_i \in \{\text{español},\text{francés}, \text{portugués}\}$, para $i=1,2,\ldots,6$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por consiguiente podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que el pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{10+12+5}{6}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir los dos españoles de $C_{10,2}=\binom{10}{2}$ maneras; los tres franceses de $C_{12,3}=\binom{12}{3}$ maneras, y el tripulante portugués de $C_{5,1}=\binom{5}{1}$ maneras. Así, pues, por el principio multiplicativo hay $\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}$ posibilidades de elegir $S$
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{10+12+5}{6}}=\dfrac{50}{299} \approx 0,17 $$
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jueves, 12 de enero de 2017
miércoles, 11 de enero de 2017
Ejemplo de aplicación del modelo hipergeométrico de probabilidades
ENUNCIADO. En una fiesta hay $30$ personas, $25$ casadas y $5$ solteras. Se eligen $3$ personas al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que sean solteras ? ¿ Cuál es la probabilidad de que dos de las personas elegidas sean casadas y una sea soltera ?.
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3]$ en el que $x_i \in \{\text{casada},\text{soltera}\}$, para $i\le 3$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por ende podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que le pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{30}{3}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir las $3$ personas solteras de $C_{5,3}=\binom{5}{3}$ maneras y como el número de personas casadas que encontraremos en una elección de tres personas solteras es $0$, hay una sóla posibilidad para ello, $C_{25,0}=\binom{25}{0}=1$. Así, pues, hay $\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}$ posibilidades de que las tres personas elegidas sean todas solteras.
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}}{\binom{30}{3}}=2,4631\cdot 10^{-3} \approx 0,2\,\%$$
Veamos ahora la respuesta a la segunda pregunta. Denotando por $T$='dos personas casadas y una soltera', vemos que $N(T)=\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}$, luego por la regla de Laplace, $$P(T)=\dfrac{\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{30}{3}}=3,6946\cdot 10^{-1} \approx 37\,\%$$
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SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3]$ en el que $x_i \in \{\text{casada},\text{soltera}\}$, para $i\le 3$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por ende podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que le pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{30}{3}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir las $3$ personas solteras de $C_{5,3}=\binom{5}{3}$ maneras y como el número de personas casadas que encontraremos en una elección de tres personas solteras es $0$, hay una sóla posibilidad para ello, $C_{25,0}=\binom{25}{0}=1$. Así, pues, hay $\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}$ posibilidades de que las tres personas elegidas sean todas solteras.
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}}{\binom{30}{3}}=2,4631\cdot 10^{-3} \approx 0,2\,\%$$
Veamos ahora la respuesta a la segunda pregunta. Denotando por $T$='dos personas casadas y una soltera', vemos que $N(T)=\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}$, luego por la regla de Laplace, $$P(T)=\dfrac{\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{30}{3}}=3,6946\cdot 10^{-1} \approx 37\,\%$$
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Ejemplo de aplicación del modelo multinomial de probabilidad
ENUNCIADO. En una fiesta, el $20\,\%$ son españoles; el $30\,\%$ son franceses; el $40\,\%$ son italianos, y el $10\,\%$ son portugueses. ¿ Cuál es la probabilidad de que al escoger un grupo de $6$ personas, éste esté formado por $2$ españoles, $1$ francés, $1$ italiano, y $2$ portugueses ?
SOLUCIÓN. Concebimos la elección de las seis personas del grupo, de una en una, y de manera independiente una de otra. Entonces la probabilidad pedida es $$N\cdot 0,2^{2}\cdot 0,3^{1}\cdot 0,4^{1}\cdot 0,1^{2}$$ donde $N$ representa el número de posibilidades de seleccionar ( considerando el orden ) los dos españoles, el francés, el italiano, y los dos portugueses, que es igual a $$N=PR_{6}^{2,1,1,2}=\dfrac{6!}{2!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}$$ luego la probabilidad pedida es $$\dfrac{6!}{2!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}\cdot 0,2^{2}\cdot 0,3^{1}\cdot 0,4^{1}\cdot 0,1^{2}=0,0864$$
este esquema o modelo de cálculo recibe el nombre de probabilidad multinomial, por representar una extensión del modelo binomial.
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SOLUCIÓN. Concebimos la elección de las seis personas del grupo, de una en una, y de manera independiente una de otra. Entonces la probabilidad pedida es $$N\cdot 0,2^{2}\cdot 0,3^{1}\cdot 0,4^{1}\cdot 0,1^{2}$$ donde $N$ representa el número de posibilidades de seleccionar ( considerando el orden ) los dos españoles, el francés, el italiano, y los dos portugueses, que es igual a $$N=PR_{6}^{2,1,1,2}=\dfrac{6!}{2!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}$$ luego la probabilidad pedida es $$\dfrac{6!}{2!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}\cdot 0,2^{2}\cdot 0,3^{1}\cdot 0,4^{1}\cdot 0,1^{2}=0,0864$$
este esquema o modelo de cálculo recibe el nombre de probabilidad multinomial, por representar una extensión del modelo binomial.
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miércoles, 20 de abril de 2016
Un sorteo del estilo de la "Bono Loto"
ENUNCIADO. Consideremos que hacer una apuesta ( en el juego que proponemos y que está inspirado en el de la Bono Loto) consiste en marcar ( en un boleto ) $6$ números distintos de entre el conjunto de números naturales $\{1,2,\ldots,49\}$. Al sortear $6$ números de dicho conjunto de $49$ números, ¿ cuál es la probabilidad de acertar $0\le k\le 6$ números ( de entre los $6$ números a los que hemos apostado ) ?
Nota: las normas para apostar en la Bono Loto son un poco más complicadas, pues se requiere, por ejemplo, que en una apuesta sencilla se rellenen al menos dos bloques, eligiendo seis números en cada uno de los bloques. También se pueden hacer apuestas múltiples. Y, además, se sortea también un número llamado "complementario", mediante el cual se otorga un premio especial si se acierta también dicho número en combinación con haber acertado cinco números, pero no vamos a entrar en más detalles sobre el juego de la Bono Loto propiamente dicho.
SOLUCIÓN. El número total de posibilidades es $\binom{49}{6}$, y el número de posibilidades favorables a que acertemos $k$ números es $\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}$, donde los dos factores representan la forma de disponer los $k$ aciertos y la forma de disponer los $6-k$ fracasos ( de entre los números que no figuran en la apuesta, que son $49-6$ ).
Entonces, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}}{\binom{49}{6}}$$
Así, por ejemplo:
La probabilidad de acertar los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,000\,07$
La probabilidad de acertar cinco de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{5}\cdot \binom{49-6}{6-5}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,018\,4$
La probabilidad de acertar cuatro de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000967$
La probabilidad de acertar tres de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{3}\cdot \binom{49-6}{6-3}}{\binom{49}{6}}\approx 0'0187$
La probabilidad de acertar dos de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{49-6}{6-2}}{\binom{49}{6}}\approx 0'132$
La probabilidad de acertar uno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 0'413$
La probabilidad de no acertar ninguno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 0'436$
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Nota: las normas para apostar en la Bono Loto son un poco más complicadas, pues se requiere, por ejemplo, que en una apuesta sencilla se rellenen al menos dos bloques, eligiendo seis números en cada uno de los bloques. También se pueden hacer apuestas múltiples. Y, además, se sortea también un número llamado "complementario", mediante el cual se otorga un premio especial si se acierta también dicho número en combinación con haber acertado cinco números, pero no vamos a entrar en más detalles sobre el juego de la Bono Loto propiamente dicho.
SOLUCIÓN. El número total de posibilidades es $\binom{49}{6}$, y el número de posibilidades favorables a que acertemos $k$ números es $\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}$, donde los dos factores representan la forma de disponer los $k$ aciertos y la forma de disponer los $6-k$ fracasos ( de entre los números que no figuran en la apuesta, que son $49-6$ ).
Entonces, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}}{\binom{49}{6}}$$
Así, por ejemplo:
La probabilidad de acertar los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,000\,07$
La probabilidad de acertar cinco de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{5}\cdot \binom{49-6}{6-5}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,018\,4$
La probabilidad de acertar cuatro de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000967$
La probabilidad de acertar tres de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{3}\cdot \binom{49-6}{6-3}}{\binom{49}{6}}\approx 0'0187$
La probabilidad de acertar dos de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{49-6}{6-2}}{\binom{49}{6}}\approx 0'132$
La probabilidad de acertar uno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 0'413$
La probabilidad de no acertar ninguno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 0'436$
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