ENUNCIADO. La tripulación de un barco consta de $10$ españoles, $12$ franceses y $5$ portugueses. Se quiere formar un equipo de $6$ personas, eligiéndolas al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que esté formado por $2$ españoles, $3$ franceses y $1$ portugués ?.
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6]$ en el que $x_i \in \{\text{español},\text{francés}, \text{portugués}\}$, para $i=1,2,\ldots,6$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por consiguiente podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que el pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{10+12+5}{6}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir los dos españoles de $C_{10,2}=\binom{10}{2}$ maneras; los tres franceses de $C_{12,3}=\binom{12}{3}$ maneras, y el tripulante portugués de $C_{5,1}=\binom{5}{1}$ maneras. Así, pues, por el principio multiplicativo hay $\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}$ posibilidades de elegir $S$
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{10+12+5}{6}}=\dfrac{50}{299} \approx 0,17 $$
$\square$
