ENUNCIADO. Lanzamos una moneda equilibrada diez veces. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente $4$ caras ?
SOLUCIÓN.
Procedimiento I
El que la moneda esté equilibrada quiere decir que al lanzar la moneda una vez la probabilidad de obtener cara es la misma que la de obtener cruz, esto es $1/2$. El espacio muestral $\Omega$ puede pensarse como el conjunto de secuencias $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}]$ donde $x_i \in \{C,+\}$ para cada $i=1,2,\ldots,10$. Todas las secuencias ( sucesos elementales ) tienen la misma probabilidad de aparecer al realizar la experiencia aleatoria que se describe en el enunciado, luego podemos emplear la regla de Laplace para calcular ( asignar ) probabilidad a cualquier suceso, como por ejemplo, $S=$'obtener exactamente $4$ caras'. Tendremos pues que $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N} \quad \quad (1)$$
Podemos considerar los $10$ lanzamientos repetidos como la situación equivalente a lanzar $10$ monedas equilibradas de forma simultánea ( enfoque estático ). Considerando las monedas distinguibles, el número de casos posibles, que corresponde al cardinal del espacio muestral, es $N=VR_{2,10}$ ya que de cada moneda esperamos obtener dos valores: 'cara' o bien 'cruz'.
El número de casos favorables a $S$ ( el suceso pedido ) corresponde al número de maneras en que podemos colocar $4$ caras en una disposición lineal de $10$ 'celdas' ( de modo que a las seis celdas restantes se les asignan $6$ cruces ). Evidentemente, no tiene sentido distinguir ahora un símbolo de otro del mismo tipo, luego $N(S)=C_{10,4}=\binom{10}{4}$
Por tanto, de (1), encontramos que $$P(S)=\dfrac{\binom{10}{4}}{VR_{2,10}}=\dfrac{210}{1024} \approx 0,2051$$
Procedimiento II
Al ser los diez lanzamientos independientes ( ahora pasamos a contemplar el problema de forma dinámica, imaginando un lanzamiento tras otro ), desembocamos en el esquema ( o modelo binomial ), siendo por tanto la probabilidad pedida igual a $$\binom{10}{4}\cdot p^{4}\cdot (1-p)^{10-4}$$ Y como la moneda está equilibrada, $p=1/2$, luego lo anterior es igual a $$\binom{10}{4}\cdot (\dfrac{1}{2})^{4}\cdot \left(1-(\dfrac{1}{2})\right)^{10-4}=\binom{10}{4}\cdot \dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{210}{1024}$$ y que corresponden al resultado encontrado arriba.
$\square$
