ENUNCIADO. En una fiesta hay 30 personas, 25 casadas y 5 solteras. Se eligen 3 personas al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que sean solteras ? ¿ Cuál es la probabilidad de que dos de las personas elegidas sean casadas y una sea soltera ?.
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos [x_1,x_2,x_3] en el que x_i \in \{\text{casada},\text{soltera}\}, para i\le 3. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por ende podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, S, del espacio de probabilidad (\Omega, P): P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N} donde N es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y N(S) representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que le pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es N=C_{30,3}=\binom{30}{3} ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a S lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir las 3 personas solteras de C_{5,3}=\binom{5}{3} maneras y como el número de personas casadas que encontraremos en una elección de tres personas solteras es 0, hay una sóla posibilidad para ello, C_{25,0}=\binom{25}{0}=1. Así, pues, hay \binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0} posibilidades de que las tres personas elegidas sean todas solteras.
Encontramos por tanto que P(S)=\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}}{\binom{30}{3}}=2,4631\cdot 10^{-3} \approx 0,2\,\%
Veamos ahora la respuesta a la segunda pregunta. Denotando por T='dos personas casadas y una soltera', vemos que N(T)=\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}, luego por la regla de Laplace, P(T)=\dfrac{\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{30}{3}}=3,6946\cdot 10^{-1} \approx 37\,\%
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