Un ejemplo de oferta-demanda en un mercado libre. Acerca de la noción de equilibrio de mercado

Sucede que en un mercado libre (no intervienen organismos reguladores externos), al disminuir el precio de de un artículo aumenta la demanda del mismo. La función matemática con la que se modeliza dicha dependencia entre el precio del artículo y el número de unidades demandadas se denomina función de demanda. No obstante, al aumentar la apetencia por dicho bien, se dificulta lógicamente la producción del mismo, con lo cual disminuirá el número de unidades (producidas) que se ofrecen; a la función con la que se modeliza la dependencia entre el número de artículos ofrecidos y el precio de éstos se denomina función de oferta. Los puntos de intersección entre las gráficas de estas dos funciones son llamados puntos de equilibrio de mercado, y representan el número de unidades en el mercado para el cual el precio en la oferta es el mismo que el precio en la demanda.

En el siguiente ejemplo (ficticio) las funciones de oferta y demanda son ambas lineales afines. Recalcando lo dicho arriba, en la función de demanda se describe el hecho de que, al aumentar el número de unidades demandadas de dicho artículo, el precio del mismo desciende, y, en este caso, en particular, de manera proporcional; y, en la función de oferta ocurre que, al aumentar el número de unidades ofertadas de dicho artículo, el precio del artículo aumenta, y, también, en el caso particular de este ejemplo, de manera proporcional.

Ejemplo

Un cierto dispositivo electrónico es tal que la función de demanda del mismo viene dada por $d(x)=140-2\cdot 10^{-5}\,x$, donde $d(x)$ (el precio de dicho artículo) se mide en euros y $x$ representa el número de unidades en demanda. Por otra parte, la función de oferta viene dada por $o(x)=50+3\cdot 10^{-5}\,x$, donde $o(x)$, esto es, el precio, se mide en euros y $x$ es el número de unidades (de dicho artículo) en oferta. Nos preguntamos cuántas unidades de dicho dispositivo deberá haber en el mercado para que se alcance el equilibrio. Y, tan tal caso, cuál debe ser el precio del artículo, $p$.

Es claro que para responder a estas preguntas tenemos que resolver el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}p=140-2\cdot 10^{-5}\,x \quad (1)\\ p=50+3\cdot 10^{-5}\,x \quad (2)\end{matrix}\right.$$ Restando $(2)$ de $(1)$ se obtiene $0=90-5\cdot 10^{-5}\,x$ y, por tanto, $x=\dfrac{90}{5\cdot 10^{-5}}=1\,800\,000\, \text{unidades}$. En consecuencia, sustituyendo, ya sea en $(1)$ o indistintamente en $(2)$, vemos que el precio en el equilibrio de mercado que debe tener dicho artículo es $d(1\,800\,000)=140-2\cdot 10^{-5}\cdot 1\,800\,000=104\,\text{euros}$. $\diamond$

Acerca de la derivada de una función en los modelos matemáticos de la economía. Cosas básicas.

En los modelos matemáticos, la función de beneficio da el beneficio obtenido al vender $x$ unidades de producto comercial; la función de coste da el coste que supone vender $x$ unidades de producto comercial, y la función de ingresos describe la cuantía de los ingresos obtenidos al vender $x$ unidades de producto comercial.

Por otra parte, con la función de demanda, $D(x)$, se modela el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) demandadas, y con
la función de oferta, $O(x)$, el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) ofertadas. En un modelo estándar, la función de demanda es decreciente y la de oferta es creciente; el punto de corte de dichas curvas, representa un equilibrio teórico entre la oferta y la demanda.

La tasa de variación media del ingreso en un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,I}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,I$ es el incremento en los ingresos que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos ingreso marginal a la tasa de variación instantánea del ingreso, es decir, a la derivada de la función $I(x)$, es decir, con el término ingreso marginal nos referimos a la función derivada $I'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dI(x)}{dx}$, siendo el ingreso marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dI(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.

La tasa de variación media del costeen un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,C}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,C$ es el incremento del coste que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos coste marginal a la tasa de variación instantánea del coste, es decir, a la derivada de la función $C(x)$, es decir, con el término coste marginal nos referimos a la función derivada $C'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dC(x)}{dx}$, siendo el coste marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dC(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.

La tasa de variación media del beneficio en un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,B}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,B$ es el incremento de beneficio que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos beneficio marginal a la tasa de variación instantánea del beneficio, esto es, a la derivada de la función $B(x)$, es decir, con el término beneficio marginal nos referimos a la función derivada $B'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dB(x)}{dx}$, siendo la beneficio marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dB(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.

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