Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:
$a_1$
$a_2=a_1\,r$
$a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
$a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
$\ldots$
$a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que el producto de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\sqrt{(a_1\,a_n)^n}$$
En efecto, en toda sucesión geométrica se cumple que
$a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots$
Escrbiendo el producto con los factores en orden directo e inverseo, y multiplicando miembro a miembro (1) y (2):
$$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_1\cdot a_2 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_n \quad \quad (1)$$
$$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_n\cdot a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdot \ldots \cdot a_{2}\cdot a_1 \quad \quad (2)$$
se tiene que $$(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i)^2=(a_1\cdot a_{n}) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1})\cdot \ldots \cdot (a_{a_n}\cdot a_1)=(a_{a_1}\cdot a_n)^{n/2} \Rightarrow \displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\left((a_1\cdot a_n)^{n}\right)^{1/2}=\sqrt{(a_{a_1}\cdot a_n)^{n}}$$
Nótese que, si el $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos factores cuyo producto es igual para todos ellos; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\sqrt{a_{(n+1)/2}\cdot a_{(n+1)/2}}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
$\diamond$
