Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:
$a_1$
$a_2=a_1\,r$
$a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
$a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
$\ldots$
$a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$$
En efecto,
$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=$
$=a_1+r\,a_1+r\,a_2+\ldots+r\,a_{n-1}$
$=a_1+r\,(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1})$
$=a_1+r\,(S_n-a_n)$
Así pues, $S_n=a_1+r\cdot(S_n-a_n)$, con lo cual $S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_n$ y como $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$, se tiene que
$S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_1\cdot r^{n-1}$, esto es, $S_n\cdot (1-r)=a_1\cdot(1-r\cdot r^{n-1})=a_1\cdot(1-r^n)$, y despejando $S_n$, $$S_n=a_1\cdot \dfrac{1-r^n}{1-r}$$ que es lo mismo que $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} \quad \quad (1)$$ $\diamond$
Observación (Suma de infinitos términos)
Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (1) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} =\dfrac{a_1}{1-r}\quad \quad (2)$$
