Determinar el intervalo de la recta real que representa la solución de la siguiente inecuación $$| x+1 | \prec 2 $$
SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, podemos escribir
$$ | x+1 | \prec 2 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
x+1 \prec 2 & \text{si} & x+1 \succ 0 && (1)\\
0 \prec 2 & \text{si} & x+1 = 0 && (2)\\
-(x+1) \prec 2 & \text{si} & x+1 \prec 0 && (3)\\
\end{matrix}\right.$$
Es claro que de (2) no extraemos información, pero sí de (1): $x + 1 \prec 2 \Leftrightarrow x \prec 1 $; y, también, de (3): $-(x+1) \prec 2 \Leftrightarrow x+1 \succ -2 \Leftrightarrow x \succ -3$. Así, pues, concluimos que el intervalo pedido es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$
Otra forma de resolver este problema es la siguiente. Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad $| x+1 | \prec 2 $, llegamos a $$(x+1)^2 \prec 4$$ El primer miembro de esta inecuación representa los valores de la función $f(x)=(x+1)^2$ ( su trazo en un diagrama cartesiano es una parábola cuyo vértice se encuentra una unidad a la izquierda del origen de coordenadas ), cuyos valores de función son positivos para todo $x$; como dichos valores de función deben ser menores que $4$ ( según la desigualdad que expresa la inecuación), procedemos a encontrar las abscisas críticas ( cuyas ordenadas tienen valor $4$ ): $$(x+1)^2=4 \Leftrightarrow (x+1)=\pm 2 \Leftrightarrow x=-1 \pm 2 = \left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-3 \\
\end{matrix}\right.$$
$\square$
[autoría]
