Determinar cuáles son los números reales que satisfacen la desigualdad

ENUNCIADO. Resolver la inecuación
$$-5x+2\le 3$$

SOLUCIÓN

$-5x+2\le 3$

  $-5x + 2 -2 \le 3-2$

    $-5x \le 1$

      $ 5x \ge -1$

        $ x \ge -\dfrac{1}{5}$

por tanto la solución de la inecuación es siguiente conjunto de números
$$\{x \in \mathbb{R}: x \ge -\dfrac{1}{5}\}$$
esto es la semirrecta
$$[-\dfrac{1}{5}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$$

$\square$

[autoría]

Intervalos en la recta de los números reales

ENUNCIADO. Resolver la inecuación $$|5x-2|\ge 4$$

SOLUCIÓN.
$|5x-2| \ge 4 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
5x-2 \prec 4 & &\text{si} & 5x-2 \succ 0 &&& (1)\\
\\
\text{ó} \\
\\
0 \ge 4 &(!)& \text{si} & 5x-2 = 0 &&& (2)\\
\\
\text{ó} \\
\\
-(5x-2) \ge 4 && \text{si} & 5x-2 \prec 0 &&& (3)\\
\end{matrix}\right.$

De (2), simplemente deducimos que $\dfrac{2}{5}$ ( que es la solución de $5x-2 = 0$ ) no forma parte de la solución, pues, evidentemente $0$ no es mayor o igual que $4$.

De (1) deducimos que $x \ge \dfrac{6}{5}$; y, de (3) vemos que $x \le -\dfrac{2}{5}$. Por lo tanto, la solución es $$(-\infty\,,\,-\dfrac{2}{5}] \cup [\dfrac{6}{5}\,,\,+\infty)$$
$\square$

[autoría]

Hallar el intervalo de la recta numérica tal que ...

ENUNCIADO. Hallar el intervalo solución que corresponde a la inecuación $$|2x-7| \prec 1$$

SOLUCIÓN.
$|2x-7| \prec 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
2x-7 \prec 1 & \text{si} & 2x-7 \succ 0 &&& (1)\\
\\
\text{ó} \\
\\
0 \prec 1 & \text{si} & 2x-7 = 0 &&& (2)\\
\\
\text{ó} \\
\\
-(2x-7) \prec 1 & \text{si} & 2x-7 \prec 0 &&& (3)\\
\end{matrix}\right.$

De (2) no sacamos información. De (1) deducimos que $x \prec 4$; y, de (3) vemos que $x \succ 3$. Por lo tanto, la solución es $\{3 \prec x \prec 4 : x \in \mathbb{R}\}$, que en el lenguaje de intervalos podemos notar de la forma $(3\,,\,4) \subset \mathbb{R}$
$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente inecuación

ENUNCIADO:
Encontrar el conjunto de números reales que cumplen la siguiente desigualdad $$(x-1)(x+1) \ge 1$$

SOLUCIÓN:
$$(x-1)(x+1) \ge 1 \Leftrightarrow x^2-1 \ge 1 \Leftrightarrow x^2 \ge 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le -|\sqrt{2}| \\ \text{ó} \\ x \ge |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$ luego el intervalo solución viene dado por la unión de las siguientes semirrectas $$S=(-\infty\,,\,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}\,,\,+\infty)$$ $\square$

Determinar el intervalo de la recta real que ...

ENUNCIADO:
Determinar el intervalo de la recta real que representa la solución de la siguiente inecuación $$| x+1 | \prec 2 $$

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, podemos escribir
$$ | x+1 | \prec 2 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
x+1 \prec 2 & \text{si} & x+1 \succ 0 && (1)\\
0 \prec 2 & \text{si} & x+1 = 0 && (2)\\
-(x+1) \prec 2 & \text{si} & x+1 \prec 0 && (3)\\
\end{matrix}\right.$$

Es claro que de (2) no extraemos información, pero sí de (1): $x + 1 \prec 2 \Leftrightarrow x \prec 1 $; y, también, de (3): $-(x+1) \prec 2 \Leftrightarrow x+1 \succ -2 \Leftrightarrow x \succ -3$. Así, pues, concluimos que el intervalo pedido es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$
-oOo-
Otra forma de resolver este problema es la siguiente. Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad $| x+1 | \prec 2 $, llegamos a $$(x+1)^2 \prec 4$$ El primer miembro de esta inecuación representa los valores de la función $f(x)=(x+1)^2$ ( su trazo en un diagrama cartesiano es una parábola cuyo vértice se encuentra una unidad a la izquierda del origen de coordenadas ), cuyos valores de función son positivos para todo $x$; como dichos valores de función deben ser menores que $4$ ( según la desigualdad que expresa la inecuación), procedemos a encontrar las abscisas críticas ( cuyas ordenadas tienen valor $4$ ): $$(x+1)^2=4 \Leftrightarrow (x+1)=\pm 2 \Leftrightarrow x=-1 \pm 2 = \left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-3 \\
\end{matrix}\right.$$

Entonces, todos los valores mayores que $-3$ y menores que $1$ satisfacen la condición pedida, luego el intervalo solución es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$.

$\square$

[autoría]