Processing math: 100%

miércoles, 14 de septiembre de 2022

Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman multiplicando por una cantidad el término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión a_n=a_1\cdot r_{n}, donde r_n=r_{1}\cdot r^{n-1}, con n=1,2,3,\ldots, conocidos como datos los valores del primer término a_1, del primer término r_1 de la sucesión de las cantidades a multiplicar por el término precedente, r_1,r_2,\ldots, y de la razón, r, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los n primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

  • a_1
  • a_2=a_1\cdot r_1
  • a_3=a_2\cdot r_2=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}
  • a_4=a_3\cdot r_3=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}
  • \ldots
  • a_n=a_1\cdot \left(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots} \cdot r_{n-1}\ \right)\quad \quad (1)
El producto entre paréntesis del segundo término de (1) obedece al de los n-1 primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término r_1 (conocido) y razón r (conocida). Es bien sabido que dicho producto se puede calcular utilizando el siguiente resultado ya conocido de cursos anteriores r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle\sqrt{(r_1\cdot r_{n-1})^{n-1}}=(r_1\cdot r_{n-1})^{(n-1)/2}. Por otra parte, también es sabido que el último término de esta secuencia es r_{n-1}=r_{1}\cdot r^{n-2}, con lo cual este producto de n-1 factores se puede escribir como, r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle \left(r_{1}^2\cdot r^{n-2}\right)^{(n-1)/2}=r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2} Sustituyendo en (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, a_n=a_1\cdot r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)

Ejemplo

Sea la sucesión 1,2,8,64,\ldots, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que a_1=1, r_1=2 y r=2. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a a_n=1\cdot 2^{n-1}\cdot 2^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots esto es a_n=2^{((n-1)(n-2)+2(n-1))/2}=2^{(n-1)(n-2+2)/2}=2^{n(n-1)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots Comprobemos los primeros términos:

  • Para n=1, debemos obtener a_1=1; en efecto, a_1=2^{1\cdot(1-1)/2}=2^0=1
  • Para n=2, debemos obtener a_1=2; en efecto, a_1=2^{2\cdot(2-1)/2}=2^1=2
  • Para n=3, debemos obtener a_1=8; en efecto, a_1=2^{3\cdot(3-1)/2}=2^3=8
  • Para n=4, debemos obtener a_1=64; en efecto, a_1=2^{4\cdot(4-1)/2}=2^6=64
  • \ldots
\diamond

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios