Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman multiplicando por una cantidad el término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1\cdot r_{n}$, donde $r_n=r_{1}\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $r_1$ de la sucesión de las cantidades a multiplicar por el término precedente, $r_1,r_2,\ldots$, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1\cdot r_1$
• $a_3=a_2\cdot r_2=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}$
• $a_4=a_3\cdot r_3=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}$
• $\ldots$
• $a_n=a_1\cdot \left(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots} \cdot r_{n-1}\ \right)\quad \quad (1)$

El producto entre paréntesis del segundo término de (1) obedece al de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $r_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que dicho producto se puede calcular utilizando el siguiente resultado ya conocido de cursos anteriores $r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle\sqrt{(r_1\cdot r_{n-1})^{n-1}}=(r_1\cdot r_{n-1})^{(n-1)/2}$. Por otra parte, también es sabido que el último término de esta secuencia es $r_{n-1}=r_{1}\cdot r^{n-2}$, con lo cual este producto de $n-1$ factores se puede escribir como, $$r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle \left(r_{1}^2\cdot r^{n-2}\right)^{(n-1)/2}=r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}$$ Sustituyendo en (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1\cdot r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2) $$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,8,64,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $r_1=2$ y $r=2$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=1\cdot 2^{n-1}\cdot 2^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ esto es $$a_n=2^{((n-1)(n-2)+2(n-1))/2}=2^{(n-1)(n-2+2)/2}=2^{n(n-1)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=2^{1\cdot(1-1)/2}=2^0=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_1=2$; en efecto, $a_1=2^{2\cdot(2-1)/2}=2^1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_1=8$; en efecto, $a_1=2^{3\cdot(3-1)/2}=2^3=8$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_1=64$; en efecto, $a_1=2^{4\cdot(4-1)/2}=2^6=64$
• $\ldots$

$\diamond$