Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión aritmética

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1+(n-1)\,d$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, $d_1,d_2,\ldots$, y de la diferencia, $d$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión aritmética de primer término $d_1$ (conocido) y diferencia $d$ (conocida). Es bien sabido que el último sumando (término) de dicha progresión artimética es $d_{n-1}=d_1+(n-2)\,d$, y la fórmula (también conocida) de la suma de una sucesión aritmética — producto del número de términos por la semisuma del primer y del último término—, podemos escribir que $d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\left(\dfrac{d_1+(d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)=\left(\dfrac{2\,d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)$, es decir, $$d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)$$ Sustituyendo em (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1+\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Nótese que la expresión obtenida es cuadrática en $n$; en efecto, desarrollándola algebraicamente se obtiene: $$a_n=\dfrac{d}{2}\,n^2+(d_1-\dfrac{3}{2}\,d)\,n+(a_1-d_1+d)\,,\,n=1,2,3,\ldots \quad \quad (3)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,4,7,11,16\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $d_1=1$ y $d=1$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=\dfrac{1}{2}\,n^2-\frac{1}{2}\,n+1\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 1+1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_2=2$; en efecto, $a_2=\dfrac{1}{2}\,2^2-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=\dfrac{1}{2}\cdot 4-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=2-1+1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_3=4$; en efecto, $a_3=\dfrac{1}{2}\,3^2-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{1}{2}\cdot 9-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{6}{2}+1=3+1=4$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_4=7$; en efecto, $a_4=\dfrac{1}{2}\,4^2-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=\dfrac{1}{2}\cdot 16-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=8-2+1=7$
• $\ldots$

***

Observación

Sabiendo de antemano que el término general de este tipo de sucesiones obedece a una expresión algebraica cuadrática en $n$, $a_n=An^2+Bn+C\,,\,n=1,2,3,\ldots$, también podemos optar por calcular los coeficientes $A,B$ y $C$ mediante una interpolación cuadrática, tal y como ya os he mostrado en otros artículos de este blog: bastará resolver el sistema de tres ecuaciones lineales que así se obtenga, cuyas incógnitas son precisamente los coeficientes a determinar, conocidos los valores de tres de los términos de dicha sucesión, que no tienen porque ser consecutivos. $\diamond$