Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $d_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que la suma de una sucesión geométrica: $d_1+d_2+\ldots+d_{n-1}=d_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$. Por tanto, podemos escribir (1) de la forma $$a_n=a_1+d_1\cdot \dfrac{r^{n-1}-1}{r-1}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $3,4,6,10,18,34,\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Notemos que $a_3=1$, $d_1=1$ y $r=2$. Comprobemos (por ejemplo) el sexto término $a_6$:

  Para $n=6$, debemos obtener $a_6=34$; en efecto, sustituyendo el valor del índice en (2): $a_6=3+1\cdot \dfrac{2^{6-1}-1}{2-1}=3+1\cdot \dfrac{2^{5}-1}{1}=3+1\cdot \dfrac{32-1}{1}=3+31=34$
$\diamond$