Un ejercicio con sucesiones geométricas

Se considera una sucesión geométrica $a_1,a_2,\ldots$ de razón $r\gt 1$ (s. creciente). Nos preguntamos cuál debe ser el valor de $r$ para que el valor del cuarto término sea exactamente el doble que el del primero. También nos preguntamos, en estas condiciones, si el octavo término es igual al doble del cuarto.

Respondamos a la primera pregunta: si $a_4=a_1\,r^{4-1}$ y, por otra parte, $a_4=2\,a_1$, entonces $a_1\,r^{3}=2\,a_1 \Rightarrow r^3=2 \Rightarrow r=\sqrt[3]{2}$. Y, ahora, respondamos a la segunda: para que $\dfrac{a_8}{a_4}=2$, debería cumplirse que $2\,a_1=a_1\,r^7$, esto lleva a $r=\sqrt[7]{4}$, que no es igual al valor de $r$ que habíamos calculado, $\sqrt[3]{2}$, luego la respuesta a esta segunda pregunta es negativa, es decir $a_8 \neq 2\, a_4$. $\diamond$

La inflación y el decrecimiento exponencial. Razonamientos y cálculos sencillos acerca de la pérdida de valor adquisitivo de una cierta cantidad de dinero

Consideremos una situación ficticia en la que la tasa de inflación anual sea del $3\,\%$. A modo de reflexión sobre la pérdida de poder adquisitivo ocasionado por una inflación persistente. Nos preguntamos: ¿en cuánto se habrá depreciado $1$ euro al cabo de $6$ años?

Al final del primer año, $1$ euro se habrá depreciado en $0,03$ céntimos de euro, luego su valor efectivo será de $0,97$ euros. Al final del segundo año, el valor efectivo del euro inicial será de $0,97^2 \approx 0,94$ euros; al final de tercer año será de $0,97^3 \approx 0,91$ euros, así que al final del sexto, el valor efectivo de la cantidad inicial de $1$ euro será de $0,97^6\approx 0,83$ euros.

Notemos que, en general, en $n$ años consecutivos, y en el supuesto de tener una tasa de inflación persistente $p$ (que expresaremos en tanto por unidad), el valor efectivo de una cierta cantidad de dinero, $C$, viene dado, en cada año de la sucesión, por el valor del término de la sucesión geométrica de razón $1-p$: $$C, C\cdot (1-p), C\cdot (1-p)^2, \ldots, C\cdot(1-p)^n$$

Así, por ejemplo, una cantidad de dos mil euros, en una situación de inflación anual (persistente) del $3\,\%$, al cabo de $5$ años vendrá a tener un valor efectivo igual a $2000 \cdot (1-0,03)^5$, esto es, de $1\,717,47$ euros.

$\diamond$

Un sencillo ejercicio sobre el crecimiento exponencial

A modo de ejercicio que haga referencia al crecimiento exponencial, nos proponemos sumar las $n$ potencias consecutivas (siendo $n$ un número entero no negativo) con una cierta base, pongamos por ejemplo que dicha base sea $2$: $$2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1}$$ Veamos cómo podemos hacerlo.

Denotemos por $S_n$ el resultado de dicha suma: $$S_n=2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1} \quad (1)$$ Multiplicando por $2$ (razón de la sucesión geométrica $2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{n-1}$) en ambos miembros de la igualdad anterior, podemos escribir $$2\,S_n=2^1+2^2+2^3+\ldots+2^{n} \quad (2)$$ Y restando miembro a miembro $(2)$ de $(1)$ se llega a $$2\,S_n-S_n=-2^0+2^n$$ esto es $$S_n=2^n-1$$

$\diamond$

Un ejercicio de programación en Python, empleando los operadores condicionales

La imagen (haz clic para verla más grande y así poder leer mejor) muestra el código fuente que he escrito en lenguaje Python (https://www.python.org/downloads/). El entorno de desarrollo (IDE) se llama Thonny (forma parte del software libre y es multiplaforma y puedes descarglo desde https://thonny.org/), y te lo recomiendo para que te resulte más fácil aprender.

-oOo-

Nota: Este es uno de los ejercicios que realicé en el curso de Python del Campus Tecnológico Virtual, y lo transcribo aquí porque me parece que os puede ayudar en el aprendizaje de este amigable lenguaje de programación.

$\diamond$