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viernes, 29 de diciembre de 2023

Un sencillo ejercicio sobre el crecimiento exponencial

A modo de ejercicio que haga referencia al crecimiento exponencial, nos proponemos sumar las n potencias consecutivas (siendo n un número entero no negativo) con una cierta base, pongamos por ejemplo que dicha base sea 2: 2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1}

Veamos cómo podemos hacerlo.

Denotemos por S_n el resultado de dicha suma: S_n=2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1} \quad (1)

Multiplicando por 2 (razón de la sucesión geométrica 2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{n-1}) en ambos miembros de la igualdad anterior, podemos escribir 2\,S_n=2^1+2^2+2^3+\ldots+2^{n} \quad (2)
Y restando miembro a miembro (2) de (1) se llega a 2\,S_n-S_n=-2^0+2^n
esto es S_n=2^n-1

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