Un sencillo ejercicio sobre el crecimiento exponencial

A modo de ejercicio que haga referencia al crecimiento exponencial, nos proponemos sumar las $n$ potencias consecutivas (siendo $n$ un número entero no negativo) con una cierta base, pongamos por ejemplo que dicha base sea $2$: $$2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1}$$ Veamos cómo podemos hacerlo.

Denotemos por $S_n$ el resultado de dicha suma: $$S_n=2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1} \quad (1)$$ Multiplicando por $2$ (razón de la sucesión geométrica $2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{n-1}$) en ambos miembros de la igualdad anterior, podemos escribir $$2\,S_n=2^1+2^2+2^3+\ldots+2^{n} \quad (2)$$ Y restando miembro a miembro $(2)$ de $(1)$ se llega a $$2\,S_n-S_n=-2^0+2^n$$ esto es $$S_n=2^n-1$$

$\diamond$