Un ejercicio con sucesiones geométricas

Se considera una sucesión geométrica $a_1,a_2,\ldots$ de razón $r\gt 1$ (s. creciente). Nos preguntamos cuál debe ser el valor de $r$ para que el valor del cuarto término sea exactamente el doble que el del primero. También nos preguntamos, en estas condiciones, si el octavo término es igual al doble del cuarto.

Respondamos a la primera pregunta: si $a_4=a_1\,r^{4-1}$ y, por otra parte, $a_4=2\,a_1$, entonces $a_1\,r^{3}=2\,a_1 \Rightarrow r^3=2 \Rightarrow r=\sqrt[3]{2}$. Y, ahora, respondamos a la segunda: para que $\dfrac{a_8}{a_4}=2$, debería cumplirse que $2\,a_1=a_1\,r^7$, esto lleva a $r=\sqrt[7]{4}$, que no es igual al valor de $r$ que habíamos calculado, $\sqrt[3]{2}$, luego la respuesta a esta segunda pregunta es negativa, es decir $a_8 \neq 2\, a_4$. $\diamond$