Resolver el siguiente problema

ENUNCIADO. La suma de un número más cinco veces el inverso de otro es 2. Por otro lado, el segundo número más el cuádruple del primero es 9. ¿Cuáles son dichos números?

SOLUCIÓN. Sean $x$ e $y$ dichos números, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones ( una de las cuales no es lineal ) $$\left\{\begin{matrix}
x &+&5\cdot \dfrac{1}{y}&=&2 \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ y simplificando $$\left\{\begin{matrix}
x\,y &+&5&=&2\,y \\
\\
y &+&4\,x&=&9
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda y sustituyendo la expresión que obtengamos ( en función de $x$ ) en la primera ecuación llegamos a $$x\,(9-4x)+5=2\,(9-4x)$$ simplificando, sumando términos semejantes y ordenándolos $$4x^2-17x+13=0$$ cuya solución viene dada por $$x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\\
\dfrac{13}{4}
\end{matrix}\right.$$

Entonces:
Si $x=1$, $y=9-4\cdot 1=5$
Si $x=\dfrac{13}{4}$, $y=9-4\cdot\dfrac{13}{4}=-4$

Resumiendo, la solución viene dada por estas dos parejas de valores $(x,y)$: $$\{(1\,,\,5)\,,\,(\dfrac{13}{4}\,,\,-4) \}$$

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Resolver el sistema de ecuaciones no lineales

ENUNCIADO. Resolver $$\left\{\begin{matrix}
x^2 &+&y^2&=&9\\
-x^2 &+&y^2&=&7
\end{matrix}\right.$$
Sumando ( miembro a miembro ) ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación ( compatible ) con las dos ecuaciones originales $$2\,y^2=16$$ que, simplificada, es $$x^2=8$$ y, por tanto, $$y=\left\{\begin{matrix}
\sqrt{8}\\
\text{ó}\\
-\sqrt{8}\\
\end{matrix}\right.$$ Entonces:

(1) Si $y=\sqrt{8}$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$

(2) Si $y=-\sqrt{8}$, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos ( igual que en (1) ) que $$x^2+8=9 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}
1\\
\text{ó}\\
-1
\end{matrix}\right.$$

Luego la solución del sistema de ecuaciones pedido viene dada por los siguientes pares "(x,y)" $$\{\, (-1\,,\,\sqrt{8})\,,\,(-1\,,\,-\sqrt{8})\,,\,(1\,,\,-\sqrt{8})\,,\,(1\,,\,\sqrt{8})\,,\, \,\}$$

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