Ejemplo de aplicación de la regla de Hondt para repartir un cierto número de escaños en función de los votos que han obtenido las coaliciones en unas elecciones

[nota del autor]

Correspondencias y funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

És molt important entendre què és i què no és una funció. Una funció és un tipus de correspondència entre conjunts numèrics que es caracteritza pel fet que cada element del conjunt inicial té una sola imatge (li correspon un sol element del conjunt final). Per bé que totes les funcions es poden expressar mitjançant una relació algèbrica entre les variables, això no és exclusiu de les funcions. Podem posar molts exemples de correspondències entre conjunts numèrics que no són funció.

Així, per exemple, aquesta gràfica (una espiral) està lligada a una correspondència entre dos conjunts numèrics que donen valors a les variables $x$ i $y$, però no està associat a una funció atès que qualsevol valor de la variable independent, $x$, té múltiples imatges.$\square$

Ecuaciones con logaritmos. Ecuaciones con exponenciales ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Trobeu els valors de les variables que satisfan el següent sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} \log{x} + \log{y} = 2\\ \\ 3\,\log{x} - \log{y} = 1\\ \end{matrix}\right\}$

Sumant, membre a membre, els termes de les dues equacions obtenim

$4\,\log{x}=3$

per tant

$x=10^{\frac{3}{4}}$

Per altra banda, multiplicant per $-3$ ambdós membres de la segona equació i, sumant - membre a membre - els termes de l'equació resultant amb els de la primera

$-4 \,\log{y}=-6+1$

és a dir

$4\,\log{y}=5$

d'on

$y=10^{\frac{5}{4}}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
$\log_{2}{x}=\log_{3}{4}$

Expressant els logaritmes en base comuna (canvi de base logarítmica)

$\frac{\ln{x}}{\ln{2}}=\frac{\ln{4}}{\ln{3}}$

per tant

$\ln{x}=\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}$

i, desfent el logaritme, trobem

$x=e^{\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}} \approx 2,3980 \; \; \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Trobeu els valors reals de $x$ que compleixen la igualtat

$2^{x^4+5x^2-36}=1$

El segon membre es pot posar de la forma $2^0$ i, per tant,

$2^{x^4+5x^2-36}=2^0$

Com que les bases de les potències de tots dos membres són iguals, els exponents també ho hauran de ser

$x^4+5x^2-36=0$

equació biquadrada que, fent el canvi de variable $x^2=t$, es transforma en una equació de 2n grau

$t^2+5t-36=0$

que té dos valors com a solució

$t_1=4$ i $t_2=-9$

i desfent, ara, el canvi de variable

obtenim dues solucions reals per a $x$ que venen de $t_1=4$

$x_1=2$ i $x_2=-2$

Observació: les dues solucions que provenen del valor negatiu $t$, $t=-9$ , són nombres complexos: $x_3=3\,i$ i $x_4=-3\,i$, però, d'acord amb el requeriment de l'enunciat - les solucions han de ser nombres reals -, els hem de negligir.

$\square$

[nota del autor]