Un ejemplo de oferta-demanda en un mercado libre. Acerca de la noción de equilibrio de mercado

Sucede que en un mercado libre (no intervienen organismos reguladores externos), al disminuir el precio de de un artículo aumenta la demanda del mismo. La función matemática con la que se modeliza dicha dependencia entre el precio del artículo y el número de unidades demandadas se denomina función de demanda. No obstante, al aumentar la apetencia por dicho bien, se dificulta lógicamente la producción del mismo, con lo cual disminuirá el número de unidades (producidas) que se ofrecen; a la función con la que se modeliza la dependencia entre el número de artículos ofrecidos y el precio de éstos se denomina función de oferta. Los puntos de intersección entre las gráficas de estas dos funciones son llamados puntos de equilibrio de mercado, y representan el número de unidades en el mercado para el cual el precio en la oferta es el mismo que el precio en la demanda.

En el siguiente ejemplo (ficticio) las funciones de oferta y demanda son ambas lineales afines. Recalcando lo dicho arriba, en la función de demanda se describe el hecho de que, al aumentar el número de unidades demandadas de dicho artículo, el precio del mismo desciende, y, en este caso, en particular, de manera proporcional; y, en la función de oferta ocurre que, al aumentar el número de unidades ofertadas de dicho artículo, el precio del artículo aumenta, y, también, en el caso particular de este ejemplo, de manera proporcional.

Ejemplo

Un cierto dispositivo electrónico es tal que la función de demanda del mismo viene dada por $d(x)=140-2\cdot 10^{-5}\,x$, donde $d(x)$ (el precio de dicho artículo) se mide en euros y $x$ representa el número de unidades en demanda. Por otra parte, la función de oferta viene dada por $o(x)=50+3\cdot 10^{-5}\,x$, donde $o(x)$, esto es, el precio, se mide en euros y $x$ es el número de unidades (de dicho artículo) en oferta. Nos preguntamos cuántas unidades de dicho dispositivo deberá haber en el mercado para que se alcance el equilibrio. Y, tan tal caso, cuál debe ser el precio del artículo, $p$.

Es claro que para responder a estas preguntas tenemos que resolver el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}p=140-2\cdot 10^{-5}\,x \quad (1)\\ p=50+3\cdot 10^{-5}\,x \quad (2)\end{matrix}\right.$$ Restando $(2)$ de $(1)$ se obtiene $0=90-5\cdot 10^{-5}\,x$ y, por tanto, $x=\dfrac{90}{5\cdot 10^{-5}}=1\,800\,000\, \text{unidades}$. En consecuencia, sustituyendo, ya sea en $(1)$ o indistintamente en $(2)$, vemos que el precio en el equilibrio de mercado que debe tener dicho artículo es $d(1\,800\,000)=140-2\cdot 10^{-5}\cdot 1\,800\,000=104\,\text{euros}$. $\diamond$

Un ejercicio con sucesiones geométricas

Se considera una sucesión geométrica $a_1,a_2,\ldots$ de razón $r\gt 1$ (s. creciente). Nos preguntamos cuál debe ser el valor de $r$ para que el valor del cuarto término sea exactamente el doble que el del primero. También nos preguntamos, en estas condiciones, si el octavo término es igual al doble del cuarto.

Respondamos a la primera pregunta: si $a_4=a_1\,r^{4-1}$ y, por otra parte, $a_4=2\,a_1$, entonces $a_1\,r^{3}=2\,a_1 \Rightarrow r^3=2 \Rightarrow r=\sqrt[3]{2}$. Y, ahora, respondamos a la segunda: para que $\dfrac{a_8}{a_4}=2$, debería cumplirse que $2\,a_1=a_1\,r^7$, esto lleva a $r=\sqrt[7]{4}$, que no es igual al valor de $r$ que habíamos calculado, $\sqrt[3]{2}$, luego la respuesta a esta segunda pregunta es negativa, es decir $a_8 \neq 2\, a_4$. $\diamond$

La inflación y el decrecimiento exponencial. Razonamientos y cálculos sencillos acerca de la pérdida de valor adquisitivo de una cierta cantidad de dinero

Consideremos una situación ficticia en la que la tasa de inflación anual sea del $3\,\%$. A modo de reflexión sobre la pérdida de poder adquisitivo ocasionado por una inflación persistente. Nos preguntamos: ¿en cuánto se habrá depreciado $1$ euro al cabo de $6$ años?

Al final del primer año, $1$ euro se habrá depreciado en $0,03$ céntimos de euro, luego su valor efectivo será de $0,97$ euros. Al final del segundo año, el valor efectivo del euro inicial será de $0,97^2 \approx 0,94$ euros; al final de tercer año será de $0,97^3 \approx 0,91$ euros, así que al final del sexto, el valor efectivo de la cantidad inicial de $1$ euro será de $0,97^6\approx 0,83$ euros.

Notemos que, en general, en $n$ años consecutivos, y en el supuesto de tener una tasa de inflación persistente $p$ (que expresaremos en tanto por unidad), el valor efectivo de una cierta cantidad de dinero, $C$, viene dado, en cada año de la sucesión, por el valor del término de la sucesión geométrica de razón $1-p$: $$C, C\cdot (1-p), C\cdot (1-p)^2, \ldots, C\cdot(1-p)^n$$

Así, por ejemplo, una cantidad de dos mil euros, en una situación de inflación anual (persistente) del $3\,\%$, al cabo de $5$ años vendrá a tener un valor efectivo igual a $2000 \cdot (1-0,03)^5$, esto es, de $1\,717,47$ euros.

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Un sencillo ejercicio sobre el crecimiento exponencial

A modo de ejercicio que haga referencia al crecimiento exponencial, nos proponemos sumar las $n$ potencias consecutivas (siendo $n$ un número entero no negativo) con una cierta base, pongamos por ejemplo que dicha base sea $2$: $$2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1}$$ Veamos cómo podemos hacerlo.

Denotemos por $S_n$ el resultado de dicha suma: $$S_n=2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1} \quad (1)$$ Multiplicando por $2$ (razón de la sucesión geométrica $2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{n-1}$) en ambos miembros de la igualdad anterior, podemos escribir $$2\,S_n=2^1+2^2+2^3+\ldots+2^{n} \quad (2)$$ Y restando miembro a miembro $(2)$ de $(1)$ se llega a $$2\,S_n-S_n=-2^0+2^n$$ esto es $$S_n=2^n-1$$

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Un ejercicio de programación en Python, empleando los operadores condicionales

La imagen (haz clic para verla más grande y así poder leer mejor) muestra el código fuente que he escrito en lenguaje Python (https://www.python.org/downloads/). El entorno de desarrollo (IDE) se llama Thonny (forma parte del software libre y es multiplaforma y puedes descarglo desde https://thonny.org/), y te lo recomiendo para que te resulte más fácil aprender.

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Nota: Este es uno de los ejercicios que realicé en el curso de Python del Campus Tecnológico Virtual, y lo transcribo aquí porque me parece que os puede ayudar en el aprendizaje de este amigable lenguaje de programación.

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La eficiencia que proporcionan las gráficas para facilitar informaciones complejas de manera clara y precisa

En este ejemplo de representación gráfica (mediante diagramas de sectores) ([1], p. 22) se puede apreciar la claridad, rapidez y precisión a la hora de hacer una primera presentación de un informe financiero.

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Referencias y créditos de la imagen:

[1] Revista Oxfam-Intermón, núm. 51, diciembre de 2022.

Una situación en la que aparece una ecuación diofántica (sencilla)

En este artículo expongo la resolución de un problema que consiste en resolver una sencilla ecuación con coeficientes enteros cuyas solución debe estar en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica) y que, en este caso en particular, han de ser números enteros no negativos. Y dice así:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

Escribo primero la ecuación pertinente, de acuerdo con la información del enunciado: $$2x+y=12$$ Desde luego, habrá la solución de dicha ecuación estará formada por más de una pareja de números enteros no negativos — como valores de las variables (incógnitas)—, que denoto por $(x,y)$, y que, al sustituirlos en la ecuación, cumplirán la igualdad numérica entre los dos miembros de la misma, razón por la cual, esta ecuación hay que resolverla en el conjunto de los números naturales, con el añadido del número $0$. Podemos decir, por ello, que es una ecuación diofántica, si bien muy sencilla. Tendremos que contemplar tres casos, que debemos examinar:

1. Caso en que $a=b$
     Entonces, la ecuación pasa a ser $2x+x=12$, y por tanto, $3x=12$, de la cual se obtiene que $x=4$ y, por supuesto, $y=4$. Así, tenemos que en la solución está la pareja $(4,4)$
2. Caso en que $x\gt y$
     Siendo así, $12=2x+y\lt 2x+x$, es decir $3x \gt 12$ y, por tanto, $x \gt 4$; por otra parte, al ser $y\gt 0$, se tiene que $2x\le 12$, luego $x\le 6$. Entonces, los posibles valores de $x$ que aportan solución son tales que $4\lt x \le 6$. Dicho de otro modo, los valores que, en principio, puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6\}$. Examino a continuación, qué valores de $y$ corresponden a cada uno de éstos (a partir del despeje de $b$ en la ecuación: $y=12-2x$):
   • Si $x=5$, entonces $y=12-2\cdot 5=12-10=2$, luego $(5,2)$ forma parate de la solución
   • Si $x=6$, entonces $y=12-2\cdot 6=12-12=0$, luego otra pareja que forma parte de la solución es $(6,0)$
   • Si $x=7$, entonces $y=12-2\cdot 7=12-14=-2 \notin \mathbb{N} \cup \{0\} $, por lo que este valor de $x$ no aporta nada a la solución
   Observación: Obviamente, como ya se ha avanzado, si $x \gt 7$, se obtienen números negativos para $y$.
3. Caso en que $y\gt x$
     Siendo así, $12=2x+y \lt 2y+y=3y$, es decir $3y \gt 12$ y, por tanto, $y \gt 4$; y, como, por otra parte, $y\le 12$, los valores posibles son tales que $4 \lt y \le 12$; dicho de otro modo, los valores a examinar que puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6,7,8,9,19,11,12\}$. A continuación, voy a examinar de dicho conjunto dan valores de $x$ que sean consistentes, a partir del despeje de $x$ en la ecuación: $x=\dfrac{12-y}{2}$:
   • Si $y=5$, entonces $x=\dfrac{12-5}{2}=\dfrac{7}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=6$, entonces $x=\dfrac{12-6}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(3,6)$ forma parte de la solución
   • Si $y=7$, entonces $x=\dfrac{12-7}{2}=\dfrac{5}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=8$, entonces $x=\dfrac{12-8}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(2,8)$ forma parte de la solución
   • Si $y=9$, entonces $x=\dfrac{12-9}{2}=\dfrac{3}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=10$, entonces $x=\dfrac{12-10}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(1,10)$ forma parte de la solución
   • Si $y=11$, entonces $x=\dfrac{12-11}{2}=\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=12$, entonces $x=\dfrac{12-12}{2}=\dfrac{0}{2}=0 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(0,12)$ forma parte de la solución

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $\{(4,4),(5,2),(6,0);(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$.

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Aquí puedes ver otra manera de resolver el problema: empleando el método estándar de resolución de las ecuaciones diofánticas lineales (que se basa en el lema de Bézout)

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