Cotas de error e intervalo de error

ENUNCIADO. Se considera la siguiente operación $b=\dfrac{1000}{a}$, donde $a=0,002\pm 0,001$. Dar una cota del error absoluto y una cota del error relativo de $b$, y el intervalo de error de $b$ a partir de estas cotas.

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que la operación es un cociente y que el numerador se considera una constante ( no afectada de error ) una cota de error relativo de $b$ es $$\epsilon_b=\epsilon_a$$ siendo $$\epsilon_a\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,001}{0,002}=\dfrac{1}{2}$$ luego, de la definición $\epsilon_b\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta_b}{b}$, y siendo $b=\dfrac{1000}{0,001}=1\,000\,000$, la cota correspondiente de error absoluto de $b$ es $$\Delta_b = \epsilon_{b}\,b=\dfrac{1}{2}\cdot 1\,000\,000=500\,000 $$ Por consiguiente $$b=1\,000\,000 \pm 500\,000$$ esto es $$b \in ( 1\,000\,000-500\,000\,,\,1\,000\,000+500\,000)=(500\,000\,,\,1\,500\,000)$$
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Determinar el intervalo de error

ENUNCIADO. Un depósito esférico tiene una capacidad de $95\,000 \pm 5000 \; \text{L}$. Calcular el intervalo de error en el que se encuentra el valor del radio ( interior de las paredes ) del depósito.

SOLUCIÓN. Recordemos que el volumen de una esfera de radio $r$ se calcula mediante la fórmula $$V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$$, de donde, conocido el volumen, podemos determinar el valor del radio despejándolo de la igualdad anterior $$r=\sqrt[3]{\dfrac{3\,V}{4\,\pi}}$$ El extremo superior del intervalo de error del volumen es $95\,000+5000=100\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo superior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 100\,000 }{4\,\pi}} \approx 29,8\;\text{dm} = 298\;\text{cm}$$

El extremo inferior del intervalo de error del volumen es $95\,000-5000=90\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo inferior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 90\,000 }{4\,\pi}} \approx 27,8\;\text{dm}=278\;\text{cm}$$

Así, pues, el intervalo (en la recta numérica de los números reales) de error del radio $r$ ( expresado en centímetros ) es $$(278\,,\,298)$$ y el centro del mismo es $$\bar{r}=\dfrac{278+298}{2}=288\;\text{cm}$$.

NOTA. Teniendo en cuenta, ahora, que la semi-amplitud del intervalo es $\dfrac{298-278}{2}=10\;\text{cm}$, podemos expresar que el valor del radio, $r$, es igual a $$288 \pm 10 \; \text{cm}$$

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Un depósito de agua ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de prisma recto de base rectangular. Se ha construido tomando en cuenta las siguientes medidas de las aristas: $4,52 \pm 0,03 \, \text{m}$, $2,14 \pm 0,01 \, \text{m}$ y $7,82 \pm 0,04 \, \text{m}$.
¿Podemos garantizar que en dicho depósito quepan $77\,229$ litros de agua?

SOLUCIÓN. Calculemos el extremo inferior del intervalo de error del volumen del prisma, que viene dado por $$(4,52-0,03)(2,14-0,01)(7,82-0,04)=74,41 \, \text{m}^3\, ( \text{con 4 c.s.)}$$ que corresponde a $74\,410 \, \text{L}$ de capacidad, y como la cantidad de agua pedida es mayor que dicho extremo inferior, $77\,229 \succ 74\,419$, no podemos garantizar que vaya a caber en el depósito. $\square$

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Se desea cortar un panel de madera ...

ENUNCIADO:
Se desea cortar un panel de madera, de forma cuadrada, de modo que su área sea de $10\,000 \pm 500 \; \text{cm}^2$. ¿Qué margen de error debe tener la longitud del lado?

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que el lado $l$ del cuadrado es igual a $\sqrt{A}$, donde $A$ representa el área del mismo, vemos que el mayor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000+500} \approx 102 \, \text{cm}$, mientras que el menor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000-500} \approx 97 \, \text{cm}$; entonces el valor central del intervalo $(102\,,\,97)$ es $\dfrac{102+97}{2} \approx 100 \, \text{cm}$., y la amplitud de dicho intervalo ( de error o de incertidumbre ) es igual a $102-97$, luego la semi-amplitud del mismo es $\dfrac{102-97}{2} \approx 2 \, \text{cm}$. Así, pues, podemos decir que la longitud del lado ( cuando cortemos el panel ) debe ser igual a $100 \, \text{cm}$, con un margen de error ( o cota de error absoluto ) de $2\,\text{cm}$, cosa que también podemos expresar de la siguiente forma: $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
-oOo-Otra manera de resolver este problema es la siguiente. Como el área se calcula mediante un producto, $A=l\cdot l$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es: $\varepsilon_A = \varepsilon_l + \varepsilon_l$, esto es, $\varepsilon_A=2\,\varepsilon_l$. Teniendo en cuenta que $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{A}$, podemos escribir $\varepsilon_A=\dfrac{500}{10\,000} = 0,025$. Por otra parte, $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{l}$
y $l=\sqrt{A}$, luego $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{\sqrt{A}}$, con lo cual podemos escribir $0,025 = \dfrac{\Delta_l}{\sqrt{10\,000}} \Rightarrow \Delta_l = 0,025 \cdot 100 = 2,5 \approx 2$. De lo cual concluimos que $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
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