Errores de aproximación

ENUNCIADO. Se aproxima el número $x=\sqrt{5}$ por $\bar{x}=2,24$. Se pide:
a) El error absoluto, $E$
b) El error relativo, $e$
c) Una cota del error absoluto, $\Delta$
d) Una cota del error relativo, $\varepsilon$

SOLUCIÓN.

Aproximar y calcular el error

ENUNCIADO. Se aproxima el número $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ por $\bar{x}=1,62$. Se pide:

a) El error absoluto, $E$
b) El error relativo, $e$
c) Una cota del error absoluto, $\Delta$
d) Una cota del error relativo, $\varepsilon$

SOLUCIÓN.
La expresión decimal del número, $x$ ( que reconocemos como el número de áureo $\phi$ ) es $1,618033989\cdots$. Así, el error absoluto cometido en la aproximación es $E\overset{\text{def}}{=}|x-\bar{x}|=|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62|\overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 < 0,005$, luego tomamos $\Delta=0,005$, que es la cota convenida para aproximaciones por redondeo -- que es el caso de esta aproximación -- y que corresponde a media unidad del orden de la última cifra considerada ( la de las centésimas ).

$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{0,002}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 =0,2\,\% $


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Determinar el intervalo de error

ENUNCIADO. Un depósito esférico tiene una capacidad de $95\,000 \pm 5000 \; \text{L}$. Calcular el intervalo de error en el que se encuentra el valor del radio ( interior de las paredes ) del depósito.

SOLUCIÓN. Recordemos que el volumen de una esfera de radio $r$ se calcula mediante la fórmula $$V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$$, de donde, conocido el volumen, podemos determinar el valor del radio despejándolo de la igualdad anterior $$r=\sqrt[3]{\dfrac{3\,V}{4\,\pi}}$$ El extremo superior del intervalo de error del volumen es $95\,000+5000=100\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo superior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 100\,000 }{4\,\pi}} \approx 29,8\;\text{dm} = 298\;\text{cm}$$

El extremo inferior del intervalo de error del volumen es $95\,000-5000=90\,000 \, \text{dm}^3$, con lo cual el extremo inferior del intervalo de error del radio del depósito es $$\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 90\,000 }{4\,\pi}} \approx 27,8\;\text{dm}=278\;\text{cm}$$

Así, pues, el intervalo (en la recta numérica de los números reales) de error del radio $r$ ( expresado en centímetros ) es $$(278\,,\,298)$$ y el centro del mismo es $$\bar{r}=\dfrac{278+298}{2}=288\;\text{cm}$$.

NOTA. Teniendo en cuenta, ahora, que la semi-amplitud del intervalo es $\dfrac{298-278}{2}=10\;\text{cm}$, podemos expresar que el valor del radio, $r$, es igual a $$288 \pm 10 \; \text{cm}$$

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Un depósito de agua ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de prisma recto de base rectangular. Se ha construido tomando en cuenta las siguientes medidas de las aristas: $4,52 \pm 0,03 \, \text{m}$, $2,14 \pm 0,01 \, \text{m}$ y $7,82 \pm 0,04 \, \text{m}$.
¿Podemos garantizar que en dicho depósito quepan $77\,229$ litros de agua?

SOLUCIÓN. Calculemos el extremo inferior del intervalo de error del volumen del prisma, que viene dado por $$(4,52-0,03)(2,14-0,01)(7,82-0,04)=74,41 \, \text{m}^3\, ( \text{con 4 c.s.)}$$ que corresponde a $74\,410 \, \text{L}$ de capacidad, y como la cantidad de agua pedida es mayor que dicho extremo inferior, $77\,229 \succ 74\,419$, no podemos garantizar que vaya a caber en el depósito. $\square$

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¿ Cuántas cifras decimales son correctas en la aproximación .... ?

ENUNCIADO. Hemos aproximado el número $7,891654$ por $7,891$ (por truncamiento, a partir de la cuarta cifra decimal). ¿Cuántas cifras ( de la parte decimal ) de $7,891$ son correctas?

SOLUCIÓN. Recordemos que $n$ cifras de la parte decimal del resultado de una aproximación son correctas si el error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra considerada, esto es, si $E \prec \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$. Como $E=|7,891654-7,891|=0,000654 \prec 0,005 = \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-{\bf 2}} $ concluimos que, como $n=2$, sólo las dos primeras cifras de la parte decimal son correctas. $\square$

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Se desea cortar un panel de madera ...

ENUNCIADO:
Se desea cortar un panel de madera, de forma cuadrada, de modo que su área sea de $10\,000 \pm 500 \; \text{cm}^2$. ¿Qué margen de error debe tener la longitud del lado?

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que el lado $l$ del cuadrado es igual a $\sqrt{A}$, donde $A$ representa el área del mismo, vemos que el mayor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000+500} \approx 102 \, \text{cm}$, mientras que el menor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000-500} \approx 97 \, \text{cm}$; entonces el valor central del intervalo $(102\,,\,97)$ es $\dfrac{102+97}{2} \approx 100 \, \text{cm}$., y la amplitud de dicho intervalo ( de error o de incertidumbre ) es igual a $102-97$, luego la semi-amplitud del mismo es $\dfrac{102-97}{2} \approx 2 \, \text{cm}$. Así, pues, podemos decir que la longitud del lado ( cuando cortemos el panel ) debe ser igual a $100 \, \text{cm}$, con un margen de error ( o cota de error absoluto ) de $2\,\text{cm}$, cosa que también podemos expresar de la siguiente forma: $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
-oOo-Otra manera de resolver este problema es la siguiente. Como el área se calcula mediante un producto, $A=l\cdot l$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es: $\varepsilon_A = \varepsilon_l + \varepsilon_l$, esto es, $\varepsilon_A=2\,\varepsilon_l$. Teniendo en cuenta que $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{A}$, podemos escribir $\varepsilon_A=\dfrac{500}{10\,000} = 0,025$. Por otra parte, $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{l}$
y $l=\sqrt{A}$, luego $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{\sqrt{A}}$, con lo cual podemos escribir $0,025 = \dfrac{\Delta_l}{\sqrt{10\,000}} \Rightarrow \Delta_l = 0,025 \cdot 100 = 2,5 \approx 2$. De lo cual concluimos que $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
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