Aproximar y calcular el error

ENUNCIADO. Se aproxima el número $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ por $\bar{x}=1,62$. Se pide:

a) El error absoluto, $E$
b) El error relativo, $e$
c) Una cota del error absoluto, $\Delta$
d) Una cota del error relativo, $\varepsilon$

SOLUCIÓN.
La expresión decimal del número, $x$ ( que reconocemos como el número de áureo $\phi$ ) es $1,618033989\cdots$. Así, el error absoluto cometido en la aproximación es $E\overset{\text{def}}{=}|x-\bar{x}|=|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62|\overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 < 0,005$, luego tomamos $\Delta=0,005$, que es la cota convenida para aproximaciones por redondeo -- que es el caso de esta aproximación -- y que corresponde a media unidad del orden de la última cifra considerada ( la de las centésimas ).

$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{0,002}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 =0,2\,\% $


$\square$

Hemos aproximado el número $e$ por $2,71$ ...

ENUNCIADO. Hemos aproximado ( por truncamiento ) el número irracional $e$ ( base de los logaritmos neperianos ) por el número $2,71$. Calcular el error absoluto, $E$, y el error relativo $\epsilon$. Dar una cota del error absoluto, $\Delta$, y una cota del error relativo $\varepsilon$.

SOLUCIÓN.
$E=|e-2,71|\approx |2,71828-2,71|=0,0083 \prec 0,01$, luego $\Delta:=0,01$

$e=\dfrac{E}{e}\approx \dfrac{0,0083}{2,71828} \approx 0,0031 \prec 0,004$, luego $\varepsilon:=0,004 = 0,4\,\%$
$\square$

[autoría]

Calcular los errores absoluto y relativo ...

ENUNCIADO. Calcular los errores absoluto y relativo cometidos al tomar como valor de $\dfrac{120}{11}$ la aproximación $10,91$

SOLUCIÓN.
Error absoluto: $E\overset{\text{(def)}}{=}|x-\bar{x}|$, siendo $x$ el valor exacto y $\bar{x}$
Error relativo: $e\overset{\text{(def)}}{=}\dfrac{E}{x}$
Entonces, $E=|\dfrac{120}{11}-10,91| \approx 9,09\cdot 10^{-4}$ y $e=\dfrac{9,09\cdot 10^{-4}}{\dfrac{120}{11}}=8,\bar{3} \cdot 10^{-5} \prec 8,4 \cdot 10^{-5} = 0,0084 \, \%$
$\square$

[autoría]

Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo ...

ENUNCIADO:
Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo del número $\pi=3,14159 \ldots$ $$\pi \approx 3,1$$

SOLUCIÓN:
Al aproximar por redondeo hasta la cifra de las décimas ( $n=1$ ) y que todas las cifras del resultado ( la de las unidades y la de las décimas ) significativas sean correctas, debemos tomar una cota de error absoluto, $\Delta$, igual a $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$, que en nuestro caso es $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$. Por tanto, la cota de error relativo correspondiente es $\varepsilon = \dfrac{0,05}{3,1} \approx 0,016 \prec 0,02$; es decir, haciendo esta aproximación ( $\pi \approx 3,1$ ), podemos garantizar una precisión que caracterizamos con un error relativo del $2\,\%$

NOTA: Observemos que ya no podemos garantizar que al realizar la aproximación con una cifra significativa más ( manteniendo la misma cota de error absoluto ) ésta última cifra sea también correcta.

$\square$

[autoría]