Hemos aproximado el número $e$ por $2,71$ ...

ENUNCIADO. Hemos aproximado ( por truncamiento ) el número irracional $e$ ( base de los logaritmos neperianos ) por el número $2,71$. Calcular el error absoluto, $E$, y el error relativo $\epsilon$. Dar una cota del error absoluto, $\Delta$, y una cota del error relativo $\varepsilon$.

SOLUCIÓN.
$E=|e-2,71|\approx |2,71828-2,71|=0,0083 \prec 0,01$, luego $\Delta:=0,01$

$e=\dfrac{E}{e}\approx \dfrac{0,0083}{2,71828} \approx 0,0031 \prec 0,004$, luego $\varepsilon:=0,004 = 0,4\,\%$
$\square$

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Calcular los errores absoluto y relativo ...

ENUNCIADO. Calcular los errores absoluto y relativo cometidos al tomar como valor de $\dfrac{120}{11}$ la aproximación $10,91$

SOLUCIÓN.
Error absoluto: $E\overset{\text{(def)}}{=}|x-\bar{x}|$, siendo $x$ el valor exacto y $\bar{x}$
Error relativo: $e\overset{\text{(def)}}{=}\dfrac{E}{x}$
Entonces, $E=|\dfrac{120}{11}-10,91| \approx 9,09\cdot 10^{-4}$ y $e=\dfrac{9,09\cdot 10^{-4}}{\dfrac{120}{11}}=8,\bar{3} \cdot 10^{-5} \prec 8,4 \cdot 10^{-5} = 0,0084 \, \%$
$\square$

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Aproximar de forma que ...

ENUNCIADO. Aproximar el número $21,7289$ con un error menor que una milésima.

SOLUCIÓN. Denotemos por $\bar{x}$ el resultado de la aproximación pedida. Entonces $$|21,7289-\bar{x}|\prec 0,001 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
21,7289 - \bar{x} \prec 0,001 \\
\text{ó} \\
-(21,7289 - \bar{x})\prec 0,001 \\
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\bar{x} \succ 21,7289-0,001 \\
\text{ó} \\
\bar{x}\prec 21,7289+0,001 \\
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\bar{x} \succ 21,7279 \\
\text{ó} \\
\bar{x}\prec 21,7299 \\
\end{matrix}\right.$$
y por tanto concluimos que $\bar{x}$ puede tomar cualquier valor comprendido en el intervalo $(21'7279\,,\,21'7299)$
$\square$

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¿ Cuántas cifras decimales son correctas en la aproximación .... ?

ENUNCIADO. Hemos aproximado el número $7,891654$ por $7,891$ (por truncamiento, a partir de la cuarta cifra decimal). ¿Cuántas cifras ( de la parte decimal ) de $7,891$ son correctas?

SOLUCIÓN. Recordemos que $n$ cifras de la parte decimal del resultado de una aproximación son correctas si el error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra considerada, esto es, si $E \prec \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$. Como $E=|7,891654-7,891|=0,000654 \prec 0,005 = \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-{\bf 2}} $ concluimos que, como $n=2$, sólo las dos primeras cifras de la parte decimal son correctas. $\square$

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Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo ...

ENUNCIADO:
Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo del número $\pi=3,14159 \ldots$ $$\pi \approx 3,1$$

SOLUCIÓN:
Al aproximar por redondeo hasta la cifra de las décimas ( $n=1$ ) y que todas las cifras del resultado ( la de las unidades y la de las décimas ) significativas sean correctas, debemos tomar una cota de error absoluto, $\Delta$, igual a $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$, que en nuestro caso es $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$. Por tanto, la cota de error relativo correspondiente es $\varepsilon = \dfrac{0,05}{3,1} \approx 0,016 \prec 0,02$; es decir, haciendo esta aproximación ( $\pi \approx 3,1$ ), podemos garantizar una precisión que caracterizamos con un error relativo del $2\,\%$

NOTA: Observemos que ya no podemos garantizar que al realizar la aproximación con una cifra significativa más ( manteniendo la misma cota de error absoluto ) ésta última cifra sea también correcta.

$\square$

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