Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman multiplicando por una cantidad el término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1\cdot r_{n}$, donde $r_n=r_{1}\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $r_1$ de la sucesión de las cantidades a multiplicar por el término precedente, $r_1,r_2,\ldots$, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1\cdot r_1$
• $a_3=a_2\cdot r_2=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}$
• $a_4=a_3\cdot r_3=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}$
• $\ldots$
• $a_n=a_1\cdot \left(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots} \cdot r_{n-1}\ \right)\quad \quad (1)$

El producto entre paréntesis del segundo término de (1) obedece al de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $r_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que dicho producto se puede calcular utilizando el siguiente resultado ya conocido de cursos anteriores $r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle\sqrt{(r_1\cdot r_{n-1})^{n-1}}=(r_1\cdot r_{n-1})^{(n-1)/2}$. Por otra parte, también es sabido que el último término de esta secuencia es $r_{n-1}=r_{1}\cdot r^{n-2}$, con lo cual este producto de $n-1$ factores se puede escribir como, $$r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle \left(r_{1}^2\cdot r^{n-2}\right)^{(n-1)/2}=r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}$$ Sustituyendo en (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1\cdot r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2) $$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,8,64,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $r_1=2$ y $r=2$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=1\cdot 2^{n-1}\cdot 2^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ esto es $$a_n=2^{((n-1)(n-2)+2(n-1))/2}=2^{(n-1)(n-2+2)/2}=2^{n(n-1)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=2^{1\cdot(1-1)/2}=2^0=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_1=2$; en efecto, $a_1=2^{2\cdot(2-1)/2}=2^1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_1=8$; en efecto, $a_1=2^{3\cdot(3-1)/2}=2^3=8$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_1=64$; en efecto, $a_1=2^{4\cdot(4-1)/2}=2^6=64$
• $\ldots$

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Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión aritmética

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1+(n-1)\,d$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, $d_1,d_2,\ldots$, y de la diferencia, $d$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión aritmética de primer término $d_1$ (conocido) y diferencia $d$ (conocida). Es bien sabido que el último sumando (término) de dicha progresión artimética es $d_{n-1}=d_1+(n-2)\,d$, y la fórmula (también conocida) de la suma de una sucesión aritmética — producto del número de términos por la semisuma del primer y del último término—, podemos escribir que $d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\left(\dfrac{d_1+(d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)=\left(\dfrac{2\,d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)$, es decir, $$d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)$$ Sustituyendo em (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1+\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Nótese que la expresión obtenida es cuadrática en $n$; en efecto, desarrollándola algebraicamente se obtiene: $$a_n=\dfrac{d}{2}\,n^2+(d_1-\dfrac{3}{2}\,d)\,n+(a_1-d_1+d)\,,\,n=1,2,3,\ldots \quad \quad (3)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,4,7,11,16\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $d_1=1$ y $d=1$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=\dfrac{1}{2}\,n^2-\frac{1}{2}\,n+1\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 1+1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_2=2$; en efecto, $a_2=\dfrac{1}{2}\,2^2-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=\dfrac{1}{2}\cdot 4-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=2-1+1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_3=4$; en efecto, $a_3=\dfrac{1}{2}\,3^2-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{1}{2}\cdot 9-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{6}{2}+1=3+1=4$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_4=7$; en efecto, $a_4=\dfrac{1}{2}\,4^2-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=\dfrac{1}{2}\cdot 16-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=8-2+1=7$
• $\ldots$

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Observación

Sabiendo de antemano que el término general de este tipo de sucesiones obedece a una expresión algebraica cuadrática en $n$, $a_n=An^2+Bn+C\,,\,n=1,2,3,\ldots$, también podemos optar por calcular los coeficientes $A,B$ y $C$ mediante una interpolación cuadrática, tal y como ya os he mostrado en otros artículos de este blog: bastará resolver el sistema de tres ecuaciones lineales que así se obtenga, cuyas incógnitas son precisamente los coeficientes a determinar, conocidos los valores de tres de los términos de dicha sucesión, que no tienen porque ser consecutivos. $\diamond$

Producto de los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica

Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:   $a_1$
  $a_2=a_1\,r$
  $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
  $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
  $\ldots$
  $a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que el producto de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\sqrt{(a_1\,a_n)^n}$$

En efecto, en toda sucesión geométrica se cumple que $a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots$

  Escrbiendo el producto con los factores en orden directo e inverseo, y multiplicando miembro a miembro (1) y (2): $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_1\cdot a_2 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_n \quad \quad (1)$$ $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_n\cdot a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdot \ldots \cdot a_{2}\cdot a_1 \quad \quad (2)$$
se tiene que $$(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i)^2=(a_1\cdot a_{n}) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1})\cdot \ldots \cdot (a_{a_n}\cdot a_1)=(a_{a_1}\cdot a_n)^{n/2} \Rightarrow \displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\left((a_1\cdot a_n)^{n}\right)^{1/2}=\sqrt{(a_{a_1}\cdot a_n)^{n}}$$ Nótese que, si el $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos factores cuyo producto es igual para todos ellos; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\sqrt{a_{(n+1)/2}\cdot a_{(n+1)/2}}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
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Suma de los primeros $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica

Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:   $a_1$
  $a_2=a_1\,r$
  $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
  $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
  $\ldots$
  $a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$$

En efecto, $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=$
  $=a_1+r\,a_1+r\,a_2+\ldots+r\,a_{n-1}$
    $=a_1+r\,(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1})$
      $=a_1+r\,(S_n-a_n)$
Así pues, $S_n=a_1+r\cdot(S_n-a_n)$, con lo cual $S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_n$ y como $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$, se tiene que
$S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_1\cdot r^{n-1}$, esto es, $S_n\cdot (1-r)=a_1\cdot(1-r\cdot r^{n-1})=a_1\cdot(1-r^n)$, y despejando $S_n$, $$S_n=a_1\cdot \dfrac{1-r^n}{1-r}$$ que es lo mismo que $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} \quad \quad (1)$$ $\diamond$

Observación (Suma de infinitos términos)

Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (1) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} =\dfrac{a_1}{1-r}\quad \quad (2)$$

Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética

Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión aritmética de diferencia $d$:
  $a_1$
  $a_2=a_1+d$
  $a_3=a_2+d=a_1+2d$
  $a_4=a_3+d=a_1+3$
  $\ldots$
  $a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

En efecto, en toda sucesión aritmética se cumple que $a_1+a_n a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\ldots$

  Escrbiendo la suma con los sumandos en orden directo e inverseo, y sumando miembro a miembro (1) y (2): $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_1+ a_2 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \quad \quad (1)$$ $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_n+ a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_{2} + a_1 \quad \quad (2)$$ se tiene que $$\displaystyle 2\,\sum_{i=1}^{n}\,a_i=(a_1+ a_{n}) + (a_2 + a_{n-1}) + \ldots + (a_{a_n} + a_1)=n\cdot (a_{a_1} + a_n) \Rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{n\cdot (a_1+ a_n)}{2}=\dfrac{a_1+ a_n}{2}\cdot n$$
  Nótese que, si $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos sumandos cuya suma es igual para todos ellos, por lo que no no hay objeción; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\dfrac{ a_{(n+1)/2} + a_{(n+1)/2 }}{2}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
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Calculadoras científicas modernas: la calculadora Numworks

En breve expondré material de ayuda para el aprendizaje y uso de la calculadora científica Numworks, que encuentro especialmente útil para el aprendizaje del cálculo numérico, la estadística y el cálculo de probabilidades, a nivel de Bachillerato. Además es gráfica y es programable en lenguaje Python. Podéis probarla y utilizarla en vuestro ordenador con este emulador, y en su canal de vídeo podréis visionar muchos tutoriales para aprender a utilizarla con eficacia.

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Algunas sucesiones y series de números naturales que aparecen en muchos problemas de combinatoria y probabilidad

Nos proponemos sumar los $50$ primeros términos de las siguientes secuencias de números naturales:
  a) $1,2,3,4,5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50$
  b) $1,4,9,16,25,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},2500$
  c) $1,8,27,64,125,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},125000$

Observemos que estas sucesiones se forman de la siguiente manera:
  a) $1,2,3,4,5,\ldots$ es la sucesión de los los números naturales $a_n=n$, y siendo finita en nuestro caso la sucesión, con $n=1,2,3,\ldots,50$, es muy fácil demostrar que, teniendo en cuenta que los términos forman una sucesión aritmética de diferencia igual a $1$, la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión de los númros naturales es $1+2+\ldots+n=\dfrac{n\,(n+1)}{2}$. Así pues, $1+2+3+4+5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50=\dfrac{50\cdot (50+1)}{2}=1\,275$

  b) $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots,50^2$ es la sucesión $b_n=n^2$, siendo finita la sucesión (como en el caso anterior), con $n=1,2,3,\ldots,50$,con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cuadrados de los $50$ primeros números naturales. Por inducción se demuestra fácilmente que la suma de los $n$ primeros términos de dicha sucesión es $1^2+2^2+\ldots+n^2=\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}$. Por consiguiente, $1+4+9+16+25+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+2500=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^2=\dfrac{50\cdot (50+1)\cdot (2\cdot 50+1)}{6}=42\,925$

  c) $1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots,50^3$, es la sucesión finita $c_n=n^3$ con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cubos de los $50$ primeros números naturales. Se demuestra fácilmente —también por inducción— que la suma de los $n$ primeros términos de esta sucesión es $1^3+2^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2\,(n+1)^2}{4}$. Por tanto, $1+8+27+64+125+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+125000=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^3=\dfrac{50^2\cdot (50+1)^2}{4}=1\,625\,625$
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