Un sencillo ejercicio sobre el crecimiento exponencial

A modo de ejercicio que haga referencia al crecimiento exponencial, nos proponemos sumar las $n$ potencias consecutivas (siendo $n$ un número entero no negativo) con una cierta base, pongamos por ejemplo que dicha base sea $2$: $$2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1}$$ Veamos cómo podemos hacerlo.

Denotemos por $S_n$ el resultado de dicha suma: $$S_n=2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{n-1} \quad (1)$$ Multiplicando por $2$ (razón de la sucesión geométrica $2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{n-1}$) en ambos miembros de la igualdad anterior, podemos escribir $$2\,S_n=2^1+2^2+2^3+\ldots+2^{n} \quad (2)$$ Y restando miembro a miembro $(2)$ de $(1)$ se llega a $$2\,S_n-S_n=-2^0+2^n$$ esto es $$S_n=2^n-1$$

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Un ejercicio de programación en Python, empleando los operadores condicionales

La imagen (haz clic para verla más grande y así poder leer mejor) muestra el código fuente que he escrito en lenguaje Python (https://www.python.org/downloads/). El entorno de desarrollo (IDE) se llama Thonny (forma parte del software libre y es multiplaforma y puedes descarglo desde https://thonny.org/), y te lo recomiendo para que te resulte más fácil aprender.

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Nota: Este es uno de los ejercicios que realicé en el curso de Python del Campus Tecnológico Virtual, y lo transcribo aquí porque me parece que os puede ayudar en el aprendizaje de este amigable lenguaje de programación.

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La eficiencia que proporcionan las gráficas para facilitar informaciones complejas de manera clara y precisa

En este ejemplo de representación gráfica (mediante diagramas de sectores) ([1], p. 22) se puede apreciar la claridad, rapidez y precisión a la hora de hacer una primera presentación de un informe financiero.

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Referencias y créditos de la imagen:

[1] Revista Oxfam-Intermón, núm. 51, diciembre de 2022.

Una situación en la que aparece una ecuación diofántica (sencilla)

En este artículo expongo la resolución de un problema que consiste en resolver una sencilla ecuación con coeficientes enteros cuyas solución debe estar en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica) y que, en este caso en particular, han de ser números enteros no negativos. Y dice así:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

Escribo primero la ecuación pertinente, de acuerdo con la información del enunciado: $$2x+y=12$$ Desde luego, habrá la solución de dicha ecuación estará formada por más de una pareja de números enteros no negativos — como valores de las variables (incógnitas)—, que denoto por $(x,y)$, y que, al sustituirlos en la ecuación, cumplirán la igualdad numérica entre los dos miembros de la misma, razón por la cual, esta ecuación hay que resolverla en el conjunto de los números naturales, con el añadido del número $0$. Podemos decir, por ello, que es una ecuación diofántica, si bien muy sencilla. Tendremos que contemplar tres casos, que debemos examinar:

1. Caso en que $a=b$
     Entonces, la ecuación pasa a ser $2x+x=12$, y por tanto, $3x=12$, de la cual se obtiene que $x=4$ y, por supuesto, $y=4$. Así, tenemos que en la solución está la pareja $(4,4)$
2. Caso en que $x\gt y$
     Siendo así, $12=2x+y\lt 2x+x$, es decir $3x \gt 12$ y, por tanto, $x \gt 4$; por otra parte, al ser $y\gt 0$, se tiene que $2x\le 12$, luego $x\le 6$. Entonces, los posibles valores de $x$ que aportan solución son tales que $4\lt x \le 6$. Dicho de otro modo, los valores que, en principio, puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6\}$. Examino a continuación, qué valores de $y$ corresponden a cada uno de éstos (a partir del despeje de $b$ en la ecuación: $y=12-2x$):
   • Si $x=5$, entonces $y=12-2\cdot 5=12-10=2$, luego $(5,2)$ forma parate de la solución
   • Si $x=6$, entonces $y=12-2\cdot 6=12-12=0$, luego otra pareja que forma parte de la solución es $(6,0)$
   • Si $x=7$, entonces $y=12-2\cdot 7=12-14=-2 \notin \mathbb{N} \cup \{0\} $, por lo que este valor de $x$ no aporta nada a la solución
   Observación: Obviamente, como ya se ha avanzado, si $x \gt 7$, se obtienen números negativos para $y$.
3. Caso en que $y\gt x$
     Siendo así, $12=2x+y \lt 2y+y=3y$, es decir $3y \gt 12$ y, por tanto, $y \gt 4$; y, como, por otra parte, $y\le 12$, los valores posibles son tales que $4 \lt y \le 12$; dicho de otro modo, los valores a examinar que puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6,7,8,9,19,11,12\}$. A continuación, voy a examinar de dicho conjunto dan valores de $x$ que sean consistentes, a partir del despeje de $x$ en la ecuación: $x=\dfrac{12-y}{2}$:
   • Si $y=5$, entonces $x=\dfrac{12-5}{2}=\dfrac{7}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=6$, entonces $x=\dfrac{12-6}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(3,6)$ forma parte de la solución
   • Si $y=7$, entonces $x=\dfrac{12-7}{2}=\dfrac{5}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=8$, entonces $x=\dfrac{12-8}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(2,8)$ forma parte de la solución
   • Si $y=9$, entonces $x=\dfrac{12-9}{2}=\dfrac{3}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=10$, entonces $x=\dfrac{12-10}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(1,10)$ forma parte de la solución
   • Si $y=11$, entonces $x=\dfrac{12-11}{2}=\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=12$, entonces $x=\dfrac{12-12}{2}=\dfrac{0}{2}=0 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(0,12)$ forma parte de la solución

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $\{(4,4),(5,2),(6,0);(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$.

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Aquí puedes ver otra manera de resolver el problema: empleando el método estándar de resolución de las ecuaciones diofánticas lineales (que se basa en el lema de Bézout)

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Otra forma de ver las permutaciones con repetición

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes, atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $tres$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de ordenaciones es $$\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$. $\diamond$

Ejemplo de suma de los $n$ primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica

Consideremos una sucesón aritmético-geométrica tal como $a_k=k\,r^k$, siendo $r$ constante y $k=1,2,\ldots,n$ (donde $n\in \mathbb{N})$. Nos planteamos resolver la suma $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\,k\,r^k$$ Obtendremos un importante resultante, que es muy útil a la hora de calcular esperanzas matemáticas (valores esperados de una variable aleatoria) en distribuciones de probabilidad discretas.

Por comodidad en la notación, denotaremos por $S_n$ la suma pedida: $$S_n=r+2\,r^2+3\,r^3+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^n\quad \quad (1)$$ Multiplicando por $r$ sendos miembros de (1) podemos escribir $$r\,S_n=r^2+2r^3+3\,r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^{n+1}\quad \quad (2)$$ Restando miembro a miembro (2) de (1) se obtiene $$S_n-r\,S_n=(r+r^2+r^3+r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+r^n)-n\,r^{n+1}\quad \quad (3)$$ En el paréntesis del segundo miembro, reconocemos la suma de los $n$ primeros términos de una progresión (sucesión) geométrica de primer término $r$ y rázon (también) $r$, luego su suma —véase los artículos de este blog en los que se ha justificado la fórmula que usamos a continuación— es igual a $r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$; en cosecuencia, podemos expresar (3) de la forma $$S_n-r\,S_n=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (4)$$ Sacando factor común de $S_n$ en el primer miembro, $$S_n\,(1-r)=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (5)$$ Despejando $S_n$, se llega a $$\displaystyle S_n=\dfrac{r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}}{1-r}\quad \quad (5)$$ y arreglando un poco esta expresión, encontramos: $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(r-1)^2}\quad \quad (6)$$ que es equivalente a $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}\quad \quad (7)$$

Ejemplo

Sea la sucesión aritmético-geométrica $2,8,24,64,\,\ldots$, donde $r=2$. Hagamos algunas comprobaciones sencillas:

• Con sólo el primer sumando ($n=1$), deberíamos encontrar que $S_1=2$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_1=\dfrac{1\cdot 2^3-2\cdot 2^2+2}{(1-2)^2}=\dfrac{8-8+2}{^(-1)^2}=\dfrac{2}{1}=2$
• Con los dos primeros sumandos ($n=2$), deberíamos encontrar que $S_2=2+8=10$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_2=\dfrac{2\cdot 2^4-3\cdot 2^3+2}{(1-2)^2}=\dfrac{32-24+2}{^(-1)^2}=\dfrac{10}{1}=10$
• Con los tres primeros sumandos ($n=3$), deberíamos encontrar que $S_3=2+8+24=34$; así es, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_3=\dfrac{3\cdot 2^5-4\cdot 2^4+2}{(1-2)^2}=\dfrac{96-64+2}{^(-1)^2}=\dfrac{34}{1}=34$

Observación (Suma de infinitos términos)

Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (7) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}=\dfrac{r}{(1-r)^2}\quad \quad (8)$$

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Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $d_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que la suma de una sucesión geométrica: $d_1+d_2+\ldots+d_{n-1}=d_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$. Por tanto, podemos escribir (1) de la forma $$a_n=a_1+d_1\cdot \dfrac{r^{n-1}-1}{r-1}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $3,4,6,10,18,34,\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Notemos que $a_3=1$, $d_1=1$ y $r=2$. Comprobemos (por ejemplo) el sexto término $a_6$:

  Para $n=6$, debemos obtener $a_6=34$; en efecto, sustituyendo el valor del índice en (2): $a_6=3+1\cdot \dfrac{2^{6-1}-1}{2-1}=3+1\cdot \dfrac{2^{5}-1}{1}=3+1\cdot \dfrac{32-1}{1}=3+31=34$
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