Ejercicios resueltos y comentados del examen del tema 4 ( realizado el día 12/02/2016 )

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Calcular el conjunto imagen

ENUNCIADO. Calcular el recorrido ( o rango ) de la función
$$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$$

SOLUCIÓN.

Calcular el dominio de definición

ENUNCIADO. Calcular el dominio de definición de la función $$f(x)=\dfrac{\left|\sqrt {x^2-5x+6 }\right|}{x-3}$$

SOLUCIÓN. En primer lugar, podemos factorizar el polinomio del argumento de la raíz cuadrada $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ con lo cual la función podemos escribirla de la forma $$f(x)=\left |\sqrt{\dfrac{x-2}{x-3}}\right|$$ Así $$\text{Dom}\,f=\{x\in \mathbb{R}: \dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \}$$ Entonces $$\dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2 \ge 0 \quad \text{y} \quad x-3 > 0 \rightarrow [2\,,\,+\infty) \cap (3\,,\,+\infty) = (3\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}\\ \\ \text{ó} \\ \\ x-2 \le 0 \quad \text{y} \quad x-3 < 0 \rightarrow (-\infty\,,\,2] \cap (-\infty\,,\,3) = (-\infty\,,\,2] \subset \mathbb{R} \end{matrix}\right.$$ De lo cual se deduce que $$\text{Dom}\,f=(-\infty\,,\,2] \cup ( 3\,,\,+\infty)$$ o lo que es lo mismo $$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus(2\,,\,3]$$
$\square$

Operaciones con funciones

ENUNCIADO. Considerar las funciones biyectivas $$f(x)=x-3 \quad \text{y} \quad g(x)=\dfrac{2}{x+1}$$
Determinar las siguientes funciones:
a) $f \circ g$
b) $g \circ f$
c) $f^{-1}$
d) $g^{-1}$
e) $(f \circ g)^{-1}$

SOLUCIÓN.

interpolación cuadrática

ENUNCIADO. Sean tres puntos del plano cartesiano $A(-3,0)$, $B(0,1)$, $C(2,0)$. Determinar el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pasa por estos tres puntos. Considerando, ahora, un punto $D$ muy próximo al trazo de dicha función interpoladora y cuya abscisa es igual a $1$, ¿ cuál es la ordenada aproximada ( dada por la función interpoladora ) que le corresponde ?.

SOLUCIÓN:

Interpolación/extrapolación lineal

ENUNCIADO. Consultando una tabla de valores de una cierta función real de una variable real, $y=f(x)$, leemos que la ordenada que le corresponde a un punto $A$, cuya abscisa es $x_A=1,81$ es $y_A=0,9649$; y, que la ordenada que le corresponde a otro punto $B$, cuya abscisa es $x_B=1,82$, es $y_B=0,9656$. Se pide calcular ( de forma aproximada ) la ordenada $y_C$ de un punto $C$ que está casi alineado con $A$ y $B$ y cuya abscisa es $x_C=1,823$.

SOLUCIÓN.

Sobre la función recíproca

Sea una función real de una variable real $f$, cuyo dominio de definición es $A=\text{Dom}\,f \in \mathbb{R}$ y cuyo recorrido es $B=\text{Rec}\,f \subset \mathbb{R}$. Entonces, si dicha función es biyectiva ( y para ello debe ser inyectiva y sobreyectiva ) puede hablarse de una función asociada a $f$, a la que llamamos recíproca de $f$ o ( y denotamos por $f^{-1}$ ), que envía cada imagen de $f$ ( cada elemento de $B$ ) en un elemento de $A$. Si una función $f$ tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$, ésta es única. Cuando existe dicha función recíproca, se cumple que la recíproca de esta función es la función directa $f$. Y, también, una importante propiedad: la composición de la función directa con la recíproca ( por la derecha y por la izquierda ) es igual a la función identidad: $$f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f= Id$$ esto es $$(f \circ f^{-1})(x)=(f^{-1} \circ f)(x)=Id(x)=x$$ También se cumple otra importante propiedad: $$\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}$$ y $$\text{Rec}\,f^{-1}=\text{Dom}\,f$$

Ejemplo 1.
ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=2x+1$. ¿ Tiene función recíproca ? En caso afirmativo, ¿ qué función es ?

SOLUCIÓN. La función $f(x)=2x+1$, cuyo dominio de definición es $\text{Dom}=\mathbb{R}$ y cuyo recorrido es $\text{Rec}=\mathbb{R}$ es inyectiva y sobreyectiva, luego existe la función recíproca de $f$. Vamos ahora a determinarla. Como en la función recíproca, dado su significado, se permutan los papeles de las variables ( $x$ representa la variable dependiente e $y$ la independiente ); así, a partir de la función directa, que por comodidad escribimos $y=2x+1$, cambiamos una variable por otra y escribimos la ecuación $$x=2y+1$$ Despejando ahora $y$ se obtiene $y=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{1}{2}$, y, por tanto concluimos que $$f^{-1}(x)= \dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{1}{2}$$

Ejemplo 2.
ENUNCIADO. Considérese la función $g(x)=\ln\,(x+1)$. ¿ Tiene función recíproca ? En caso afirmativo, ¿ qué función es ? ¿ Cuál es su recorrido ?

SOLUCIÓN. La función $g(x)=\ln\,(x+1)$, cuyo dominio de definición es $\text{Dom}=(-1\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$ es inyectiva ( ya que si $x_1=x_2$, $f(y_1)=f(y_2)$ ), y también es sobreyectiva ( puesto que para todo número real $y$ del conjunto de llegada se puede encontrar un elemento, $x$, del dominio de definición de $f$ tal que $y=\ln\,(X+1)$ ). Por tanto, $f$ es biyectia, luego existe la función recíproca de $f$. Vamos ahora a determinarla. Como en la función recíproca, dado su significado, se permutan los papeles de las variables independiente y dependiente ( para la recíproca, $x$ representa la variable dependiente e $y$ la independiente ); así, a partir de la función directa, que por comodidad escribimos $y=\ln\,(x+1)$, cambiamos una variable por otra y escribimos la ecuación $$x=\ln\,(y+1)$$ Despejando ahora $y$ se obtiene $y=e^x-1$, y, por tanto podemos escribir ya la función recíproca pedida de la forma $$f^{-1}(x)= e^x-1$$ El dominio de definición ( recíproca de $f$ ) de esta función, que es todo el conjunto de los números reales, $\mathbb{R}$, es igual ( de acuerdo a lo comentado arriba ) al recorrido de la función directa. Por consiguiente $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}$. $\square$