Eligiendo dos monedas

ENUNCIADO. De entre $4$ monedas, dos de las cuales son legales y las otras dos trucadas, escogemos dos al alzar. Cuál es la probabilidad de escoger:
a) Dos monedas legales
b) Dos monedas trucadas
c) Una moneda legal y otra trucada

SOLUCIÓN.
a) De entre dos monedas legales sólo hay $\binom{2}{2}=1$ posibilidad a la hora de escoger dos que lo sean, luego por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{1}{6}$

b) De entre dos monedas trucadas sólo hay $\binom{2}{2}=1$ posibilidad de escoger dos que lo sean, luego por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{1}{6}$

c) De entre dos monedas legales hay $\binom{2}{1}=2$ maneras de escoger una moneda legal; y, de entre las otras dos ( que están trucadas ), hay $\binom{4-2}{1}=2$ maneras de escoger una moneda trucada, luego por el principio multiplicativo, tenemos $\binom{2}{1}\cdot \binom{4-2}{1}=2\cdot 2=4$ maneras de elegir una moneda legal y una moneda trucada entre las cuatro monedas. Así pues, por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{1}\cdot \binom{4-2}{1}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

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Calculando el beneficio esperado en un juego de apuestas

ENUNCIADO. Una cierta lotería consiste en sortear un único premio de $5000$ euros. Para ello se elige al azar un número comprendido entre $1$ y $1000$. Para participar, hay que pagar $5$ euros por cada número al que se desea apostar. Si se compra un número, ¿ cuál es el beneficio esperado ?. Si comprásemos $3$ números, ¿ cuál sería entonces el beneficio esperado ?

SOLUCIÓN. La probabilidad de que salga el número que hemos comprado es $\dfrac{1}{1000}$ y, por tanto, la probabilidad de que no salga es $\dfrac{999}{1000}$. Así pues el beneficio esperado es igual a $$(5000-5)\cdot \dfrac{1}{1000}+(-5)\cdot \dfrac{999}{1000}=-4 \; \text{euros}$$ Como el beneficio esperado es negativo, desde luego, comprar un sólo número no es favorable al jugador.

Veamos qué sucede si compramos más de un número, pongamos que tres. En ese caso, la probabilidad de conseguir el premio sería $\dfrac{3}{1000}$ y la de no conseguirlo $1-\dfrac{3}{1000}$, luego
$$(5000-5\cdot 3)\cdot \dfrac{3}{1000}+(-5\cdot 3)\cdot (1-\dfrac{3}{1000})=-12 \; \text{euros}$$

Así pues, cuánto más números comprásemos de esa lotería más perderíamos, por lo que no es recomendable apostar en ella.

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ACLARACIÓN. Vamos a justificar que la probabilidad de sacar el premio comprando tres números es $\dfrac{3}{1000}$. Denotemos por $N_i$ al suceso el número i-ésimo ( de los diez que hemos comprado ) es el premiado, donde $i=1,2,\ldots,10$. Entonces, la probabilidad de obtener el premio ( recordemos que el premio corresponde a un sólo número de los mil que se sortean ) es igual a
$$P(\text{obtener el premio})=P\left(N_1 \cup (\bar{N_1} \cap N_2 ) \cup ((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)$$
Y como $N_1$, $\bar{N_1} \cap N_2$ y $(\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ) podemos escribir que
$P(\text{obtener el premio})=P(N_1)+P(\bar{N_1} \cap N_2 )+P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right) \quad (1)$

Y teniendo en cuenta que:

$P(N_1)=\dfrac{1}{1000}$

$P(\bar{N_1} \cap N_2 )=P(N_2 \cap \bar{N_1})=P(\bar{N_1})\cdot P(N_2|\bar{N_1})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{1}{999}=\dfrac{1}{1000}$

$P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)=P\left(N_3 \cap (\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \right)=P(\bar{N_1}\cap \bar{N_2})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=$
  $=P(\bar{N_2})\cdot P(\bar{N_2}|\bar{N_1})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{998}{999} \cdot \dfrac{1}{998}=\dfrac{1}{1000}$

Entonces, de (1), $P(\text{obtener el premio})=\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}=\dfrac{3}{1000}$

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Ejemplo de aplicación del modelo multi hipergeométrico

ENUNCIADO. La tripulación de un barco consta de $10$ españoles, $12$ franceses y $5$ portugueses. Se quiere formar un equipo de $6$ personas, eligiéndolas al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que esté formado por $2$ españoles, $3$ franceses y $1$ portugués ?.

SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6]$ en el que $x_i \in \{\text{español},\text{francés}, \text{portugués}\}$, para $i=1,2,\ldots,6$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por consiguiente podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que el pedido en el enunciado.

El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{10+12+5}{6}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir los dos españoles de $C_{10,2}=\binom{10}{2}$ maneras; los tres franceses de $C_{12,3}=\binom{12}{3}$ maneras, y el tripulante portugués de $C_{5,1}=\binom{5}{1}$ maneras. Así, pues, por el principio multiplicativo hay $\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}$ posibilidades de elegir $S$

Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{10+12+5}{6}}=\dfrac{50}{299} \approx 0,17 $$
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Ejemplo de aplicación del modelo hipergeométrico de probabilidades

ENUNCIADO. En una fiesta hay $30$ personas, $25$ casadas y $5$ solteras. Se eligen $3$ personas al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que sean solteras ? ¿ Cuál es la probabilidad de que dos de las personas elegidas sean casadas y una sea soltera ?.

SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3]$ en el que $x_i \in \{\text{casada},\text{soltera}\}$, para $i\le 3$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por ende podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que le pedido en el enunciado.

El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{30}{3}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir las $3$ personas solteras de $C_{5,3}=\binom{5}{3}$ maneras y como el número de personas casadas que encontraremos en una elección de tres personas solteras es $0$, hay una sóla posibilidad para ello, $C_{25,0}=\binom{25}{0}=1$. Así, pues, hay $\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}$ posibilidades de que las tres personas elegidas sean todas solteras.

Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}}{\binom{30}{3}}=2,4631\cdot 10^{-3} \approx 0,2\,\%$$

Veamos ahora la respuesta a la segunda pregunta. Denotando por $T$='dos personas casadas y una soltera', vemos que $N(T)=\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}$, luego por la regla de Laplace, $$P(T)=\dfrac{\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{30}{3}}=3,6946\cdot 10^{-1} \approx 37\,\%$$

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Ejemplo de aplicación del modelo multinomial de probabilidad

ENUNCIADO. En una fiesta, el $20\,\%$ son españoles; el $30\,\%$ son franceses; el $40\,\%$ son italianos, y el $10\,\%$ son portugueses. ¿ Cuál es la probabilidad de que al escoger un grupo de $6$ personas, éste esté formado por $2$ españoles, $1$ francés, $1$ italiano, y $2$ portugueses ?

SOLUCIÓN. Concebimos la elección de las seis personas del grupo, de una en una, y de manera independiente una de otra. Entonces la probabilidad pedida es $$N\cdot 0,2^{2}\cdot 0,3^{1}\cdot 0,4^{1}\cdot 0,1^{2}$$ donde $N$ representa el número de posibilidades de seleccionar ( considerando el orden ) los dos españoles, el francés, el italiano, y los dos portugueses, que es igual a $$N=PR_{6}^{2,1,1,2}=\dfrac{6!}{2!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}$$ luego la probabilidad pedida es $$\dfrac{6!}{2!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}\cdot 0,2^{2}\cdot 0,3^{1}\cdot 0,4^{1}\cdot 0,1^{2}=0,0864$$
este esquema o modelo de cálculo recibe el nombre de probabilidad multinomial, por representar una extensión del modelo binomial.
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Lanzamiento repetido de monedas

ENUNCIADO. Lanzamos una moneda equilibrada diez veces. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente $4$ caras ?

SOLUCIÓN.
Procedimiento I
El que la moneda esté equilibrada quiere decir que al lanzar la moneda una vez la probabilidad de obtener cara es la misma que la de obtener cruz, esto es $1/2$. El espacio muestral $\Omega$ puede pensarse como el conjunto de secuencias $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}]$ donde $x_i \in \{C,+\}$ para cada $i=1,2,\ldots,10$. Todas las secuencias ( sucesos elementales ) tienen la misma probabilidad de aparecer al realizar la experiencia aleatoria que se describe en el enunciado, luego podemos emplear la regla de Laplace para calcular ( asignar ) probabilidad a cualquier suceso, como por ejemplo, $S=$'obtener exactamente $4$ caras'. Tendremos pues que $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N} \quad \quad (1)$$

Podemos considerar los $10$ lanzamientos repetidos como la situación equivalente a lanzar $10$ monedas equilibradas de forma simultánea ( enfoque estático ). Considerando las monedas distinguibles, el número de casos posibles, que corresponde al cardinal del espacio muestral, es $N=VR_{2,10}$ ya que de cada moneda esperamos obtener dos valores: 'cara' o bien 'cruz'.

El número de casos favorables a $S$ ( el suceso pedido ) corresponde al número de maneras en que podemos colocar $4$ caras en una disposición lineal de $10$ 'celdas' ( de modo que a las seis celdas restantes se les asignan $6$ cruces ). Evidentemente, no tiene sentido distinguir ahora un símbolo de otro del mismo tipo, luego $N(S)=C_{10,4}=\binom{10}{4}$

Por tanto, de (1), encontramos que $$P(S)=\dfrac{\binom{10}{4}}{VR_{2,10}}=\dfrac{210}{1024} \approx 0,2051$$


Procedimiento II
Al ser los diez lanzamientos independientes ( ahora pasamos a contemplar el problema de forma dinámica, imaginando un lanzamiento tras otro ), desembocamos en el esquema ( o modelo binomial ), siendo por tanto la probabilidad pedida igual a $$\binom{10}{4}\cdot p^{4}\cdot (1-p)^{10-4}$$ Y como la moneda está equilibrada, $p=1/2$, luego lo anterior es igual a $$\binom{10}{4}\cdot (\dfrac{1}{2})^{4}\cdot \left(1-(\dfrac{1}{2})\right)^{10-4}=\binom{10}{4}\cdot \dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{210}{1024}$$ y que corresponden al resultado encontrado arriba.

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