En un examen de tipo test ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un examen de tipus test consta de $20$ preguntes. Cada pregunta es pot contestar marcant tan sols una opció d'entre cinc, i tan sols una d'aquestes cinc és la resposta correcta. Cada pregunta ben contestada val un punt i cada pregunta mal contestada val menys un quart de punt. No es pot deixar cap pregunta en blanc. Suposant que un alumne realitzi el test a l'atzar, us demanem: a) quina és la puntuació que pot esperar ?, b) en una escala lineal de $0$ a $10$, quina nota (aproximada a un nombre natural) li correspondria ?.

Solució:

  a)
Designem amb $X$ la variable aleatòria "puntuació obtinguda" en la realització del test (contestant a l'atzar). En cada pregunta hom pot obtenir un punt amb probabilitat (d'encert) igual a 1/5 ; o bé, menys un quart de punt, amb probabilitat (de fallar) igual a 4/5. Tenint en compte que el test consta de vint preguntes i que totes estan valorades de la mateixa manera, la puntuació màxima que es pot obtenir és de 20 punts i la mínima de -5 punts. L'esperança matemàtica de la variable aleatòria $X$ es calcula, doncs, fàcilment:
    $E[X]=20\,\big(-\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5}+1\cdot \dfrac{1}{5}\big)$
                $=0 \quad \text{punts}$

  b)
Per expressar la puntuació obtinguda en una escala lineal $y$, del zero al 10, determinarem la recta que passa pels punts extrems, de coordenades: $x=-5$ i $y=0$; i, $x=20$ i $y=10$, respectivament.
Aquesta recta, expressada en forma contínua, s'escriu
    $\dfrac{x-(-5)}{20-(-5)}=\dfrac{y-0}{10-0}$
i, d'aquí, aïllant $y$, obtenim la recta en forma explícita
    $y=\dfrac{2}{5}\,x+2$
Per tant, si $x=0$ (en una escala de -5 a 20), substituint s'obté
    $y=\dfrac{2}{5}\cdot 0+2$
        $=2$ (en una escala de 0 a 10)
$\square$

[nota del autor]

Se sabe que dos kilogramos de fruta ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabem que dos quilos de fruita A i tres quilos de fruita B costen tretze euros. També sabem que tres quilos de fruita A i dos quilos de fruita B costen dotze euros. Quant val cada quilo de fruita A ? Quant val cada quilo de fruita B ?.

Solució:
Anomenem:
    $a$ al preu del quilo de fruita A
    $b$ al preu del quilo de fruita B

Llavors, d'acord amb l'enunciat, tenim
      $\left\{\begin{matrix}2\,a &+& 3\,b & = & 13\\ 3\,a &+& 2\,b & = & 12\\ \end{matrix}\right.$

Multiplicant els dos membres de la primera equació per $-3$ i els de la segona per $2$
podrem escriure el següent sistema equivalent a l'original (ens proposem resoldre'l pel mètode de reducció)

      $\left\{\begin{matrix}-6\,a &-& 9\,b & = & -39\\ 6\,a &+& 4\,b & = & 24\\ \end{matrix}\right.$

Sumant la primera amb la segona, s'anul·len els termes en $a$, i obtenim una equació més senzilla i on no figura la primera incògnita, que és compatible amb les equacions originals:

      $5\,b=15$
i d'aquí, aïllant la incògnita, trobem

        $b=3 \; \dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$

Per obtenir el valor de $a$, substituïm el resultat que acabem de trobar a la primera equació ( podríem, naturalment, substituir-lo també a la segona ) i trobem

      $2\,a+3 \cdot 3=13$
i d'aquí
      $2\,a=13-9$
      $2\,a=4$
per tant
      $a=2 \; \dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$

$\square$

[nota del autor]

Algunas propiedades de la varianza y de la media ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:

Considerem una variable estadística $X$ i $n$ valors $\{x_1,\ldots,x_n\}$, amb freqüències $\{f_1,\ldots,f_n\}$
tals que
      $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,f_i=N$
on $N$ és el nombre total de valors de $X$.

Llavors, coneguda la mitjana arimètica de $X$, $\bar{x}$, us demanem:
    a) Si sumem una constant $m$ a cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, la mitjana aritmètica ?
    b) Si multipliquem per una constant $k$ cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, el valor de la mitjana aritmètica ?

Solució:
Tenint en compte que la mitjana aritmètica $\bar{x}$ es defineix de la forma
    $\displaystyle \bar{x} \underset{\text{(def)}}{=} \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
  (a)
En aquest cas, ara, la mitjana aritmètica pren el valor:
    $\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x_i+m)\,f_i=\dfrac{1}{N}\,\Big(\sum_{i=1}^{n}\,m\,f_i+\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i\Big)$
                                      $\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,m\,f_i+\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
                                      $\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,m\,\sum_{i=1}^{n}\,f_i+\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
                                      $\displaystyle=\dfrac{m}{N}\,N+\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
                                      $\displaystyle=m+\bar{x}$

  (b)
Tenint en compte el que es diu en aquest segon apartat, la mitjana aritmètica pren, ara, el següent valor:
    $\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(k\,x_i)\cdot f_i=k\,\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i=k\,\bar{x}$

$\square$

Enunciat:

Considerem una variable estadística $X$ i $n$ valors $\{x_1,\ldots,x_n\}$, amb freqüències $\{f_1,\ldots,f_n\}$
tals que
      $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,f_i=N$
on $N$ és el nombre total de valors de $X$.

Llavors, coneguda la mitjana arimètica de $X$, $\bar{x}$ i la variància $\sigma^2$ de $X$, us demanem:
    a) Si sumem una constant $m$ a cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, la variància ?
    b) Si multipliquem per una constant $k$ cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, la variància ?

Solució:

Recordem les definicions:
    $\displaystyle \bar{x} \underset{\text{def}}{=} \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
    $\displaystyle \overline{x^2} \underset{\text{def}}{=} \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}^2\,f_i$
    $\displaystyle \sigma^2 \underset{\text{def}}{=}\sum_{i=1}^{n}\,\big(x_i-\bar{x}\big)^2\,f_i=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$

  (a)
Si la nova mitjana aritmètica és, ara, $\bar{x}+m$, la variància serà igual a
    $\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x_i+m)^2\,f_i-(\bar{x}+m)^2=$
$\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\big(x_{i}^{2}+2\,m\,x_i+m^2\big)\,f_i-(\bar{x}+m)^2$
$\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}^{2}\,f_i+\dfrac{2\,m}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}\,f_i+\dfrac{m^2}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,f_i-\big((\bar{x})^2+2\,m\,\bar{x}+m^2\big)$
$\displaystyle=(\overline{x^2}+2\,m\,\bar{x}+m^2)-\big((\bar{x})^2+2\,m\,\bar{x}+m^2\big)$
$\displaystyle=\overline{x^2}-\big(\bar{x})^2$
$\displaystyle=\sigma^2$

  (b)
Tenint en compte que la nova mitjana aritmètica és, ara, $k\,\bar{x}$, la variància prendrà el següent valor:
    $\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(k\,x_i)^2\,f_i-(k\,\bar{x})^2=$
$\displaystyle=k^2\,\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,f_i-k^2\,(\bar{x})^2$
$\displaystyle=k^2\,\overline{x^2}-k^2\,(\bar{x})^2$
$\displaystyle=k^2\,\Big(\overline{x^2}-(\bar{x})^2\Big)$
$\displaystyle=k^2\,\sigma^2$



$\square$

[nota del autor]

Correlación lineal ( comentarios ). [ artículo escrito en catalán ]

[nota del autor]

Matemática financiera. Amortización y capitalización. ( artículo escrito en catalán ).

Suposem que dipositem $1 \, \text{\euro}$ durant $t$ anys a una taxa d'interès anual $i$ (expressada en tant per u). Llavors, al final del primer any el capital (més els interessos) serà igual a $1+i$; aquesta quantitat, al llarg del 2n any produirà els respectius interessos $(1+i)\,i$ que, afegits a aquesta quantitat, donen el capital total acumulat al final del 2n any
$(1+i)\,i+(1+i)$, expressió que, extraient factor comú, queda igual a $(1+i)^2$. Al final del tercer anys - fent un càlcul anàleg - trobarem un capital acumulat igual a $(1+i)^2$; i, així, successivament. Podem inferir de tot això que al cap de $t$ anys hi haurà acumulat un capital igual a $(1+i)^t$. Naturalment, si enlloc de $1\,\text{\euro}$ dipositem $C_0$ euros, el capital acumulat serà igual a
$C_{0} \,(1+i)^t$.
Heus aquí, per tant, la fórmula del capital acumulat al cap de $t$ anys
$C(t)=C_{0} \,(1+i)^t$
Cal tenir en compte que si la freqüència $f$ amb què es fan efectius els interessos al llarg d'un any és més gran que u (per exemple, semestralment: $f=2$; o bé trimestralment, $f=4$), caldrà matisar-ho en la fórmula anterior, i s'escriurà, doncs, de la manera següent:
$C(t)=C_{0} \,(1+\frac{i}{f})^{t \,f}$

Cal tenir en compte que com més gran sigui el valor de $f$ més gran serà el valor del capital final; per això us recomano que llegiu l'escrit d'aquest mateix blog, resenyat a sota, on apareix la noció de taxa anual equivalent (T.A.E.), molt important per entendre l'oferta dels productes bancaris. En l'escrit, també s'exposa com, en el límit ( quan $f >> 1 $ ) apareix el nombre transcendent $e$ (base dels logaritmes neperians) en la fórmula del paràgraf anterior.
[ http://matematiques-a-secundaria.blogspot.com.es/2011/12/el-nombre-e.html ]

AMORTITZACIÓ D'UN PRÈSTEC

Per amortitzar un prèstec de quantia $P$, consdierem que paguem una quantitat anual $a$ durant $t$ anys. L'anualitat es paga al final de l'any, i comporta uns interessos - que ens ajudaran a amortitzar la quantitat que ens han prestat - i que es fan efectius al final; així, la primera anualitat aporta $a\,(1+i)^{t-1}$; la segona (dipositada al final del 2n any), $a\,(1+i)^{t-2}$; la tercer, $a\,(1+i)^{t-3}$; i així successivament, fins a l'última (que, naturalment, no dóna interessos), $a$. Sumant aquestes quantitats
$a\,(1+i)^{t-1}+a\,(1+i)^{t-2}+a\,(1+i)^{t-3}+\ldots+a\,(1+i)+a$
obtenim (suma de $t$ termes d'una successió geomètrica de raó igual a $1+i$)

$a \, \dfrac{(1+i)^t-1}{i} \quad \quad \quad (1)$
Per contra, la quantitat $P$ prestada també dóna interessos a favor de l'entitat que els ha prestat i, per tant, en sumar-los a la quantitat (capital) nominal que s'havia prestat fan un total de

$P\,(1+i)^t \quad \quad \quad (2)$

Finalment, calcularem el valor de les aportacions periòdiques (anuals). És obvi que les quantitats (1) i (2) han de tenir el mateix valor; per tant

$a \, \dfrac{(1+i)^t-1}{i} = P\,(1+i)^t$

I, aïllant $a$ trobem

$a=P \cdot \dfrac{i}{1-(1+i)^{-t}}$

Si enlloc de fer les aportacions anualment es fan $f$ vegades a l'any, la fórmula anterior queda de la forma

$a=P \cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{1-(1+\frac{i}{f})^{- t\,f}}$

CAPITALITZACIÓ

Un dels productes que ofereixen les entitats bancàries consisteix a capitalitzar una determinanda quantitat $C$ al llarg d'un nombre d'anys $t$, de la següent manera: a començament de - per exemple - cada any, cal dipositar en un compte bancari una quantitat $a$ (que anomenarem anualitat) i que produeix uns interessos al llarg del temps que hi roman dipositada (sense moure-la) segons una taxa d'interès anual $i$ (que, a les fórmules que exposarem a continuació, ve donada en tant per u).

La primera anualitat, que imposem al començament del primer any, queda dipositada durant $t$ anys i, per tant, al final es converteix en $a\,(1+i)^{t}$; la segona (dipositada en començar el segon any) es convertirà en $a\,(1+i)^{t-1}$; la tercera anualitat, en $a\,(1+i)^{t-2}$; i així successivament, fins a l'última anualitat que es aporta $a\,(1+i)$. Sumant aquestes $t$ termes (quantitats)
$a\,(1+i)^{t}+a\,(1+i)^{t-1}+a\,(1+i)^{t-2}+\ldots+a\,(1+i)^2+a\,(1+i)$
obtenim la quantitat que, d'aquesta manera, capitalitzarem al final (suma de $t$ termes d'una successió geomètrica de raó igual a $1+i$ )

$C=a \, \dfrac{1+i}{i} \, \left[(1+i)^t-1 \right]$

Si enlloc de fer les aportacions anualment es fan $f$ vegades a l'any, la fórmula anterior queda de la forma

$C=a \, \dfrac{1+\frac{i}{f}}{\frac{i}{f}} \, \left[(1+\frac{i}{f})^{f\,t}-1 \right]$

$\square$

[nota del autor]