Ejemplo de suma de los $n$ primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica

Consideremos una sucesón aritmético-geométrica tal como $a_k=k\,r^k$, siendo $r$ constante y $k=1,2,\ldots,n$ (donde $n\in \mathbb{N})$. Nos planteamos resolver la suma $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\,k\,r^k$$ Obtendremos un importante resultante, que es muy útil a la hora de calcular esperanzas matemáticas (valores esperados de una variable aleatoria) en distribuciones de probabilidad discretas.

Por comodidad en la notación, denotaremos por $S_n$ la suma pedida: $$S_n=r+2\,r^2+3\,r^3+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^n\quad \quad (1)$$ Multiplicando por $r$ sendos miembros de (1) podemos escribir $$r\,S_n=r^2+2r^3+3\,r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^{n+1}\quad \quad (2)$$ Restando miembro a miembro (2) de (1) se obtiene $$S_n-r\,S_n=(r+r^2+r^3+r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+r^n)-n\,r^{n+1}\quad \quad (3)$$ En el paréntesis del segundo miembro, reconocemos la suma de los $n$ primeros términos de una progresión (sucesión) geométrica de primer término $r$ y rázon (también) $r$, luego su suma —véase los artículos de este blog en los que se ha justificado la fórmula que usamos a continuación— es igual a $r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$; en cosecuencia, podemos expresar (3) de la forma $$S_n-r\,S_n=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (4)$$ Sacando factor común de $S_n$ en el primer miembro, $$S_n\,(1-r)=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (5)$$ Despejando $S_n$, se llega a $$\displaystyle S_n=\dfrac{r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}}{1-r}\quad \quad (5)$$ y arreglando un poco esta expresión, encontramos: $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(r-1)^2}\quad \quad (6)$$ que es equivalente a $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}\quad \quad (7)$$

Ejemplo

Sea la sucesión aritmético-geométrica $2,8,24,64,\,\ldots$, donde $r=2$. Hagamos algunas comprobaciones sencillas:

• Con sólo el primer sumando ($n=1$), deberíamos encontrar que $S_1=2$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_1=\dfrac{1\cdot 2^3-2\cdot 2^2+2}{(1-2)^2}=\dfrac{8-8+2}{^(-1)^2}=\dfrac{2}{1}=2$
• Con los dos primeros sumandos ($n=2$), deberíamos encontrar que $S_2=2+8=10$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_2=\dfrac{2\cdot 2^4-3\cdot 2^3+2}{(1-2)^2}=\dfrac{32-24+2}{^(-1)^2}=\dfrac{10}{1}=10$
• Con los tres primeros sumandos ($n=3$), deberíamos encontrar que $S_3=2+8+24=34$; así es, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_3=\dfrac{3\cdot 2^5-4\cdot 2^4+2}{(1-2)^2}=\dfrac{96-64+2}{^(-1)^2}=\dfrac{34}{1}=34$

Observación (Suma de infinitos términos)

Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (7) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}=\dfrac{r}{(1-r)^2}\quad \quad (8)$$

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Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $d_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que la suma de una sucesión geométrica: $d_1+d_2+\ldots+d_{n-1}=d_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$. Por tanto, podemos escribir (1) de la forma $$a_n=a_1+d_1\cdot \dfrac{r^{n-1}-1}{r-1}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $3,4,6,10,18,34,\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Notemos que $a_3=1$, $d_1=1$ y $r=2$. Comprobemos (por ejemplo) el sexto término $a_6$:

  Para $n=6$, debemos obtener $a_6=34$; en efecto, sustituyendo el valor del índice en (2): $a_6=3+1\cdot \dfrac{2^{6-1}-1}{2-1}=3+1\cdot \dfrac{2^{5}-1}{1}=3+1\cdot \dfrac{32-1}{1}=3+31=34$
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Sucesiones aritmético-geométricas

Los términos de una sucesión aritmético-geométrica están formados por productos de dos factores de los cuales uno de ellos sigue una sucesión aritmética y el otro sigue una sucesión geométrica; o bien por cocientes, los numeradores de los cuales siguen una sucesión aritmética o geométrica y los denominadores una sucesión geométrica (si los numeradores siguen una s. aritmética) o aritmética (si los numeradores siguen una s. geométrica). Vamos a exponer cómo encontramos el término general de una sucesión de este tipo.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo Consideremos la sucesión $$1,\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ esto es $$\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ Observemos que los numeradores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que son los números impares consecutivos; por otra parte, los denominadores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$ (las potencias consecutivas de base $2$, empezando por el exponente $0$), por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$c_n=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}\, \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $c_1=1$; en efecto: $c_1=\dfrac{2\cdot 1-1}{2^{1-1}}=\dfrac{1}{2^{0}}=\dfrac{1}{1}=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $c_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $c_2=\dfrac{2\cdot 2-1}{2^{2-1}}=\dfrac{4-1}{2^{1}}=\dfrac{3}{2}$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $c_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $c_3=\dfrac{2\cdot 3-1}{2^{2-1}}=\dfrac{6-1}{2^{2}}=\dfrac{5}{4}$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$c_{11}=\frac{2\cdot 11-1}{2^{11-1}}=\dfrac{22-1}{2^{10}}=\dfrac{21}{1024}$$

Ejemplo 2

Consideremos la sucesión $$1,6,20,56,144,\ldots$$ Puede comprobarse que dichos términos se puede escribir de la forma $$1\cdot 1, 3\cdot 2, 5\cdot 4,7 \cdot 8,9\cdot 16,\ldots$$ Observemos que los primeros factores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que, como en el primer ejemplo son los números impares consecutivos; por otra parte, los segundos factores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$, por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$d_n=a_{n}\cdot b_{n}=2^{n-1}\cdot (2n-1)\; \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $d_1=1$; en efecto: $d_1=a_{1}\cdot b_{1}=2^{1-1}\cdot (2\cdot 1-1)=2^{0}\cdot (2-1)=1\cdot 1=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $d_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $d_2=a_{2}\cdot b_{2}=2^{2-1}\cdot (2\cdot 2-1)=2^{1}\cdot (4-1)=2\cdot 3=6$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $d_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $d_3=a_{3}\cdot b_{3}=2^{3-1}\cdot (2\cdot 3-1)=2^{2}\cdot (6-1)=4\cdot 5=20$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$d_{11}=a_{11}\cdot b_{11}=2^{11-1}\cdot (2\cdot 11-1)=2^{10}\cdot (22-1)=1024\cdot 21=21\,504$$ $\diamond$

Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman multiplicando por una cantidad el término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1\cdot r_{n}$, donde $r_n=r_{1}\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $r_1$ de la sucesión de las cantidades a multiplicar por el término precedente, $r_1,r_2,\ldots$, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1\cdot r_1$
• $a_3=a_2\cdot r_2=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}$
• $a_4=a_3\cdot r_3=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}$
• $\ldots$
• $a_n=a_1\cdot \left(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots} \cdot r_{n-1}\ \right)\quad \quad (1)$

El producto entre paréntesis del segundo término de (1) obedece al de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $r_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que dicho producto se puede calcular utilizando el siguiente resultado ya conocido de cursos anteriores $r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle\sqrt{(r_1\cdot r_{n-1})^{n-1}}=(r_1\cdot r_{n-1})^{(n-1)/2}$. Por otra parte, también es sabido que el último término de esta secuencia es $r_{n-1}=r_{1}\cdot r^{n-2}$, con lo cual este producto de $n-1$ factores se puede escribir como, $$r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle \left(r_{1}^2\cdot r^{n-2}\right)^{(n-1)/2}=r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}$$ Sustituyendo en (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1\cdot r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2) $$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,8,64,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $r_1=2$ y $r=2$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=1\cdot 2^{n-1}\cdot 2^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ esto es $$a_n=2^{((n-1)(n-2)+2(n-1))/2}=2^{(n-1)(n-2+2)/2}=2^{n(n-1)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=2^{1\cdot(1-1)/2}=2^0=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_1=2$; en efecto, $a_1=2^{2\cdot(2-1)/2}=2^1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_1=8$; en efecto, $a_1=2^{3\cdot(3-1)/2}=2^3=8$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_1=64$; en efecto, $a_1=2^{4\cdot(4-1)/2}=2^6=64$
• $\ldots$

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Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión aritmética

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1+(n-1)\,d$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, $d_1,d_2,\ldots$, y de la diferencia, $d$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión aritmética de primer término $d_1$ (conocido) y diferencia $d$ (conocida). Es bien sabido que el último sumando (término) de dicha progresión artimética es $d_{n-1}=d_1+(n-2)\,d$, y la fórmula (también conocida) de la suma de una sucesión aritmética — producto del número de términos por la semisuma del primer y del último término—, podemos escribir que $d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\left(\dfrac{d_1+(d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)=\left(\dfrac{2\,d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)$, es decir, $$d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)$$ Sustituyendo em (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1+\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Nótese que la expresión obtenida es cuadrática en $n$; en efecto, desarrollándola algebraicamente se obtiene: $$a_n=\dfrac{d}{2}\,n^2+(d_1-\dfrac{3}{2}\,d)\,n+(a_1-d_1+d)\,,\,n=1,2,3,\ldots \quad \quad (3)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,4,7,11,16\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $d_1=1$ y $d=1$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=\dfrac{1}{2}\,n^2-\frac{1}{2}\,n+1\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 1+1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_2=2$; en efecto, $a_2=\dfrac{1}{2}\,2^2-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=\dfrac{1}{2}\cdot 4-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=2-1+1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_3=4$; en efecto, $a_3=\dfrac{1}{2}\,3^2-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{1}{2}\cdot 9-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{6}{2}+1=3+1=4$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_4=7$; en efecto, $a_4=\dfrac{1}{2}\,4^2-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=\dfrac{1}{2}\cdot 16-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=8-2+1=7$
• $\ldots$

***

Observación

Sabiendo de antemano que el término general de este tipo de sucesiones obedece a una expresión algebraica cuadrática en $n$, $a_n=An^2+Bn+C\,,\,n=1,2,3,\ldots$, también podemos optar por calcular los coeficientes $A,B$ y $C$ mediante una interpolación cuadrática, tal y como ya os he mostrado en otros artículos de este blog: bastará resolver el sistema de tres ecuaciones lineales que así se obtenga, cuyas incógnitas son precisamente los coeficientes a determinar, conocidos los valores de tres de los términos de dicha sucesión, que no tienen porque ser consecutivos. $\diamond$

Producto de los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica

Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:   $a_1$
  $a_2=a_1\,r$
  $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
  $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
  $\ldots$
  $a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que el producto de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\sqrt{(a_1\,a_n)^n}$$

En efecto, en toda sucesión geométrica se cumple que $a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots$

  Escrbiendo el producto con los factores en orden directo e inverseo, y multiplicando miembro a miembro (1) y (2): $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_1\cdot a_2 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_n \quad \quad (1)$$ $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_n\cdot a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdot \ldots \cdot a_{2}\cdot a_1 \quad \quad (2)$$
se tiene que $$(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i)^2=(a_1\cdot a_{n}) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1})\cdot \ldots \cdot (a_{a_n}\cdot a_1)=(a_{a_1}\cdot a_n)^{n/2} \Rightarrow \displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\left((a_1\cdot a_n)^{n}\right)^{1/2}=\sqrt{(a_{a_1}\cdot a_n)^{n}}$$ Nótese que, si el $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos factores cuyo producto es igual para todos ellos; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\sqrt{a_{(n+1)/2}\cdot a_{(n+1)/2}}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
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Suma de los primeros $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica

Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:   $a_1$
  $a_2=a_1\,r$
  $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
  $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
  $\ldots$
  $a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$$

En efecto, $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=$
  $=a_1+r\,a_1+r\,a_2+\ldots+r\,a_{n-1}$
    $=a_1+r\,(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1})$
      $=a_1+r\,(S_n-a_n)$
Así pues, $S_n=a_1+r\cdot(S_n-a_n)$, con lo cual $S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_n$ y como $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$, se tiene que
$S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_1\cdot r^{n-1}$, esto es, $S_n\cdot (1-r)=a_1\cdot(1-r\cdot r^{n-1})=a_1\cdot(1-r^n)$, y despejando $S_n$, $$S_n=a_1\cdot \dfrac{1-r^n}{1-r}$$ que es lo mismo que $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} \quad \quad (1)$$ $\diamond$

Observación (Suma de infinitos términos)

Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (1) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} =\dfrac{a_1}{1-r}\quad \quad (2)$$

Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética

Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión aritmética de diferencia $d$:
  $a_1$
  $a_2=a_1+d$
  $a_3=a_2+d=a_1+2d$
  $a_4=a_3+d=a_1+3$
  $\ldots$
  $a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

En efecto, en toda sucesión aritmética se cumple que $a_1+a_n a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\ldots$

  Escrbiendo la suma con los sumandos en orden directo e inverseo, y sumando miembro a miembro (1) y (2): $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_1+ a_2 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \quad \quad (1)$$ $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_n+ a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_{2} + a_1 \quad \quad (2)$$ se tiene que $$\displaystyle 2\,\sum_{i=1}^{n}\,a_i=(a_1+ a_{n}) + (a_2 + a_{n-1}) + \ldots + (a_{a_n} + a_1)=n\cdot (a_{a_1} + a_n) \Rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{n\cdot (a_1+ a_n)}{2}=\dfrac{a_1+ a_n}{2}\cdot n$$
  Nótese que, si $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos sumandos cuya suma es igual para todos ellos, por lo que no no hay objeción; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\dfrac{ a_{(n+1)/2} + a_{(n+1)/2 }}{2}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
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Calculadoras científicas modernas: la calculadora Numworks

En breve expondré material de ayuda para el aprendizaje y uso de la calculadora científica Numworks, que encuentro especialmente útil para el aprendizaje del cálculo numérico, la estadística y el cálculo de probabilidades, a nivel de Bachillerato. Además es gráfica y es programable en lenguaje Python. Podéis probarla y utilizarla en vuestro ordenador con este emulador, y en su canal de vídeo podréis visionar muchos tutoriales para aprender a utilizarla con eficacia.

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