ENUNCIADO. En un aula hay $10$ chicas y $12$ chicos. Se quiere formar un equipo de $6$ personas, en el que haya $2$ chicas y $4$ chicos. ¿ De cuántas maneras se puede hacer ?.
SOLUCIÓN. El número de maneras de escoger $2$ chicas entre $10$ que hay en el aula es igual a $C_{10,2}=\binom{12}{2}=45$, habida cuenta de que no importa el orden de la selección. Por otra parte, el número de maneras de escoger $4$ chicos entre los los $12$ chicos que hay en el aula es igual a $C_{12,4}=\binom{12}{4}=495$. Finalmente, teniendo en cuenta el principio de elecciones independientes ( o principio multiplicativo ): por cada manera de escoger el grupo de chicas hay $495$ maneras de escoger el grupo de chicos ( y vice versa ), por tanto el número total de posibilidades es igual a $45\cdot 495 = 22275$. $\square$
martes, 10 de mayo de 2016
jueves, 5 de mayo de 2016
Un caso de combinaciones con repetición
ENUNCIADO. Queremos comprar cuatro latas de refrescos. En la tienda tienen 6 tipos distintos de refrescos. ¿ Cuántas posibilidades tenemos de elegir los cuatro refrescos que nos vamos a llevar ?.
SOLUCIÓN. Como no importa el orden en que elijamos los refrescos y, además, en la elección que hacemos podemos repetirlos ( por ejemplo, podemos llevarnos cuatro del mismo tipo ), estamos ante un caso de combinaciones con repetición, que responde al problema patrón de distribuir $n=4$ "bolas idénticas" ( número de refrescos que queremos comprar ) en $r=6$ "urnas" ( tipos de refrescos a elegir ), cuya solución viene dada por las combinaciones con repetición $\text{CR}_{r,n}$, esto es, $$\dfrac{(n+(r-1))!}{n!\cdot (r-1)!}=\binom{n+r-1}{r-1}=\binom{r+n-1}{n} \quad \quad (1)$$
Así, el número de maneras de elegir nuestra compra es $$\dfrac{(4+(6-1))!}{4! \cdot (6-1)!}=\binom{4+(6-1)}{6-1}=\binom{4+(6-1)}{4}=126$$ que es la solución al problema de encontrar de cuantas maneras podemos repartir $4$ símbolos idénticos ( bolas ) en un hilera de $6$ compartimentos ( urnas ) separadas por tabiques de la forma ( por ejemplo, [**|||*||*] sería una de estas posibles distribuciones ), tal como ya se ha explicado en el el problema de encontrar de cuántas fichas debe constar el juego del dominó.
Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $r$ clases, $CR_{r,n}$m también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{r}{n}\right)$ $\square$
SOLUCIÓN. Como no importa el orden en que elijamos los refrescos y, además, en la elección que hacemos podemos repetirlos ( por ejemplo, podemos llevarnos cuatro del mismo tipo ), estamos ante un caso de combinaciones con repetición, que responde al problema patrón de distribuir $n=4$ "bolas idénticas" ( número de refrescos que queremos comprar ) en $r=6$ "urnas" ( tipos de refrescos a elegir ), cuya solución viene dada por las combinaciones con repetición $\text{CR}_{r,n}$, esto es, $$\dfrac{(n+(r-1))!}{n!\cdot (r-1)!}=\binom{n+r-1}{r-1}=\binom{r+n-1}{n} \quad \quad (1)$$
Así, el número de maneras de elegir nuestra compra es $$\dfrac{(4+(6-1))!}{4! \cdot (6-1)!}=\binom{4+(6-1)}{6-1}=\binom{4+(6-1)}{4}=126$$ que es la solución al problema de encontrar de cuantas maneras podemos repartir $4$ símbolos idénticos ( bolas ) en un hilera de $6$ compartimentos ( urnas ) separadas por tabiques de la forma ( por ejemplo, [**|||*||*] sería una de estas posibles distribuciones ), tal como ya se ha explicado en el el problema de encontrar de cuántas fichas debe constar el juego del dominó.
Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $r$ clases, $CR_{r,n}$m también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{r}{n}\right)$ $\square$
jueves, 28 de abril de 2016
miércoles, 27 de abril de 2016
Calcular los cuartiles, la moda, la media, la varianza ...
ENUNCIADO. La recogida de datos sobre una cierta característica ( variable estadística $X$ ) de una población, viene dada en la siguiente tabla :
Se pide:
a) Completar la tabla y entrar los datos necesarios en la calculadora científica ( en modo de cálculo estadístico de $1$ variable ) para obtener los valores de los parámetros estadísticos: media y desviación estándar
b) ¿ Cuál es el valor de la varianza ?
c) Calcular el coeficiente de variación. ¿ Para qué sirve dicha medida ?
d) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas
e) Obtener la moda
f) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas
g) Obtener los cuartiles
h) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
i) A modo de conclusión, describir de manera concisa los rasgos más importantes de la distribución de los valores de dicha variable estadística
SOLUCIÓN.
a)
Entrada de datos en una calculadora científica básica ( no\ programable y con pantalla de 2 líneas ) Casio fx-82MS:
MODE REG (2)
15;6 M+
"n=6"
15;50 M+
"n=56"
35;60 M+
"n=116"
45;30 M+
"n=146"
55;12 M+
"n=158"
Cálculo de la media y de la desviación estándar:
$\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}\,f_i$, donde $N=158$ y $k=5$
$s_{x}\overset{\text{def}}{=}\sqrt{\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,(x_{i}\,f_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}^2\,f_i\right)-(\bar{x})^2}$
Consultando en la calculadora:
S-VAR
(1) -> $\bar{x} \approx 34'5$
(2) -> $s_x \approx 9'8$
b)
Como $s_x \approx 9'8 \Rightarrow s_{x}^2 \overset{\text{def}}{=} (s_x)^2 \approx 96'0$
c)
Coeficiente de variación:
$\text{CV}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_x}{\bar{x}}\approx\dfrac{9'8}{34'5}=28\,\%$
Esta medida expresa el grado de dispersión de la distribución, relativo a la media. Sirve para comparar la dispersión de varios conjuntos de datos.
d)
Histograma de frecuencias absolutas del recuento y obtención de la moda:
Es claro que $30 \prec M_o \prec 40$, luego $M_o=30+a$. Procedemos a calcular $a$ empleando la semejanza de los triángulos de la figura. Como $$\dfrac{a}{10-a}=\dfrac{60-50}{60-30}$$ despejando $a$ encontramos $a=2'5$, luego $M_o\approx 32'5$
f-g)
En la figura se puede apreciar la obtención gráfica de los cuartiles; su cálculo pormenorizado, a partir de las semejanzas entre los triángulos que se configuran son los siguientes:
Observemos que $30 \prec Q_2 \prec 40$, luego $Q_2=30+b$. Calculando $b$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{b}{10}=\dfrac{79-56}{116-56} \Rightarrow b=3'8$; así, $Q_2=30+3'8=30'8$
Observemos que $20 \prec Q_2 \prec 30$, luego $Q_2=20+c$. Calculando $c$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{c}{10}=\dfrac{39'5-6}{56-6} \Rightarrow c=6'7$; así, $Q_1=20+6'7=26'7$
Observemos que $40 \prec Q_2 \prec 50$, luego $Q_3=40+d$. Calculando $d$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{d}{10}=\dfrac{118'5-116}{146-116} \Rightarrow d=0'8$; así, $Q_3=40+0'8=40'8$
h)
i)
Visualmente, se observa una cierta asimetría a la derecha ( en el histograma de frecuencias del recuento, así como en el diagrama de caja y bigotes ); esto viene corroborado por el hecho de que la mediana ( el segundo cuartil ) se sitúa a la derecha de la moda. $\square$
Se pide:
a) Completar la tabla y entrar los datos necesarios en la calculadora científica ( en modo de cálculo estadístico de $1$ variable ) para obtener los valores de los parámetros estadísticos: media y desviación estándar
b) ¿ Cuál es el valor de la varianza ?
c) Calcular el coeficiente de variación. ¿ Para qué sirve dicha medida ?
d) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas
e) Obtener la moda
f) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas
g) Obtener los cuartiles
h) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
i) A modo de conclusión, describir de manera concisa los rasgos más importantes de la distribución de los valores de dicha variable estadística
SOLUCIÓN.
a)
Entrada de datos en una calculadora científica básica ( no\ programable y con pantalla de 2 líneas ) Casio fx-82MS:
MODE REG (2)
15;6 M+
"n=6"
15;50 M+
"n=56"
35;60 M+
"n=116"
45;30 M+
"n=146"
55;12 M+
"n=158"
Cálculo de la media y de la desviación estándar:
$\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}\,f_i$, donde $N=158$ y $k=5$
$s_{x}\overset{\text{def}}{=}\sqrt{\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,(x_{i}\,f_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}^2\,f_i\right)-(\bar{x})^2}$
Consultando en la calculadora:
S-VAR
(1) -> $\bar{x} \approx 34'5$
(2) -> $s_x \approx 9'8$
b)
Como $s_x \approx 9'8 \Rightarrow s_{x}^2 \overset{\text{def}}{=} (s_x)^2 \approx 96'0$
c)
Coeficiente de variación:
$\text{CV}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_x}{\bar{x}}\approx\dfrac{9'8}{34'5}=28\,\%$
Esta medida expresa el grado de dispersión de la distribución, relativo a la media. Sirve para comparar la dispersión de varios conjuntos de datos.
d)
Histograma de frecuencias absolutas del recuento y obtención de la moda:
Es claro que $30 \prec M_o \prec 40$, luego $M_o=30+a$. Procedemos a calcular $a$ empleando la semejanza de los triángulos de la figura. Como $$\dfrac{a}{10-a}=\dfrac{60-50}{60-30}$$ despejando $a$ encontramos $a=2'5$, luego $M_o\approx 32'5$
f-g)
En la figura se puede apreciar la obtención gráfica de los cuartiles; su cálculo pormenorizado, a partir de las semejanzas entre los triángulos que se configuran son los siguientes:
Observemos que $30 \prec Q_2 \prec 40$, luego $Q_2=30+b$. Calculando $b$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{b}{10}=\dfrac{79-56}{116-56} \Rightarrow b=3'8$; así, $Q_2=30+3'8=30'8$
Observemos que $20 \prec Q_2 \prec 30$, luego $Q_2=20+c$. Calculando $c$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{c}{10}=\dfrac{39'5-6}{56-6} \Rightarrow c=6'7$; así, $Q_1=20+6'7=26'7$
Observemos que $40 \prec Q_2 \prec 50$, luego $Q_3=40+d$. Calculando $d$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{d}{10}=\dfrac{118'5-116}{146-116} \Rightarrow d=0'8$; así, $Q_3=40+0'8=40'8$
h)
i)
Visualmente, se observa una cierta asimetría a la derecha ( en el histograma de frecuencias del recuento, así como en el diagrama de caja y bigotes ); esto viene corroborado por el hecho de que la mediana ( el segundo cuartil ) se sitúa a la derecha de la moda. $\square$
Correlación entre dos variables estadísticas
ENUNCIADO. Se ha solicitado a un grupo de 50 personas información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir ( variable $X$ ), y a ver la televisión ( variable $Y$), obteniéndose:
a) Representar gráficamente la nube de puntos en un diagrama cartesiano
b) Escribir las fórmulas de los parámetros y medidas que permitan realizar la aproximación de regresión lineal: medias, varianzas y desviaciones ( estándar ) marginales, y covarianza
c) Preparar una tabla de simple entrada, con todas las columnas necesarias para indicar y ordenar los cálculos de los parámetros y medidas necesarias
d) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson, e interpretarlo en los términos del enunciado. Valorar la fuerza del ajuste por regresión lineal, calculando el coeficiente de determinación
e) Determinar la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, expresándola en la forma punto-pendiente
f) Si una persona duerme $8,5$ horas, ¿ cuántas horas cabe esperar que vea la televisión ?
g) Determinar la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$, expresándola en la forma punto-pendiente
h) Si una persona ve la televisión $2$ horas, ¿ cuánto tiempo cabe esperar que duerma ?
i) Representar las rectas de regresión ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) en el diagrama de la nube de puntos
SOLUCIÓN.
a)
b)
número de datos:
$N=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,f_\ell$
En el caso que nos ocupa, $n=5$ y $N=50$
medias:
$\bar{x}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,f_\ell$
$\bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_\ell\,f_\ell$
varianzas:
$s_{x}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{x})^2$
$s_{y}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{y})^2$
desviaciones estándar:
$s_x=\sqrt{s_{x}^2}$
$s_x=\sqrt{s_{y}^2}$
covarianza:
$s_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,y_\ell\,f_\ell-\bar{x}\cdot\bar{y}$
c)
Nota: En la celdas de suma, sólo aparecen los resultados que no proporciona directamente la calculadora científica ( tras haber introducido los puntos y sus frecuencias )
d)
Tras preparar la calculadora científica ( en modo de cálculo de regresión lineal ), introducimos los puntos y sus frecuencias para, después, consultar el valor de los parámetros y medidas necesarias; en particular, el coeficiente de correlación lineal de Pearson:
MODE REG (3)
LIN (1)
6,4;3 M+
"n=3"
7,3;16 M+
"n=19"
8,3;20 M+
"n=39"
9,2;10 M+
"n=49"
10,1;1 M+
"n=50"
Consultando, ahora el coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$:
S VAR (1)
-> -> (3)
$r=-0'8789 \prec 0$, lo cual indica que las funciones de regresión lineal ( tanto la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, como la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ son decrecientes
Valoremos, ahora, la fuerza del ajuste mediante el valor del coeficiente de determinación:
$R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2=(-0'879)^2 \approx 0'77 = 77\,\%$, que consideramos como aceptable.
e)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
(1)
$\bar{x}=7'8$
(2)
$s_x=0'8944 \Rightarrow s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}(s_x)^2=0'8944^2 \approx 0'8000$
-> (1)
$\bar{y}=2'82$
Poniendo estos valores en la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, obtenemos
$$y-2'82=\dfrac{-0'436}{0'8000}\,(x-7'8)$$
y despejando $y$, la podemos escribir en forma explícita:
$$y=-0'545\,x+7'071$$
Nota: También podemos consultar, directamente, el valor de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ) haciendo:
S VAR (1)
-> -> -> (A) ( que corresponde a $k$ )
-> -> -> (B) ( que corresponde a $m$ )
f)
Si $x=8'5$, entonces de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, el valor aproximado que nos da el número de horas viendo la televisión es $$\hat{y}=-0'541\cdot 8'5+7'071 \approx 2'4\; \text{horas}$$
g)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
-> (2)
$s_y=0'5546 \Rightarrow s_{y}^2\overset{\text{def}}{=}(s_y)^2=0'5546^2 \approx 0'3076$
por tanto,
$$x-7'8=\dfrac{0'436}{0'3076}\,(y-2'82)$$
ecuación que podemos expresar en forma explícita ( despejando $y$ ):
$$y=-0'7055\,x+8'3231$$
h)
Para $y=2$ deberíamos obtener un valor aproximado de $x$ muy próximo a $9$ horas ( de sueño ), pues viene como dato en las tablas; en efecto de la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ en forma punto-pendiente vemos que $$\hat{x}=7'8+\dfrac{(-0'436)}{0'3076}\cdot ( 2-2'82)=8'96 \approx 2\; \text{horas}$$
i)
Las rectas de regresión lineal, de $Y$ sobre $X$ y de $X$ sobre $Y$, pasan por el "centro de masas" $\bar{x}\,,\,\bar{y})$, cuyas coordenadas ya conocemos. Para representar las dos rectas, basta pues calcular un punto más para cada una de ellas, que, por comodidad, los escogeremos como los puntos de corte con el eje $Oy$; así, calculando las ordenadas en el origen de ambas rectas, obtenemos: $(0\,,\,8'3)$ para la recta de r.l. de $X$ sobre $Y$, y $(0\,,\,0'7071)$ para la recta de r.l. de $Y$ sobre $X$
$\square$
b) Escribir las fórmulas de los parámetros y medidas que permitan realizar la aproximación de regresión lineal: medias, varianzas y desviaciones ( estándar ) marginales, y covarianza
c) Preparar una tabla de simple entrada, con todas las columnas necesarias para indicar y ordenar los cálculos de los parámetros y medidas necesarias
d) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson, e interpretarlo en los términos del enunciado. Valorar la fuerza del ajuste por regresión lineal, calculando el coeficiente de determinación
e) Determinar la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, expresándola en la forma punto-pendiente
f) Si una persona duerme $8,5$ horas, ¿ cuántas horas cabe esperar que vea la televisión ?
g) Determinar la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$, expresándola en la forma punto-pendiente
h) Si una persona ve la televisión $2$ horas, ¿ cuánto tiempo cabe esperar que duerma ?
i) Representar las rectas de regresión ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) en el diagrama de la nube de puntos
SOLUCIÓN.
a)
b)
número de datos:
$N=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,f_\ell$
En el caso que nos ocupa, $n=5$ y $N=50$
medias:
$\bar{x}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,f_\ell$
$\bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_\ell\,f_\ell$
varianzas:
$s_{x}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{x})^2$
$s_{y}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{y})^2$
desviaciones estándar:
$s_x=\sqrt{s_{x}^2}$
$s_x=\sqrt{s_{y}^2}$
covarianza:
$s_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,y_\ell\,f_\ell-\bar{x}\cdot\bar{y}$
c)
Nota: En la celdas de suma, sólo aparecen los resultados que no proporciona directamente la calculadora científica ( tras haber introducido los puntos y sus frecuencias )
d)
Tras preparar la calculadora científica ( en modo de cálculo de regresión lineal ), introducimos los puntos y sus frecuencias para, después, consultar el valor de los parámetros y medidas necesarias; en particular, el coeficiente de correlación lineal de Pearson:
MODE REG (3)
LIN (1)
6,4;3 M+
"n=3"
7,3;16 M+
"n=19"
8,3;20 M+
"n=39"
9,2;10 M+
"n=49"
10,1;1 M+
"n=50"
Consultando, ahora el coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$:
S VAR (1)
-> -> (3)
$r=-0'8789 \prec 0$, lo cual indica que las funciones de regresión lineal ( tanto la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, como la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ son decrecientes
Valoremos, ahora, la fuerza del ajuste mediante el valor del coeficiente de determinación:
$R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2=(-0'879)^2 \approx 0'77 = 77\,\%$, que consideramos como aceptable.
e)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
(1)
$\bar{x}=7'8$
(2)
$s_x=0'8944 \Rightarrow s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}(s_x)^2=0'8944^2 \approx 0'8000$
-> (1)
$\bar{y}=2'82$
Poniendo estos valores en la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, obtenemos
$$y-2'82=\dfrac{-0'436}{0'8000}\,(x-7'8)$$
y despejando $y$, la podemos escribir en forma explícita:
$$y=-0'545\,x+7'071$$
Nota: También podemos consultar, directamente, el valor de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ) haciendo:
S VAR (1)
-> -> -> (A) ( que corresponde a $k$ )
-> -> -> (B) ( que corresponde a $m$ )
f)
Si $x=8'5$, entonces de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, el valor aproximado que nos da el número de horas viendo la televisión es $$\hat{y}=-0'541\cdot 8'5+7'071 \approx 2'4\; \text{horas}$$
g)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
-> (2)
$s_y=0'5546 \Rightarrow s_{y}^2\overset{\text{def}}{=}(s_y)^2=0'5546^2 \approx 0'3076$
por tanto,
$$x-7'8=\dfrac{0'436}{0'3076}\,(y-2'82)$$
ecuación que podemos expresar en forma explícita ( despejando $y$ ):
$$y=-0'7055\,x+8'3231$$
h)
Para $y=2$ deberíamos obtener un valor aproximado de $x$ muy próximo a $9$ horas ( de sueño ), pues viene como dato en las tablas; en efecto de la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ en forma punto-pendiente vemos que $$\hat{x}=7'8+\dfrac{(-0'436)}{0'3076}\cdot ( 2-2'82)=8'96 \approx 2\; \text{horas}$$
i)
Las rectas de regresión lineal, de $Y$ sobre $X$ y de $X$ sobre $Y$, pasan por el "centro de masas" $\bar{x}\,,\,\bar{y})$, cuyas coordenadas ya conocemos. Para representar las dos rectas, basta pues calcular un punto más para cada una de ellas, que, por comodidad, los escogeremos como los puntos de corte con el eje $Oy$; así, calculando las ordenadas en el origen de ambas rectas, obtenemos: $(0\,,\,8'3)$ para la recta de r.l. de $X$ sobre $Y$, y $(0\,,\,0'7071)$ para la recta de r.l. de $Y$ sobre $X$
$\square$
miércoles, 20 de abril de 2016
Un sorteo del estilo de la "Bono Loto"
ENUNCIADO. Consideremos que hacer una apuesta ( en el juego que proponemos y que está inspirado en el de la Bono Loto) consiste en marcar ( en un boleto ) $6$ números distintos de entre el conjunto de números naturales $\{1,2,\ldots,49\}$. Al sortear $6$ números de dicho conjunto de $49$ números, ¿ cuál es la probabilidad de acertar $0\le k\le 6$ números ( de entre los $6$ números a los que hemos apostado ) ?
Nota: las normas para apostar en la Bono Loto son un poco más complicadas, pues se requiere, por ejemplo, que en una apuesta sencilla se rellenen al menos dos bloques, eligiendo seis números en cada uno de los bloques. También se pueden hacer apuestas múltiples. Y, además, se sortea también un número llamado "complementario", mediante el cual se otorga un premio especial si se acierta también dicho número en combinación con haber acertado cinco números, pero no vamos a entrar en más detalles sobre el juego de la Bono Loto propiamente dicho.
SOLUCIÓN. El número total de posibilidades es $\binom{49}{6}$, y el número de posibilidades favorables a que acertemos $k$ números es $\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}$, donde los dos factores representan la forma de disponer los $k$ aciertos y la forma de disponer los $6-k$ fracasos ( de entre los números que no figuran en la apuesta, que son $49-6$ ).
Entonces, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}}{\binom{49}{6}}$$
Así, por ejemplo:
La probabilidad de acertar los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,000\,07$
La probabilidad de acertar cinco de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{5}\cdot \binom{49-6}{6-5}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,018\,4$
La probabilidad de acertar cuatro de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000967$
La probabilidad de acertar tres de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{3}\cdot \binom{49-6}{6-3}}{\binom{49}{6}}\approx 0'0187$
La probabilidad de acertar dos de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{49-6}{6-2}}{\binom{49}{6}}\approx 0'132$
La probabilidad de acertar uno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 0'413$
La probabilidad de no acertar ninguno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 0'436$
$\square$
Nota: las normas para apostar en la Bono Loto son un poco más complicadas, pues se requiere, por ejemplo, que en una apuesta sencilla se rellenen al menos dos bloques, eligiendo seis números en cada uno de los bloques. También se pueden hacer apuestas múltiples. Y, además, se sortea también un número llamado "complementario", mediante el cual se otorga un premio especial si se acierta también dicho número en combinación con haber acertado cinco números, pero no vamos a entrar en más detalles sobre el juego de la Bono Loto propiamente dicho.
SOLUCIÓN. El número total de posibilidades es $\binom{49}{6}$, y el número de posibilidades favorables a que acertemos $k$ números es $\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}$, donde los dos factores representan la forma de disponer los $k$ aciertos y la forma de disponer los $6-k$ fracasos ( de entre los números que no figuran en la apuesta, que son $49-6$ ).
Entonces, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}}{\binom{49}{6}}$$
Así, por ejemplo:
La probabilidad de acertar los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,000\,07$
La probabilidad de acertar cinco de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{5}\cdot \binom{49-6}{6-5}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,018\,4$
La probabilidad de acertar cuatro de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000967$
La probabilidad de acertar tres de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{3}\cdot \binom{49-6}{6-3}}{\binom{49}{6}}\approx 0'0187$
La probabilidad de acertar dos de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{49-6}{6-2}}{\binom{49}{6}}\approx 0'132$
La probabilidad de acertar uno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 0'413$
La probabilidad de no acertar ninguno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 0'436$
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Un problema histórico del cálculo de probabilidades sobre dos propuestas ( de apuesta ) de lanzamientos de dados
Los problemas de apuestas en los juegos de azar constituyeron importantes estímulos para los matemáticos en los orígenes de la teoría del cálculo de probabilidades ( siglo XVII ); así, por ejemplo, cabe destacar los problemas históricos que el escritor, matemático aficionado y jugador Antoine Gambaud, Chevalier de Méré ( 1607-1684 ) planteaba al gran matemático aficionado Pierre de Fermat ( 1601-1665 ) y al matemático y filósofo Blaise Pascal ( 1623-1684 ). Uno de estos problemas es el conocido como el problema de la partida inacabada ( no hablaremos de éste ahora ). Y, otro de ellos se conoce como el problema de las apuestas en el juego de los dados, del cual sí vamos a hablar a continuación. Dice así:
ENUNCIADO:
¿ Qué es más probable: a) sacar al menos un seis en 4 lanzamiento de un dado, o bien, b) sacar al menos dos seises en 24 lanzamientos de dos dados ? Esto es, ¿ cuál de las dos apuestas es la más ventajosa ?.
SOLUCIÓN:
Vamos a calcular la probabilidad de (a). La probabilidad de no sacar un '6' en un lanzamiento es $\dfrac{5}{6}$, luego la de no sacar ningún '6' en cuatro lanzamientos es $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$, con lo cual, y por la propiedad del contrario, vemos que la probabilidad de sacar al menos un '6' es $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0,5177$
Veamos ahora cuál es la probabilidad de (b). Al lanzar una vez dos dados, la probabilidad de sacar dos seises es $\dfrac{1}{36}$, luego la de no sacarlos es $1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$; por lo tanto, la probabilidad de no sacar ningún par de seises en 24 tiradas ( de dos dados ) es $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}$, con lo cual - por la propiedad de la probabilidad del suceso contrario - vemos que la probabilidad de sacar al menos un par de seises es $1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0'4914$
Como la probabilidad en este segundo caso es menor que la del primero, concluimos que es más ventajoso apostar por lo primero ( lanzar cuatro veces un dado, contemplando la posibilidad de que aparezcan al menos dos seises ) que no por lo segundo ( lanzar 24 veces una pareja de dados, contemplando la posibilidad de que aparezca al menos dos seises ).
OTRA FORMA DE LLEGAR A LA SOLUCIÓN:
Arriba se ha resuelto el problema empleando un método dinámico, esto es, recorriendo el árbol de posibilidades y colocándonos en cada situación hipotética, empleando el principio de independencia de sucesos. También puede resolverse el problema, desde un enfoque estático, esto es, mediante el cálculo combinatoria; de esta forma, no simulamos lo que sucede en cada nodo del árbol, sino que, de una vez, extraemos la solución, empleando la regla de Laplace. Veamos cómo.
En el primer caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{6,4}=6^4$ y el número de casos favorables es igual a $VR_{6-1,4}=5^4$, por consiguiente la probabilidad de no obtener un '6' en cuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{5^4}{6^4}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{5^4}{6^4}\approx 0,5177$$
En el segundo caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{36,24}=36^{24}$, pues al lanzar una vez dos dados, obtenemos $6\cdot 6=36$ resultados. Por otra parte, el número de casos favorables es igual a $VR_{36-1,24}=35^{24}$ ( ya que debemos descartar el resultado [6,6] en un lanzamiento de la pareja de dados ), por consiguiente la probabilidad de no obtener un doble '6' en veinticuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{35^{24}}{36^{24}}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{35^{24}}{36^{24}}\approx 0,4914$$
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ENUNCIADO:
¿ Qué es más probable: a) sacar al menos un seis en 4 lanzamiento de un dado, o bien, b) sacar al menos dos seises en 24 lanzamientos de dos dados ? Esto es, ¿ cuál de las dos apuestas es la más ventajosa ?.
SOLUCIÓN:
Vamos a calcular la probabilidad de (a). La probabilidad de no sacar un '6' en un lanzamiento es $\dfrac{5}{6}$, luego la de no sacar ningún '6' en cuatro lanzamientos es $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$, con lo cual, y por la propiedad del contrario, vemos que la probabilidad de sacar al menos un '6' es $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0,5177$
Veamos ahora cuál es la probabilidad de (b). Al lanzar una vez dos dados, la probabilidad de sacar dos seises es $\dfrac{1}{36}$, luego la de no sacarlos es $1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$; por lo tanto, la probabilidad de no sacar ningún par de seises en 24 tiradas ( de dos dados ) es $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}$, con lo cual - por la propiedad de la probabilidad del suceso contrario - vemos que la probabilidad de sacar al menos un par de seises es $1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0'4914$
Como la probabilidad en este segundo caso es menor que la del primero, concluimos que es más ventajoso apostar por lo primero ( lanzar cuatro veces un dado, contemplando la posibilidad de que aparezcan al menos dos seises ) que no por lo segundo ( lanzar 24 veces una pareja de dados, contemplando la posibilidad de que aparezca al menos dos seises ).
OTRA FORMA DE LLEGAR A LA SOLUCIÓN:
Arriba se ha resuelto el problema empleando un método dinámico, esto es, recorriendo el árbol de posibilidades y colocándonos en cada situación hipotética, empleando el principio de independencia de sucesos. También puede resolverse el problema, desde un enfoque estático, esto es, mediante el cálculo combinatoria; de esta forma, no simulamos lo que sucede en cada nodo del árbol, sino que, de una vez, extraemos la solución, empleando la regla de Laplace. Veamos cómo.
En el primer caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{6,4}=6^4$ y el número de casos favorables es igual a $VR_{6-1,4}=5^4$, por consiguiente la probabilidad de no obtener un '6' en cuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{5^4}{6^4}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{5^4}{6^4}\approx 0,5177$$
En el segundo caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{36,24}=36^{24}$, pues al lanzar una vez dos dados, obtenemos $6\cdot 6=36$ resultados. Por otra parte, el número de casos favorables es igual a $VR_{36-1,24}=35^{24}$ ( ya que debemos descartar el resultado [6,6] en un lanzamiento de la pareja de dados ), por consiguiente la probabilidad de no obtener un doble '6' en veinticuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{35^{24}}{36^{24}}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{35^{24}}{36^{24}}\approx 0,4914$$
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