Otra forma de ver las permutaciones con repetición

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes, atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $tres$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de ordenaciones es $$\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$. $\diamond$

Ejemplo de suma de los $n$ primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica

Consideremos una sucesón aritmético-geométrica tal como $a_k=k\,r^k$, siendo $r$ constante y $k=1,2,\ldots,n$ (donde $n\in \mathbb{N})$. Nos planteamos resolver la suma $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\,k\,r^k$$ Obtendremos un importante resultante, que es muy útil a la hora de calcular esperanzas matemáticas (valores esperados de una variable aleatoria) en distribuciones de probabilidad discretas.

Por comodidad en la notación, denotaremos por $S_n$ la suma pedida: $$S_n=r+2\,r^2+3\,r^3+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^n\quad \quad (1)$$ Multiplicando por $r$ sendos miembros de (1) podemos escribir $$r\,S_n=r^2+2r^3+3\,r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^{n+1}\quad \quad (2)$$ Restando miembro a miembro (2) de (1) se obtiene $$S_n-r\,S_n=(r+r^2+r^3+r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+r^n)-n\,r^{n+1}\quad \quad (3)$$ En el paréntesis del segundo miembro, reconocemos la suma de los $n$ primeros términos de una progresión (sucesión) geométrica de primer término $r$ y rázon (también) $r$, luego su suma —véase los artículos de este blog en los que se ha justificado la fórmula que usamos a continuación— es igual a $r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$; en cosecuencia, podemos expresar (3) de la forma $$S_n-r\,S_n=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (4)$$ Sacando factor común de $S_n$ en el primer miembro, $$S_n\,(1-r)=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (5)$$ Despejando $S_n$, se llega a $$\displaystyle S_n=\dfrac{r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}}{1-r}\quad \quad (5)$$ y arreglando un poco esta expresión, encontramos: $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(r-1)^2}\quad \quad (6)$$ que es equivalente a $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}\quad \quad (7)$$

Ejemplo

Sea la sucesión aritmético-geométrica $2,8,24,64,\,\ldots$, donde $r=2$. Hagamos algunas comprobaciones sencillas:

• Con sólo el primer sumando ($n=1$), deberíamos encontrar que $S_1=2$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_1=\dfrac{1\cdot 2^3-2\cdot 2^2+2}{(1-2)^2}=\dfrac{8-8+2}{^(-1)^2}=\dfrac{2}{1}=2$
• Con los dos primeros sumandos ($n=2$), deberíamos encontrar que $S_2=2+8=10$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_2=\dfrac{2\cdot 2^4-3\cdot 2^3+2}{(1-2)^2}=\dfrac{32-24+2}{^(-1)^2}=\dfrac{10}{1}=10$
• Con los tres primeros sumandos ($n=3$), deberíamos encontrar que $S_3=2+8+24=34$; así es, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_3=\dfrac{3\cdot 2^5-4\cdot 2^4+2}{(1-2)^2}=\dfrac{96-64+2}{^(-1)^2}=\dfrac{34}{1}=34$

Observación (Suma de infinitos términos)

Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (7) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}=\dfrac{r}{(1-r)^2}\quad \quad (8)$$

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Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $d_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que la suma de una sucesión geométrica: $d_1+d_2+\ldots+d_{n-1}=d_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$. Por tanto, podemos escribir (1) de la forma $$a_n=a_1+d_1\cdot \dfrac{r^{n-1}-1}{r-1}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $3,4,6,10,18,34,\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Notemos que $a_3=1$, $d_1=1$ y $r=2$. Comprobemos (por ejemplo) el sexto término $a_6$:

  Para $n=6$, debemos obtener $a_6=34$; en efecto, sustituyendo el valor del índice en (2): $a_6=3+1\cdot \dfrac{2^{6-1}-1}{2-1}=3+1\cdot \dfrac{2^{5}-1}{1}=3+1\cdot \dfrac{32-1}{1}=3+31=34$
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Sucesiones aritmético-geométricas

Los términos de una sucesión aritmético-geométrica están formados por productos de dos factores de los cuales uno de ellos sigue una sucesión aritmética y el otro sigue una sucesión geométrica; o bien por cocientes, los numeradores de los cuales siguen una sucesión aritmética o geométrica y los denominadores una sucesión geométrica (si los numeradores siguen una s. aritmética) o aritmética (si los numeradores siguen una s. geométrica). Vamos a exponer cómo encontramos el término general de una sucesión de este tipo.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo Consideremos la sucesión $$1,\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ esto es $$\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ Observemos que los numeradores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que son los números impares consecutivos; por otra parte, los denominadores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$ (las potencias consecutivas de base $2$, empezando por el exponente $0$), por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$c_n=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}\, \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $c_1=1$; en efecto: $c_1=\dfrac{2\cdot 1-1}{2^{1-1}}=\dfrac{1}{2^{0}}=\dfrac{1}{1}=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $c_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $c_2=\dfrac{2\cdot 2-1}{2^{2-1}}=\dfrac{4-1}{2^{1}}=\dfrac{3}{2}$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $c_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $c_3=\dfrac{2\cdot 3-1}{2^{2-1}}=\dfrac{6-1}{2^{2}}=\dfrac{5}{4}$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$c_{11}=\frac{2\cdot 11-1}{2^{11-1}}=\dfrac{22-1}{2^{10}}=\dfrac{21}{1024}$$

Ejemplo 2

Consideremos la sucesión $$1,6,20,56,144,\ldots$$ Puede comprobarse que dichos términos se puede escribir de la forma $$1\cdot 1, 3\cdot 2, 5\cdot 4,7 \cdot 8,9\cdot 16,\ldots$$ Observemos que los primeros factores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que, como en el primer ejemplo son los números impares consecutivos; por otra parte, los segundos factores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$, por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$d_n=a_{n}\cdot b_{n}=2^{n-1}\cdot (2n-1)\; \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $d_1=1$; en efecto: $d_1=a_{1}\cdot b_{1}=2^{1-1}\cdot (2\cdot 1-1)=2^{0}\cdot (2-1)=1\cdot 1=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $d_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $d_2=a_{2}\cdot b_{2}=2^{2-1}\cdot (2\cdot 2-1)=2^{1}\cdot (4-1)=2\cdot 3=6$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $d_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $d_3=a_{3}\cdot b_{3}=2^{3-1}\cdot (2\cdot 3-1)=2^{2}\cdot (6-1)=4\cdot 5=20$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$d_{11}=a_{11}\cdot b_{11}=2^{11-1}\cdot (2\cdot 11-1)=2^{10}\cdot (22-1)=1024\cdot 21=21\,504$$ $\diamond$

Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman multiplicando por una cantidad el término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión geométrica

Se considera la sucesión $a_n=a_1\cdot r_{n}$, donde $r_n=r_{1}\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $r_1$ de la sucesión de las cantidades a multiplicar por el término precedente, $r_1,r_2,\ldots$, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1\cdot r_1$
• $a_3=a_2\cdot r_2=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}$
• $a_4=a_3\cdot r_3=a_1\cdot r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}$
• $\ldots$
• $a_n=a_1\cdot \left(r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots} \cdot r_{n-1}\ \right)\quad \quad (1)$

El producto entre paréntesis del segundo término de (1) obedece al de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de primer término $r_1$ (conocido) y razón $r$ (conocida). Es bien sabido que dicho producto se puede calcular utilizando el siguiente resultado ya conocido de cursos anteriores $r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle\sqrt{(r_1\cdot r_{n-1})^{n-1}}=(r_1\cdot r_{n-1})^{(n-1)/2}$. Por otra parte, también es sabido que el último término de esta secuencia es $r_{n-1}=r_{1}\cdot r^{n-2}$, con lo cual este producto de $n-1$ factores se puede escribir como, $$r_1\cdot r_2\cdot \overset{\underbrace{n-1\,\text{factores}}}{\ldots}\cdot r_{n-1}=\displaystyle \left(r_{1}^2\cdot r^{n-2}\right)^{(n-1)/2}=r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}$$ Sustituyendo en (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1\cdot r_{1}^{n-1}\cdot r^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2) $$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,8,64,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $r_1=2$ y $r=2$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=1\cdot 2^{n-1}\cdot 2^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ esto es $$a_n=2^{((n-1)(n-2)+2(n-1))/2}=2^{(n-1)(n-2+2)/2}=2^{n(n-1)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=2^{1\cdot(1-1)/2}=2^0=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_1=2$; en efecto, $a_1=2^{2\cdot(2-1)/2}=2^1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_1=8$; en efecto, $a_1=2^{3\cdot(3-1)/2}=2^3=8$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_1=64$; en efecto, $a_1=2^{4\cdot(4-1)/2}=2^6=64$
• $\ldots$

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Sucesiones cuyos términos consecutivos se forman sumando una cantidad al término precedente, la cual sigue a su vez el patrón de una sucesión aritmética

Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1+(n-1)\,d$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, $d_1,d_2,\ldots$, y de la diferencia, $d$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.

Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:

• $a_1$
• $a_2=a_1+d_1$
• $a_3=a_2+d_2=a_1+d_1+d_2$
• $a_4=a_3+d_3=a_1+d_1+d_2+d_3$
• $\ldots$
• $a_n=a_1+(d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1})\quad \quad (1)$

La suma entre paréntesis del segundo término de (1) obedece a la de los $n-1$ primeros términos consecutivos de una sucesión aritmética de primer término $d_1$ (conocido) y diferencia $d$ (conocida). Es bien sabido que el último sumando (término) de dicha progresión artimética es $d_{n-1}=d_1+(n-2)\,d$, y la fórmula (también conocida) de la suma de una sucesión aritmética — producto del número de términos por la semisuma del primer y del último término—, podemos escribir que $d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\left(\dfrac{d_1+(d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)=\left(\dfrac{2\,d_1+(n-2)\,d}{2}\right)\cdot (n-1)$, es decir, $$d_1+d_2+\overset{\underbrace{n-1\,\text{sumandos}}}{\ldots}+d_{n-1}=\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)$$ Sustituyendo em (1) llegamos a la expresión del término general de la sucesión pedida, $$a_n=a_1+\dfrac{2\,(d_1-d)+n\,d}{2}\cdot (n-1)\;,\;n=1,2,3,\ldots \quad \quad (2)$$

Nótese que la expresión obtenida es cuadrática en $n$; en efecto, desarrollándola algebraicamente se obtiene: $$a_n=\dfrac{d}{2}\,n^2+(d_1-\dfrac{3}{2}\,d)\,n+(a_1-d_1+d)\,,\,n=1,2,3,\ldots \quad \quad (3)$$

Ejemplo

Sea la sucesión $1,2,4,7,11,16\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $d_1=1$ y $d=1$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=\dfrac{1}{2}\,n^2-\frac{1}{2}\,n+1\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $a_1=1$; en efecto, $a_1=\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 1+1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1=1$
• Para $n=2$, debemos obtener $a_2=2$; en efecto, $a_2=\dfrac{1}{2}\,2^2-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=\dfrac{1}{2}\cdot 4-\dfrac{1}{2}\cdot 2+1=2-1+1=2$
• Para $n=3$, debemos obtener $a_3=4$; en efecto, $a_3=\dfrac{1}{2}\,3^2-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{1}{2}\cdot 9-\dfrac{1}{2}\cdot 3+1=\dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{6}{2}+1=3+1=4$
• Para $n=4$, debemos obtener $a_4=7$; en efecto, $a_4=\dfrac{1}{2}\,4^2-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=\dfrac{1}{2}\cdot 16-\dfrac{1}{2}\cdot 4+1=8-2+1=7$
• $\ldots$

***

Observación

Sabiendo de antemano que el término general de este tipo de sucesiones obedece a una expresión algebraica cuadrática en $n$, $a_n=An^2+Bn+C\,,\,n=1,2,3,\ldots$, también podemos optar por calcular los coeficientes $A,B$ y $C$ mediante una interpolación cuadrática, tal y como ya os he mostrado en otros artículos de este blog: bastará resolver el sistema de tres ecuaciones lineales que así se obtenga, cuyas incógnitas son precisamente los coeficientes a determinar, conocidos los valores de tres de los términos de dicha sucesión, que no tienen porque ser consecutivos. $\diamond$

Producto de los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica

Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:   $a_1$
  $a_2=a_1\,r$
  $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
  $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
  $\ldots$
  $a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que el producto de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\sqrt{(a_1\,a_n)^n}$$

En efecto, en toda sucesión geométrica se cumple que $a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots$

  Escrbiendo el producto con los factores en orden directo e inverseo, y multiplicando miembro a miembro (1) y (2): $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_1\cdot a_2 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_n \quad \quad (1)$$ $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_n\cdot a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdot \ldots \cdot a_{2}\cdot a_1 \quad \quad (2)$$
se tiene que $$(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i)^2=(a_1\cdot a_{n}) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1})\cdot \ldots \cdot (a_{a_n}\cdot a_1)=(a_{a_1}\cdot a_n)^{n/2} \Rightarrow \displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\left((a_1\cdot a_n)^{n}\right)^{1/2}=\sqrt{(a_{a_1}\cdot a_n)^{n}}$$ Nótese que, si el $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos factores cuyo producto es igual para todos ellos; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\sqrt{a_{(n+1)/2}\cdot a_{(n+1)/2}}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
$\diamond$