ENUNCIADO
Alicia lanza una moneda; y, de manera independiente, Bernardo lanza dos monedas. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos coincidan en el número de caras que obtienen ?.
SOLUCIÓN:
Debemos considerar los siguientes sucesos en relación al experimento aleatorio de Alicia:
$A_0$: "Alicia obtiene 0 caras" $P(A_0)=\dfrac{1}{2}$
$A_1$: "Alicia obtiene 1 cara" $P(A_1)=\dfrac{1}{2}$
$A_2$: "Alicia obtiene 2 caras" $P(A_2)=0$ ( suceso imposible )
Y en cuanto al experimento de Bernardo:
$B_0$: "Bernardo obtiene 0 cares" $P(B_0)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
$B_1$: "Bernardo obtiene 1 cara" $P(B_1)=2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$B_2$: "Bernardo obtiene 2 cares" $P(B_2)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
Con lo cual la probabilidad de que Alicia y Bernardo obtengan el mismo número de caras es igual a $P\left((A_0 \cap B_0) \cup (A_1 \cap B_1) \cup (A_2 \cap B_2)\right)$; y, como estos tres sucesos son incompatibles, dicha probabilidad es igual a $P(A_0 \cap B_0) + (A_1 \cap B_1) +(A_2 \cap B_2)$ (1). Y, desdes luego, $A_0$ y $B_0$ son independientes, como también lo son $A_1$ y $B_1$, y $A_2$ y $B_2$; por lo tanto, (1) es igual a $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+0\cdot \dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+0$
$=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+0$
$=\dfrac{3}{8}$
$\square$
martes, 12 de mayo de 2015
Un grupo de 12 personas quieren alojarse en ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un grup de 12 persones es volen allotjar en un refugi de muntanya. Hi han tres habitacions disponibles: a la primera hi han dos llits, a la segona quatre, i a la tercera sis. De quantes maneres es poden ordenar ?
Solució:
Pel principi multiplicatiu i tenint en compte que els llits són indistingibles i que per tant no importa l'ordre amb què les persones que van a una determinada habitació escullen els llits, tenim un total de
$C_{12,2}\cdot C_{12-2,4}\cdot C_{12-(2+4),6} = 13860 \; \text{possibilitats}$
domingo, 10 de mayo de 2015
Calcular los siguientes límites ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Calculeu els següents límits:
a) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\bigg)^{2n}$
b) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3\,n^2+n-1}{(1-2\,n)^2}$
c) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)$
a)
Per les propietats dels límits podem comprovar que
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\bigg)^{2n}=\Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, 2n}$
d'on s'obté una indeterminació del tipus $1^{\infty}$
Aquest tipus d'indeterminacions es resolen fent ús de la propietat
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\Big(1+\dfrac{1}{f(n)}\Big)^{f(n)}=e$
Llavors, cal transformar (de manera equivalent) l'argument del límit per tal que adopti aquest esquema
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\bigg)^{2n}=\Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(1+\dfrac{1}{5n}\Bigg)^{5n}\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \frac{2}{5}}=e^{\frac{2}{5}}$
resultat que també es pot expressar de la forma
$\sqrt[5]{e^2}$
$\square$
b)
En passar al límit trobem que
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3\,n^2+n-1}{(1-2\,n)^2}$
dóna una indeterminació del tipus
$\dfrac{\infty}{\infty}$
Aquest tipus d'indeterminacions es resolen dividint el numerador i el denominador per $n$ elevada a l'exponent més gran que figuri a l'expressió; fent-ho, obtenim
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3\,n^2+n-1}{(1-2\,n)^2}=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}$
I, ara, en tornar a passar al límit trobem
$\dfrac{3+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{4-\frac{4}{\infty}+\frac{1}{\infty}}$
que és igual a
$\dfrac{3}{4}$
$\square$
b)
En passar al límit trobem que
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)$
dóna una indeterminació del tipus
$\infty-\infty$
Calculant uns quants valors de la successió ens adonem de seguida que els termes d'aquesta successió són negatius, que és monòtona decreixent, i que no està fitada
per tant
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)=-\infty$
Procediment alternatiu:
A mode de comprovació, el resoldrem d'una altra manera: desfent algèbricament la indeterminació. Les indeterminacions d'aquest tipus d'indeterminació, podem multiplicar i dividir per l'expressió conjugada
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{\big(\sqrt{n}-n\big)\cdot \big(\sqrt{n}+n\big)}{\sqrt{n}+n}=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{n-n^2}{\sqrt{n}+n}$
Si, ara, tornem a passar al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus
$\dfrac{\infty}{\infty}$
que, com és ben sabut, es pot resoldre dividint el numerador y el denominador per la potència de $n$ amb l'exponent més gran present a l'expressió: en aquest cas $n^2$
Fent això trobem
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{\frac{1}{n}-1}{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\frac{1}{n}}=\dfrac{\frac{1}{\infty}-1}{\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty}}=-\dfrac{1}{0}=-\infty$
$\square$
Ejercicio de correlación lineal ... (Artículo escrito en catalán)
Enunciat: [ lectura preliminar ]
A la taula de sota, es mostren les qualificacions d'un grup de $20$ alumnes en dues assignatures afins (Matemàtiques i Física, per exemple), on $x$ i $y$ representen els valors de les corresponents v.e., i $f$ el nombre d'alumnes que han obtingut cada un dels parells de notes referits:
| X | Y | f |
| $2$ | $3$ | $2$ |
| $4$ | $5$ | $3$ |
| $5$ | $4$ | $6$ |
| $6$ | $6$ | $2$ |
| $6$ | $5$ | $2$ |
| $7$ | $6$ | $2$ |
| $7$ | $7$ | $1$ |
| $8$ | $9$ | $1$ |
| $10$ | $10$ | $1$ |
Us demanem:
a) el gràfic del núvol de punts
b) el valor de la covariància $\sigma_{xy}$, i de les desviacions estàndard $\sigma_{x}$ i $\sigma_{y}$
c) el valor del coeficient de correlació lineal (o de Pearson) $r$
d) el grau de fiabilitat de la regressió lineal: $r^2$ (expressat en tant per cent)
e.1) l'equació de la recta de regressió lineal de $Y$ sobre $X$
e.2) si un alumne no ha pogut assistir a l'examen de l'assignatura $Y$, i té un $4$ a l'assignatura $X$, quant val la nota estimada $\hat{y}$ de $Y$ ?
g.1) l'equació de la recta de regressió lineal de $X$ sobre $Y$
g.2) si un alumne no ha pogut assistir a l'examen de l'assignatura $X$, i té un $5$ a l'assignatura $Y$, quant val la nota estimada $\hat{x}$ de $X$ ?
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Lectura preliminar:
Donat un conjunt de $N$ punts experimentals $\displaystyle \{P(x_i,y_i)\}_{i=1,\ldots,n}$, amb freqüències $\{f_i\}_{i=1,\dots\,n}$ i de tal manera que $N=\sum_{i=1}^{n}\,f_i$,
recordem que per fer l'estimació d'un valor $\hat{y}$ de $Y$, a partir d'un valor donat $x$ de $X$, fem ús del la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ que, en forma explícita, s'escriu
$y=a+b\,x$
on
$b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}$
i
$a=\bar{y}-b\,\bar{x}$
També se solt escriure la recta de regressió lineal de $Y$ sobre $X$ en la forma punt-pendent
$y-\bar{y}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}\,\big(x-\bar{x}\big)$
on la covariància de $X$ i $Y$ es defineix de la forma
$\displaystyle \sigma_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n} \,(x-\bar{x})\,(y-\bar{y})\,f_{i}$
i es demostra fàcilment que es pot calcular també de la forma
$\displaystyle \sigma_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n} x_{i}\,y_{i}\,f_{i}-\bar{x}\,\bar{y}$
amb
$N=\sum_{i=1}^{n}\,f_{i}$ ( $N$ és el nombre de punts experimentals)
Semblantment, per fer l'estimació d'un valor $\hat{x}$ de $X$, a partir d'un valor donat $y$ de $Y$, fem ús del la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ que, en forma explícita, s'escriu
$x=a^{'}+b^{'}\,y$
on
$b^{'} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^2}$
i
$a^{'}=\bar{x}-b^{'}\,\bar{y}$
recta que també se solt escriure en la forma punt-pendent
$x-\bar{x}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^2}\,\big(y-\bar{y}\big)$
El coeficient de correlació lineal (o de Pearson)
$r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\,\sigma_{y}}$
és tal que $-1 \le r \le 1$
informa del grau de validesa de la regressió lineal ( el model de regressió és òptim quan $\left|r\right|$ s'apropa a $1$ ) i, en els casos extrems:
si $\left|r\right|=1$, la dependència entre les variables $X$ i $Y$ és funcional
si $\left|r\right|=0$, les variables $X$ i $Y$ són independents
Propietats:
-
La intersecció de les rectes de regressió (de $Y$ sobre $X$, i de $X$ sobre $Y$ ) és el punt de coordenades $G(\bar{x},\bar{y})$
-
Es demostra que, si $r=0$, la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és igual a $y=\bar{y}$, i que la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ és igual a $x=\bar{x}$. Per tant, ambdues rectes són perpendiculars.
sábado, 9 de mayo de 2015
La media aritmética de ... ( Artículo escrito en catalán )
Exercici 1:
Considereu que la mitjana aritmètica d'un conjunt de $n$ valors d'una v.a. $X$ val $m$, i que la variància val $v$. Si a cada un dels valors $\{x_i\} \quad (i=1,\ldots,n)$ li sumem una constant $k$ (coneguda), calculeu el valor de la nova mitjana aritmètica i el valor de la nova variància.
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Exercici 2:
Tres grups d'alumnes (A, B i C) han obtingut els següents resultats en una mateixa prova:
$\text{grup A}:\,\{2\;,\;3\;,\;5\;,\;6\;,\;7\;,\;8\}$
$\text{grup B}:\,\{1\;,\;2\;,\;7\;,\;8\;,\;6\;,\;9\}$
$\text{grup C}:\,\{4\;,\;2\;,\;6\;,\;5\;,\;5\;,\;7\}$
Des del punt de vista estadístic, quin dels tres grups podem afirmar que és més eficient en el seu procés d'aprenentatge ?
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Solució de l'exercici 1:
La nova mitjana aritmètica és igual a $m+k$, i la variància pren el mateix valor, $v$.
$\square$
Solució de l'exercici 2:
Calculant els paràmetres estadístics corresponents als tres grups, trobem:
grup | $\bar{x}$ | $\sigma$ | $\dfrac{\sigma}{\bar{x}}$ |
$A$ | $5,2$ | $2,1$ | $0,40$ |
$B$ | $5,3$ | $2,9$ | $0,55$ |
$C$ | $4,8$ | $1,6$ | $0,33$ |
Observem que la mitjana aritmètica és similar en tots tres grups: $5$, aproximant a les unitats. Llavors, per determinar quin dels tres grups obté millors resultats, ens fixarem amb el valor del coeficient de variació; el més petit correspon al grup $C$, i amb una diferència significativa de deu punts percentuals en relació al grup $A$, i de vint en relació al grup $B$. Per tant, segons aquest raonament estadístic, el millor grup de treball és el grup $C$.
$\square$
Una urna contiene ... ( Artículo escrita en catalán )
Enunciat:
Una urna A conté 3 boles vermelles i 1 bola blanca; una altra urna B conté 5 boles vermelles i 2 boles blanques, i una tercera urna c conté 1 bola vermella i 2 boles blanques. Escollim a l'atzar una de les tres urnes i, a continuació, fem l'extracció (a l'atzar) d'una de les boles que conté. Calculeu la probabilitat que:
a) la bola sigui blanca
b) sigui una bola de la urna A, sabent que la bola és blanca
Resolució:
apartat a)
Anomenem:
A al succés a l'atzar "escollir la urna A"; B, al succés a l'atzar "escollir la urna B"; i C, al succés "escollir a l'atzar la urna C".
Per altra banda, designem amb la lletra W el succés "extraure una bola blanca" (d'una de les tres urnes, escollida aleatòriament).
D'acord amb el teorema de la probabilitat total podem escriure
$P(W)=P(W|A)\cdot P(A)+P(W|B)\cdot P(B)+P(W|C)\cdot P(C) \quad \quad (1)$
Tenint en compte el contingut de cada urna, assignem les probabilitats condicionades corresponents d'acord amb el principi de Laplace
$P(W|A)=\dfrac{1}{4}$
$P(W|B)=\dfrac{2}{7}$
$P(W|A)=\dfrac{2}{3}$
Pel que fa a l'elecció de la urna, cal suposar que els successos A, B i C, són equiprobables i, d'acord amb el principi de Laplace
$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$
Substituint aquests coeficients de probabilitat a l'expressió (1) trobem la probabilitat demanada
$P(W)=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{101}{252}\approx 40 \text{\%}$
apartat b)
Del teorema de Bayes tenim que
$P(A|W)=\dfrac{P(W|A)\cdot P(A)}{P(W)}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{101}{252}}$
$=\dfrac{21}{101}$
$\approx 21 \,\%$
$\square$
En un examen, la puntuación media ha sido de ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
En un examen, la puntuació mitjana ha estat de 4,5 punts, i la desviació estàndard d'1,5. Suposant que les puntuacions es distribueixen normalment, quin percentatge d'alumnes han obtingut més d'un $5$ ?
Resolució:
Designem amb $X$ la variable ateatòria "puntuació", els valors de la qual pertanyen a l'interval
$\left[ 0, 10 \right] \in \mathbb{R}$
D'acord amb l'enunciat,
$X \sim N(4,5 \; , \; 1,5)$
Llavors,
$P(X > 5) = 1-P(X \le 5) \quad \quad (1)$
I, per calcular $P(X\le 5)$, farem el canvi de variable
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
amb la qual cosa
$P(X\le 5)=P(Z \le k)$
on
$k=\dfrac{5-4,5}{1,5}=\dfrac{1}{3}$
Tenint en compte que
$P(Z \le \frac{1}{3})=F(\frac{1}{3}) \approx 0,333$
- on $F(z)$ és la funció de distribució de probabilitat de $Z$ -
farem, ara, ús de les taules de $Z$ que és una $N(0,1)$
i trobem que
$F(0,33) = 0,6293$
i
$F(0,34) = 0,6331$
Interpolant linealment,
$\dfrac{F(0,34)-F(\frac{1}{3})}{0,34-0,333}=\dfrac{F(0,34)-F(0,33)}{0,34-0,33}$
d'on
$F(0,333)\approx 0,6304$
Per tant
$P(X \le 5) \approx 0,6304$
i (1) queda
$P(X>5) \approx 0,3696$
de la qual cosa interpretem (estadísticament) que el tant per cent demanat és, aproximadament, del $37 \,\%$
$\square$
Suscribirse a:
Entradas (Atom)