ENUNCIADO. Determinar los números enteros que son solución de la ecuación $$\dfrac{x-1}{x^4-1}+1=\dfrac{1}{x^2-1}$$ ¿ Existe, además, alguna raíz no-entera como solución de dicha ecuación ?.
SOLUCIÓN. Procedemos a reducir la ecuación. Como $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$, el mínimo común múltiplo de los denominadores es $x^4-1$. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por dicho mínimo común múltiplo y simplificando llegamos a la siguiente ecuación equivalente $$x-1+x^4-1=x^2+1=0$$ Agrupando y ordenando términos obtenemos la siguiente ecuación algebraica $$x^4-x^2+x-1=0$$ cuyas soluciones son las raíces del polinomio $P(x)=x^4-x^2+x-1$. Los únicos divisores del término independiente son $-1$ y $1$, y puede comprobarse que sólo el segundo es raíz ( entera ) de $P(x)$, esto es, $r=1$; por consiguiente el polinomio $x-1$ divide a $P(x)$; con lo cual, efectuando la división $P(x) \div (x-1)$ vemos que el polinomio cociente es $x^3+x^2+1$. Así, podemos escribir $P(x)$ como el producto $(x-1)(x^3+x^2+1)$. Veamos si $Q(x):=x^3+x^2+1$ tiene alguna otra raíz entera, pues de tenerla, también lo sería de $P(x)$; las únicos números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son, otra vez, $\pm 1$, pero ninguna de ellas lo es, pues $Q(1) \neq 0$ y $Q(-1) \neq 0$, como se puede comprobar fácilmente. Así pues, ya hemos dado respuesta a la primera pregunta: la única solución entera de la ecuación pedida es $x=1$.
Veamos, ahora, si hay alguna otra raíz no-entera. Es evidente que, de haberla, tampoco puede ser racional y no-entera, pues el coeficiente del término de mayor grado de $P(x)$ es $1$, luego con la raíz encontrada antes, $r=1$, hemos encontrado todas las posibles raíces racionales. Si hay otras raíces sólo pueden ser irracionales. Examinemos esto más a fondo. La regla de los signos de Descartes nos dice que $Q(x)=x^3+x^2+1$ no puede tener ninguna raíz positiva, pues en número de variaciones de signo en la secuencia de coeficientes $(1,1,0,1)$ es cero; ahora bien, como $Q(-x)=-x^3+x^2+1$, nos dice también dicha regla que, habiendo una variación de signo en los coeficientes de $Q(-x)$ ( es decir en la secuencia $(-1,1,0,1)$ dicho polinomio ha de tener una raíz negativa. Así que, por lo dicho antes, ésta ha de ser forzosamente un número irracional, con lo que damos respuesta a la segunda pregunta.
Nota: No se nos ha pedido su valor, sólo se nos ha pedido que se razonemos acerca de si existe o no; para hallar su valor, deberíamos utilizar la fórmula de resolución por radicales de un polinomio de grado tres ( que es complicada y no la estudiamos en este curso ) o bien recurrir a un método aproximado lo cual incluye la posibilidad de 'visualizar' dicha raíz con ayuda de un gráfico, lo cual sí es apropiado para este curso. La siguiente figura ( obtenida empleando el programa GeoGebra ) ilustra la gráfica de $Q(x)$ y la raíz irracional de la que estamos hablando y cuyo valor aproximado es $-1,47$.
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