lunes, 11 de abril de 2016
lunes, 4 de abril de 2016
Hallar la función derivada ...
ENUNCIADO. Calcular la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
b) $g(x)=x\,\ln\,x$
c) $h(x)=\sqrt[4]{x^5}+2x^3+6$
d) $l(x)=(2x-5)^3$
e) $m(x)=\dfrac{x+1}{x}$
SOLUCIÓN.
a)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funciones, $$f'(x)=\dfrac{(e^x)'\,x-(x)'\,e^x}{x^2}$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función exponencial y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,x-1\cdot e^x}{x^2}$$ y simplificando, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,(x-1)}{x^2}$$
b)
Aplicando la regla de derivación del producto de funciones, $$f'(x)=(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función logarítmica ( de base $e$ ) y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=1\cdot \ln\,x+x\cdot \dfrac{1}{x}$$ y simplificando, $$f'(x)=\ln\,x+1$$
c)
Podemos expresar el primer término de la forma $x^{\frac{5}{4}}$, con lo cual, la función propuesta podemos expresarla de forma más conveniente para empezar a derivarla: $$h(x)=x^{5/4}+2x^3+6$$ Aplicando, ahora, la regla de derivación de las funciones potenciales ( con base $x$ y exponente un número real ), término a término, y sumando las derivadas resultantes ( regla básica de la derivada de una suma ),
$h'(x)=9(x^{5/4})'+2\,(x^3)'+(6)'=\dfrac{5}{4}\,x^{5/4-1}+2\cdot 3\,x^2+0=\dfrac{5}{4}\,x^{1/4}+6\,x=$
$=\dfrac{5}{4}\,\sqrt[4]{x}+6\,x$
d)
Aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales y la regla de la cadena, $$l'(x)=3\,(2x-5)^{3-1}\,(2x-5)'=3\,(2x-5)^2\cdot 2= 6\,(2x-5)^2$$
e)
Podemos expresar la función propuesta de forma que facilite su derivación, así: $$m(x)=\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}=1+x^{-1}$$ Entonces, aplicando la regla de la derivada de una suma de funciones, y la de la función potencial, $$m'(x)=(1)'+(x^{-1})'=0+(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$$
$\square$
a) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
b) $g(x)=x\,\ln\,x$
c) $h(x)=\sqrt[4]{x^5}+2x^3+6$
d) $l(x)=(2x-5)^3$
e) $m(x)=\dfrac{x+1}{x}$
SOLUCIÓN.
a)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funciones, $$f'(x)=\dfrac{(e^x)'\,x-(x)'\,e^x}{x^2}$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función exponencial y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,x-1\cdot e^x}{x^2}$$ y simplificando, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,(x-1)}{x^2}$$
b)
Aplicando la regla de derivación del producto de funciones, $$f'(x)=(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función logarítmica ( de base $e$ ) y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=1\cdot \ln\,x+x\cdot \dfrac{1}{x}$$ y simplificando, $$f'(x)=\ln\,x+1$$
c)
Podemos expresar el primer término de la forma $x^{\frac{5}{4}}$, con lo cual, la función propuesta podemos expresarla de forma más conveniente para empezar a derivarla: $$h(x)=x^{5/4}+2x^3+6$$ Aplicando, ahora, la regla de derivación de las funciones potenciales ( con base $x$ y exponente un número real ), término a término, y sumando las derivadas resultantes ( regla básica de la derivada de una suma ),
$h'(x)=9(x^{5/4})'+2\,(x^3)'+(6)'=\dfrac{5}{4}\,x^{5/4-1}+2\cdot 3\,x^2+0=\dfrac{5}{4}\,x^{1/4}+6\,x=$
$=\dfrac{5}{4}\,\sqrt[4]{x}+6\,x$
d)
Aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales y la regla de la cadena, $$l'(x)=3\,(2x-5)^{3-1}\,(2x-5)'=3\,(2x-5)^2\cdot 2= 6\,(2x-5)^2$$
e)
Podemos expresar la función propuesta de forma que facilite su derivación, así: $$m(x)=\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}=1+x^{-1}$$ Entonces, aplicando la regla de la derivada de una suma de funciones, y la de la función potencial, $$m'(x)=(1)'+(x^{-1})'=0+(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$$
$\square$
Hallar la recta tangente a la gráfica de una función en el punto ...
ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=-x^2+3$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=-1$. Finalmente, representar la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente pedida en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN. Procediendo de forma análoga a la de [ este otro ejercicio ], se obtiene el siguiente resultado. $$\text{r.t. en P}:\,y=2\,x+4$$
y esta es la gráfica pedida:
$\square$
SOLUCIÓN. Procediendo de forma análoga a la de [ este otro ejercicio ], se obtiene el siguiente resultado. $$\text{r.t. en P}:\,y=2\,x+4$$
y esta es la gráfica pedida:
$\square$
Hallar las rectas asíntotas de la función ...
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=\dfrac{3x^2}{4x+1}$. Se pide:
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a éste otro ( que ya está resuelto y comentado ). Las soluciones ( que el lector debería comprobar ) vienen resumidas a continuación:
$\square$
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a éste otro ( que ya está resuelto y comentado ). Las soluciones ( que el lector debería comprobar ) vienen resumidas a continuación:
$\square$
Operar mediante la composición de funciones ... Calcular las funciones recíprocas ...
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ y $g(x)=\sqrt{x}$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$ por ser $f$ una función polinómica
b) $\text{Dom}\,g(x)=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pues $-1$ anula el denominador de la función ( y no el numerador ), por lo que se tiene una división por $0$, y, por tanto, $-1$ no tiene imagen
c) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$
d) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x+1})=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$
e) La función $f$ es inyectiva y biyectiva, la función recíproca $f^{-1}$ existe. Veamos cuál es. Escribiendo la función directa $y=f(x)$, $y=\dfrac{1}{x+1}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $e=\dfrac{1}{y+1}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=\dfrac{1-x}{x}$, luego $f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{x}$
f) La función $g$ es inyectiva ( se sobrentiende que $\sqrt{x} \equiv \left|\sqrt{x}\right|$ ) y biyectiva, la función recíproca $g^{-1}$ existe. Veamos cuál es.Escribiendo la función directa $y=g(x)$, $y=\sqrt{x}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $x=\sqrt{y}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=x^2$, luego $g^{-1}(x)=x^2$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, ya que $0$ anula el denominador de $f^{-1}(x)$ y no el numerador, lo que causa una división por cero, y, por tanto no existe la imagen de $0$ por $f^{-1}$
h) g) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$ por ser $f$ una función polinómica
b) $\text{Dom}\,g(x)=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pues $-1$ anula el denominador de la función ( y no el numerador ), por lo que se tiene una división por $0$, y, por tanto, $-1$ no tiene imagen
c) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$
d) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x+1})=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$
e) La función $f$ es inyectiva y biyectiva, la función recíproca $f^{-1}$ existe. Veamos cuál es. Escribiendo la función directa $y=f(x)$, $y=\dfrac{1}{x+1}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $e=\dfrac{1}{y+1}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=\dfrac{1-x}{x}$, luego $f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{x}$
f) La función $g$ es inyectiva ( se sobrentiende que $\sqrt{x} \equiv \left|\sqrt{x}\right|$ ) y biyectiva, la función recíproca $g^{-1}$ existe. Veamos cuál es.Escribiendo la función directa $y=g(x)$, $y=\sqrt{x}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $x=\sqrt{y}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=x^2$, luego $g^{-1}(x)=x^2$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, ya que $0$ anula el denominador de $f^{-1}(x)$ y no el numerador, lo que causa una división por cero, y, por tanto no existe la imagen de $0$ por $f^{-1}$
h) g) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
Hallar la función de interpolación lineal que pasa por los puntos ...
ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación lineal que pasa por los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$. ¿ Cuál es la imagen de $0$ según dicha función ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,1]$ ) ? ¿ Cuál es la imagen de $1,4$ ( extrapolación a la derecha de $x=1$ ) ?.
SOLUCIÓN.
a)
La función de interpolación lineal es $f(x)=m\,x+k$, pues su gráfica es una recta; siendo $m$ la pendiente, y $k$ la ordenada en el origen de la misma. Para encontrar el valor de estos coeficientes, impondremos que los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$ estén en dicha recta, por lo cual deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}(-2)\cdot m &+& k&=&1\\1\cdot m &+& k&=& 3\end{matrix}\right.$$ que podemos resolver fácilmente sin más que restar la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, obteniendo la ecuación equivalente $$3m=2$$ de la cual deducimos que $m=\dfrac{2}{3}$. Sustituyendo dicho valor en cualquier de las dos ecuaciones originales, encontramos el valor de $k$, que resulta ser $k=\dfrac{7}{3}$. Así, la ecuación pedida es $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$
b)
La imagen de $x=0$ es $f(0)=\dfrac{2}{3} \cdot 0+\dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3}$
c)
La imagen de $x=1,4=\dfrac{7}{5}$ es $f(\frac{7}{5})=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{5}+\dfrac{7}{3} = \dfrac{49}{15}$
$\square$
SOLUCIÓN.
a)
La función de interpolación lineal es $f(x)=m\,x+k$, pues su gráfica es una recta; siendo $m$ la pendiente, y $k$ la ordenada en el origen de la misma. Para encontrar el valor de estos coeficientes, impondremos que los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$ estén en dicha recta, por lo cual deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}(-2)\cdot m &+& k&=&1\\1\cdot m &+& k&=& 3\end{matrix}\right.$$ que podemos resolver fácilmente sin más que restar la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, obteniendo la ecuación equivalente $$3m=2$$ de la cual deducimos que $m=\dfrac{2}{3}$. Sustituyendo dicho valor en cualquier de las dos ecuaciones originales, encontramos el valor de $k$, que resulta ser $k=\dfrac{7}{3}$. Así, la ecuación pedida es $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$
b)
La imagen de $x=0$ es $f(0)=\dfrac{2}{3} \cdot 0+\dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3}$
c)
La imagen de $x=1,4=\dfrac{7}{5}$ es $f(\frac{7}{5})=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{5}+\dfrac{7}{3} = \dfrac{49}{15}$
$\square$
Hallar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos ...
ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos: $A(-2,0)$, $B(0,1)$ y $C(3,0)$. Según dicha función, ¿ qué ordenada le corresponde a un punto, $D$, de abscisa $1$ ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,3]$ ) ? ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto $E$ de abscisa $3,1$ ( extrapolación a la derecha de $x=3$ ) ?
SOLUCIÓN. La función de interpolación cuadrática ( polinomio de segundo grado ) es $f(x)=a\,zx^2+b\,x+c$. Procedemos a calcular el valor de los coeficientes, teniendo en cuenta que las coordenadas de cada uno de los puntos dados ha de satisfacer la ecuación $y=f(x)$. Así,
$$\left\{\begin{matrix} (-2)^2\cdot a&+&(-2)\cdot b&+&c&=&0 \\ 0^2 \cdot a&+&0\cdot b&+&c&=&1 \\ 3^2 \cdot a&+& 3 \cdot b&+&c&=&0 \end{matrix}\right.$$
De la segunda ecuación, vemos que $c=1$; sustituyendo este valor en las otras dos ecuaciones, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 4\, a&-&2\, b&=&-1 \\ 9\, a&+&3\, b&=&-1 \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $3$ los dos miembros de la primera ecuación, y por $2$ los de la segunda, podemos escribir el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 12\, a&-&6\, b&=&-3 \\ 18\, a&+&6\, b&=&-2 \end{matrix}\right.$$ sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, encontramos la siguiente ecuación equivalente $$30\,a=-5$$ de donde $a=-\dfrac{1}{6}$. Y sustituyendo en la primera ecuación, encontramos el valor de $b$, que es $b=\dfrac{1}{6}$. Con lo cual, la función pedida es $$f(x)=-\dfrac{1}{6}\,x^2+\dfrac{1}{6}\,x+1$$
Ya podemos calcular, ahora, las imágenes pedidas. Podemos comprobar ( sustituyendo $x$ por cada valor en la expresión de la función ) que la imagen de $1$ es $f(1)=1$, y la imagen de $3,1$ es $f(3,1)=-0,085$
$\square$
SOLUCIÓN. La función de interpolación cuadrática ( polinomio de segundo grado ) es $f(x)=a\,zx^2+b\,x+c$. Procedemos a calcular el valor de los coeficientes, teniendo en cuenta que las coordenadas de cada uno de los puntos dados ha de satisfacer la ecuación $y=f(x)$. Así,
$$\left\{\begin{matrix} (-2)^2\cdot a&+&(-2)\cdot b&+&c&=&0 \\ 0^2 \cdot a&+&0\cdot b&+&c&=&1 \\ 3^2 \cdot a&+& 3 \cdot b&+&c&=&0 \end{matrix}\right.$$
De la segunda ecuación, vemos que $c=1$; sustituyendo este valor en las otras dos ecuaciones, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 4\, a&-&2\, b&=&-1 \\ 9\, a&+&3\, b&=&-1 \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $3$ los dos miembros de la primera ecuación, y por $2$ los de la segunda, podemos escribir el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 12\, a&-&6\, b&=&-3 \\ 18\, a&+&6\, b&=&-2 \end{matrix}\right.$$ sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, encontramos la siguiente ecuación equivalente $$30\,a=-5$$ de donde $a=-\dfrac{1}{6}$. Y sustituyendo en la primera ecuación, encontramos el valor de $b$, que es $b=\dfrac{1}{6}$. Con lo cual, la función pedida es $$f(x)=-\dfrac{1}{6}\,x^2+\dfrac{1}{6}\,x+1$$
Ya podemos calcular, ahora, las imágenes pedidas. Podemos comprobar ( sustituyendo $x$ por cada valor en la expresión de la función ) que la imagen de $1$ es $f(1)=1$, y la imagen de $3,1$ es $f(3,1)=-0,085$
$\square$
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