P1. $V(X)\ge 0$
P2. $V(X+b)=V(X)$, siendo $b \in \mathbb{R}$
P3. $V(a\,X+b)=a^2\cdot V(X)$, siendo $a \in \mathbb{R}$
P4. $V(b)=0$, siendo $b \in \mathbb{R}$ ( es consecuencia de P3. )
P5. Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias independientes, $V(X + Y)= V(X)+V(Y)$
lunes, 30 de mayo de 2016
Distribuciones de probabilidad. Propiedades de la esperanza matemática
P1. $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$
P2. $E[k · X] = k · E[X]$, siendo $k \in \mathbb{R}$
P3. $E(k) = k$, siendo $k \in \mathbb{R}$.
P4. $E[a · X + b] = a · E[X] + b$, siendo $a,b \in \mathbb{R}$
P5. $E[X \cdot Y ]= E[X] \cdot E[Y]$ si y sólo si $X$ e $Y$ son variables aleatorias independientes
P2. $E[k · X] = k · E[X]$, siendo $k \in \mathbb{R}$
P3. $E(k) = k$, siendo $k \in \mathbb{R}$.
P4. $E[a · X + b] = a · E[X] + b$, siendo $a,b \in \mathbb{R}$
P5. $E[X \cdot Y ]= E[X] \cdot E[Y]$ si y sólo si $X$ e $Y$ son variables aleatorias independientes
Distribuciones de probabilidad discretas
ENUNCIADO. Sea la distribución de probabilidad de una variable discreta $X$ dada por la siguiente tabla:
$\begin{matrix}x_i:&0&1&2&3&4 \\
p_i:&0,1&0,2&0,5&0,15&0,05
\end{matrix}$
Calcular:
a) la esperanza matemática
b) la varianza
c) la desviación estándar
SOLUCIÓN:
a)
$E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,x_i \cdot p_i=0\cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,15 + 4 \cdot 0,05=1,85$
b)
$V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,(x_i-E[X])^2\cdot p_i=0,9275$
c)
$DE[X]\overset{\text{def}}{=}\sqrt{V[X]}=\sqrt{0'9275}=0,9631$
$\square$
$\begin{matrix}x_i:&0&1&2&3&4 \\
p_i:&0,1&0,2&0,5&0,15&0,05
\end{matrix}$
Calcular:
a) la esperanza matemática
b) la varianza
c) la desviación estándar
SOLUCIÓN:
a)
$E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,x_i \cdot p_i=0\cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,15 + 4 \cdot 0,05=1,85$
b)
$V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,(x_i-E[X])^2\cdot p_i=0,9275$
c)
$DE[X]\overset{\text{def}}{=}\sqrt{V[X]}=\sqrt{0'9275}=0,9631$
$\square$
miércoles, 25 de mayo de 2016
Subiendo en el ascensor
ENUNCIADO.
Cuatro personas se montan en el ascensor de un edificio de diez plantas. El ascensor sube hasta la décima planta, realizando paradas intermedias. ¿ Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas se bajen en la misma planta ?
SOLUCIÓN.
Ante el desconocimiento de los destinos de planta de las cuatro personas, supondremos que las éstas se bajan al azar, y, además, que cada una de ellas decide la planta en la que baja de modo independiente a las decisiones de las demás. En estas condiciones, vamos a dar respuesta a las preguntas:
Sea $A$ el sucesos "al menos dos personas se bajan en la misma planta". Así, el suceso $\bar{A}$ representa el suceso contrario: "ninguna de las cuatro coinciden en la planta de destino". Calcularemos, primero, la probabilidad de $\bar{A}$ y, a partir de ésta, la probabilidad de $A$, aplicando la propiedad del contrario.
De entre las diez plantas, la primera persona que escojamos puede elegir planta de diez maneras; por lo tanto la segunda puede elegir la planta donde bajarse de entre $10-1$ ( de un total de $10$); la tercera, de $10-2$ ( de un total de $10$ ) y la cuarta de $10-3$ ( de un total de $10$ ). Así, $$P(\bar{A})=\dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{7}{10}=\dfrac{63}{125}$$
o lo que es lo mismo $$P(\bar{A})=\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$
Con lo cual, por la propiedad de la probabilidad del contrario, podemos escribir
$$P(A)=1-P(\bar{A})$$
es decir
$$P(A)=1-\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$
esto es
$$P(A)=1-\dfrac{63}{125}=\dfrac{62}{125} \approx 0,496$$
$\square$
Cuatro personas se montan en el ascensor de un edificio de diez plantas. El ascensor sube hasta la décima planta, realizando paradas intermedias. ¿ Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas se bajen en la misma planta ?
SOLUCIÓN.
Ante el desconocimiento de los destinos de planta de las cuatro personas, supondremos que las éstas se bajan al azar, y, además, que cada una de ellas decide la planta en la que baja de modo independiente a las decisiones de las demás. En estas condiciones, vamos a dar respuesta a las preguntas:
Sea $A$ el sucesos "al menos dos personas se bajan en la misma planta". Así, el suceso $\bar{A}$ representa el suceso contrario: "ninguna de las cuatro coinciden en la planta de destino". Calcularemos, primero, la probabilidad de $\bar{A}$ y, a partir de ésta, la probabilidad de $A$, aplicando la propiedad del contrario.
De entre las diez plantas, la primera persona que escojamos puede elegir planta de diez maneras; por lo tanto la segunda puede elegir la planta donde bajarse de entre $10-1$ ( de un total de $10$); la tercera, de $10-2$ ( de un total de $10$ ) y la cuarta de $10-3$ ( de un total de $10$ ). Así, $$P(\bar{A})=\dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{7}{10}=\dfrac{63}{125}$$
o lo que es lo mismo $$P(\bar{A})=\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$
Con lo cual, por la propiedad de la probabilidad del contrario, podemos escribir
$$P(A)=1-P(\bar{A})$$
es decir
$$P(A)=1-\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$
esto es
$$P(A)=1-\dfrac{63}{125}=\dfrac{62}{125} \approx 0,496$$
$\square$
Disparando cohetes de señales
ENUNCIADO. En una caja hay $10$ cohetes de señales, entre los cuales hay $5$ que son inservibles. Se eligen al azar $4$ de los cohetes de la caja. ¿ Cuál es la probabilidad de que los $4$ cohetes elegidos se puedan lanzar ? ¿ Y de que alguno de los cuatro cohetes se pueda lanzar ? ¿ Cuántos cohetes de los cuatro elegidos se espera que se puedan lanzar ?.
SOLUCIÓN. Sea $X$ la variable aleatoria "número de cohetes inservibles" ( cohetes que no pueden dispararse ) y que, por lo dicho en el enunciado, sigue una distribución hipergeométrica cuya función de cuantía ( de probabilidad ) es $$P\{X=k\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{k} \cdot \binom{10-5}{4-k}}{\binom{10}{4}}$$ donde $k \in \{0,1,2,3,4\}$. Entonces la probabilidad de que todos los cohetes se puedan lanzar es $$P\{X=0\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{0} \cdot \binom{10-5}{4-0}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$
La probabilidad de que ninguno se pueda lanzar es igual a $$P\{X=4\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{4} \cdot \binom{10-5}{4-4}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$ luego la probabilidad de que alguno de los cuatro ( al menos uno ) se pueda lanzar es igual a $$1-\dfrac{5}{210}=\dfrac{41}{42} \approx 98\,\%$$
La esperanza matemática ( número de cohetes que se espera que no funcionen ) es $$E[X]=4 \cdot \dfrac{5}{10}=2$$
$\square$
SOLUCIÓN. Sea $X$ la variable aleatoria "número de cohetes inservibles" ( cohetes que no pueden dispararse ) y que, por lo dicho en el enunciado, sigue una distribución hipergeométrica cuya función de cuantía ( de probabilidad ) es $$P\{X=k\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{k} \cdot \binom{10-5}{4-k}}{\binom{10}{4}}$$ donde $k \in \{0,1,2,3,4\}$. Entonces la probabilidad de que todos los cohetes se puedan lanzar es $$P\{X=0\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{0} \cdot \binom{10-5}{4-0}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$
La probabilidad de que ninguno se pueda lanzar es igual a $$P\{X=4\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{4} \cdot \binom{10-5}{4-4}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$ luego la probabilidad de que alguno de los cuatro ( al menos uno ) se pueda lanzar es igual a $$1-\dfrac{5}{210}=\dfrac{41}{42} \approx 98\,\%$$
La esperanza matemática ( número de cohetes que se espera que no funcionen ) es $$E[X]=4 \cdot \dfrac{5}{10}=2$$
$\square$
Eligiendo calcetines
ENUNCIADO. En un cajón hay cinco pares distintos ( cada uno de un color diferente ). Deshacemos los cinco pares y entremezclamos los diez calcetines. A continuación, elegimos dos calcetines al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que ambos formen pareja ?
SOLUCIÓN. Al sacar los dos calcetines, uno tras otro, podemos elegir el primer calcetín de entre un total de $2\cdot 5=10$ calcetines, y, para ello tenemos $10$ posibilidades. Con ello, habremos fijado el tipo de calcetín, en vistas a sacar el otro calcetín ( segundo que sacamos ) que forma pareja con el que hemos sacado primero, para lo cual sólo tendremos $1$ posibilidad entre un total de $10-1=9$ ( calcetines que quedan en el cajón ). Así, la probabilidad pedida es $\dfrac{10}{10}\cdot \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{9}$
Otra forma de resolverlo consiste en emplear el teorema de la Probabilidad Total. Denotemos por $C_1,C_2, \ldots \, C_5$ los colores de los cinco pares de calcetines. Al elegir el primer calcetín, fijamos el color: para que el segundo calcetín elegido sea la pareja del primero, debe ser del mismo color. Llamemos $X$ al suceso, elegir los dos calcetines del mismo color ( forman pareja ), entonces
$P(X)=P(X|C_1)\cdot P(C_1)+P(X|C_2)\cdot P(C_2)+P(X|C_3)\cdot P(C_3)+$
$+P(X|C_4)\cdot P(C_4)+P(X|C_5)\cdot P(C_5)=5\cdot ( \dfrac{1}{10-1} \cdot \dfrac{1}{5})=\dfrac{1}{9}$
$\square$
SOLUCIÓN. Al sacar los dos calcetines, uno tras otro, podemos elegir el primer calcetín de entre un total de $2\cdot 5=10$ calcetines, y, para ello tenemos $10$ posibilidades. Con ello, habremos fijado el tipo de calcetín, en vistas a sacar el otro calcetín ( segundo que sacamos ) que forma pareja con el que hemos sacado primero, para lo cual sólo tendremos $1$ posibilidad entre un total de $10-1=9$ ( calcetines que quedan en el cajón ). Así, la probabilidad pedida es $\dfrac{10}{10}\cdot \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{9}$
Otra forma de resolverlo consiste en emplear el teorema de la Probabilidad Total. Denotemos por $C_1,C_2, \ldots \, C_5$ los colores de los cinco pares de calcetines. Al elegir el primer calcetín, fijamos el color: para que el segundo calcetín elegido sea la pareja del primero, debe ser del mismo color. Llamemos $X$ al suceso, elegir los dos calcetines del mismo color ( forman pareja ), entonces
$P(X)=P(X|C_1)\cdot P(C_1)+P(X|C_2)\cdot P(C_2)+P(X|C_3)\cdot P(C_3)+$
$+P(X|C_4)\cdot P(C_4)+P(X|C_5)\cdot P(C_5)=5\cdot ( \dfrac{1}{10-1} \cdot \dfrac{1}{5})=\dfrac{1}{9}$
$\square$
martes, 24 de mayo de 2016
Lanzando dos dados. Probabilidades de los valores de la suma de las puntuaciones.
ENUNCIADO. Se lanzan dos dados de parchís y se suman las puntuaciones obtenidas en cada uno de ellos. ¿ Cuál es la probabilidad de que el valor de la suma sea menor o igual que $6$ ?
SOLUCIÓN. La siguiente tabla de doble entrada muestra, en cada una de las celdas, los posibles resultados de la suma ( conjunto de sucesos elementales de la experiencia aleatoria ), así como el número de veces que aparece cada valor. En letra negrita se han señalado los valores de la suma pedidos.
Aplicando pues la regla de Laplace ( los resultados de todas las celdas de la tabla son igualmente probables ), $P(\text{'obtener un valor de la suma menor o igual que seis"})=\dfrac{5+4+3+2+1}{6 \cdot 6}=$
$=\dfrac{5}{12}\approx 42\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN. La siguiente tabla de doble entrada muestra, en cada una de las celdas, los posibles resultados de la suma ( conjunto de sucesos elementales de la experiencia aleatoria ), así como el número de veces que aparece cada valor. En letra negrita se han señalado los valores de la suma pedidos.
Aplicando pues la regla de Laplace ( los resultados de todas las celdas de la tabla son igualmente probables ), $P(\text{'obtener un valor de la suma menor o igual que seis"})=\dfrac{5+4+3+2+1}{6 \cdot 6}=$
$=\dfrac{5}{12}\approx 42\,\%$
$\square$
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