Taxa de variació

Donada una determinada variable estadística X que conté valors d'una sèrie temporal discrets, entenem per taxa de variació d'aquesta, una quantitat adimensional, una altra variable, els valors de la qual estan referits a un determinat valor de la variable X, que es prendrà com a base.

Així, podem definir la taxa de variació de la forma:
d_n=(x_n-x₀)/x₀     (n=0,1,2,...)

Una taxa de variació pot servir, per tant, per expressar la variació en el temps d'una magnitud, amb la finalitat de fer estudis de tipus estadístic o bé models d'evolució discrets. És habitual expressar els valors de la taxa en tant per cent, però també en tant per unitat o en la proporció adequada (tant per deu, tant per mil, ...).

A l'exemple que us comento a continuació, podeu veure una taula on s'expressa l'evolució dels preus de la gasolina des l'any 1977; el preu d'aquest any (37 unitats monetàries, de les antigues pessetes) es el valor que prendrem com a valor de referència. A l'última columna podem llegir els resultats del càlcul dels valors de l'índex anual que mostra l'evolució del preu d'aquest producte així com la manera de calcular-ho amb l'ajut d'un full de càlcul.

Suposem, ara, per tal d'ensenyar l'ús pràctic d'aquesta taxa, que no disposem de les dades dels preus de la gasolina (columna de color groc), llevat del preu de la mateixa l'any 1977 (37 unitats). Ens podríem plantejar la següent qüestió. Quin preu p correspon a l'any 1979 ?

Respondrem a la pregunta tenint en compte la definició donada més amunt. Com que el valor de la variació d'aquest per a l'any 1979 és de 0,2432 (en tant per u), podrem plantejar aquesta senzilla equació:

0,2432 = (p-37)/37
D'aquí, trobem fàcilment que p = 46 (arrodonint a la xifra de les unitats)

[nota del autor]

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con MAXIMA ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Resolver las siguientes ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resoleu el sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} x + y = 1\\ \\ \log{x} + \log{y} = \log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}\\ \end{matrix}\right\}$

Per les propietats dels logaritmes, la segona equació es pot posar de la forma

$\log{(x\,y)}=\log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}$

és a dir

$x\,y = \dfrac{1}{100}$

Llavors, aïllant una de les dues variables (per exemple $y$) queda

$y = \dfrac{1}{100\,x}$

que, substituïda a la primera equació, ens permet escriure una equació amb una sola variable

$x+\dfrac{1}{100 \, x}=1$

equivalent a

$100\,x^2-100\,x+1=0$

d'on traiem que

$x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

i

$x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

valors aparellats amb els de la variable $y$ (substituint):

$y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

i

$y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

Per tant, trobem dues solucions

a) $x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

b) $x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
        $3^x=7$

Extraient logaritmes de cada membre de la igualtat

$\ln{\big(3^x\big)}=\ln{7}$

d'on, per les propietats dels logaritmes, queda

$x\, \ln{3}=\ln{7}$

i, aïllant la variable, podrem escriure

$x=\dfrac{\ln{7}}{\ln{3}} \approx 1,7712 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Resoleu l'equació
        $2^{x^2+5x+8}=4$

Podem expressar el terme independent del segon membre com una potència de de base dos

$2^{x^2+5x+8}=2^2$

d'on es desprèn que els exponents de tots dos membres han de ser iguals (les bases són les mateixes)

$x^2+5x+8=2$

equació que, tota vegada l'hem preparat per ser resolta, queda de la forma

$x^2+5x+6=0$

i dóna els següents resultats

$x=\left\{\begin{matrix} -2\\ \\ -3\\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]

Alicia lanza una moneda ...

ENUNCIADO
Alicia lanza una moneda; y, de manera independiente, Bernardo lanza dos monedas. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos coincidan en el número de caras que obtienen ?.

SOLUCIÓN:

Debemos considerar los siguientes sucesos en relación al experimento aleatorio de Alicia:
$A_0$: "Alicia obtiene 0 caras" $P(A_0)=\dfrac{1}{2}$
$A_1$: "Alicia obtiene 1 cara" $P(A_1)=\dfrac{1}{2}$
$A_2$: "Alicia obtiene 2 caras" $P(A_2)=0$ ( suceso imposible )

Y en cuanto al experimento de Bernardo:
$B_0$: "Bernardo obtiene 0 cares" $P(B_0)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
$B_1$: "Bernardo obtiene 1 cara" $P(B_1)=2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$B_2$: "Bernardo obtiene 2 cares" $P(B_2)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

Con lo cual la probabilidad de que Alicia y Bernardo obtengan el mismo número de caras es igual a $P\left((A_0 \cap B_0) \cup (A_1 \cap B_1) \cup (A_2 \cap B_2)\right)$; y, como estos tres sucesos son incompatibles, dicha probabilidad es igual a $P(A_0 \cap B_0) + (A_1 \cap B_1) +(A_2 \cap B_2)$   (1). Y, desdes luego, $A_0$ y $B_0$ son independientes, como también lo son $A_1$ y $B_1$, y $A_2$ y $B_2$; por lo tanto, (1) es igual a $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+0\cdot \dfrac{1}{4}$
    $=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+0$
    $=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+0$
    $=\dfrac{3}{8}$

$\square$

[nota del autor]

Un grupo de 12 personas quieren alojarse en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un grup de 12 persones es volen allotjar en un refugi de muntanya. Hi han tres habitacions disponibles: a la primera hi han dos llits, a la segona quatre, i a la tercera sis. De quantes maneres es poden ordenar ?

Solució:
Pel principi multiplicatiu i tenint en compte que els llits són indistingibles i que per tant no importa l'ordre amb què les persones que van a una determinada habitació escullen els llits, tenim un total de
    $C_{12,2}\cdot C_{12-2,4}\cdot C_{12-(2+4),6} = 13860 \; \text{possibilitats}$

[nota del autor]

Calcular los siguientes límites ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu els següents límits:
    a) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\bigg)^{2n}$
    b) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3\,n^2+n-1}{(1-2\,n)^2}$
    c) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)$

  a)
Per les propietats dels límits podem comprovar que
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\bigg)^{2n}=\Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, 2n}$
d'on s'obté una indeterminació del tipus $1^{\infty}$

Aquest tipus d'indeterminacions es resolen fent ús de la propietat
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\Big(1+\dfrac{1}{f(n)}\Big)^{f(n)}=e$
Llavors, cal transformar (de manera equivalent) l'argument del límit per tal que adopti aquest esquema
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(\dfrac{5n+1}{5n}\bigg)^{2n}=\Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \, \bigg(1+\dfrac{1}{5n}\Bigg)^{5n}\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \frac{2}{5}}=e^{\frac{2}{5}}$
resultat que també es pot expressar de la forma
$\sqrt[5]{e^2}$
$\square$

  b)
En passar al límit trobem que
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3\,n^2+n-1}{(1-2\,n)^2}$
dóna una indeterminació del tipus
$\dfrac{\infty}{\infty}$

Aquest tipus d'indeterminacions es resolen dividint el numerador i el denominador per $n$ elevada a l'exponent més gran que figuri a l'expressió; fent-ho, obtenim
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3\,n^2+n-1}{(1-2\,n)^2}=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{3+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}$
I, ara, en tornar a passar al límit trobem

$\dfrac{3+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{4-\frac{4}{\infty}+\frac{1}{\infty}}$

que és igual a

$\dfrac{3}{4}$

$\square$

  b)
En passar al límit trobem que

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)$

dóna una indeterminació del tipus

$\infty-\infty$

Calculant uns quants valors de la successió ens adonem de seguida que els termes d'aquesta successió són negatius, que és monòtona decreixent, i que no està fitada

per tant
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)=-\infty$

Procediment alternatiu:

A mode de comprovació, el resoldrem d'una altra manera: desfent algèbricament la indeterminació. Les indeterminacions d'aquest tipus d'indeterminació, podem multiplicar i dividir per l'expressió conjugada

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{\big(\sqrt{n}-n\big)\cdot \big(\sqrt{n}+n\big)}{\sqrt{n}+n}=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{n-n^2}{\sqrt{n}+n}$

Si, ara, tornem a passar al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus
$\dfrac{\infty}{\infty}$
que, com és ben sabut, es pot resoldre dividint el numerador y el denominador per la potència de $n$ amb l'exponent més gran present a l'expressió: en aquest cas $n^2$

Fent això trobem

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big(\sqrt{n}-n\big)=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{\frac{1}{n}-1}{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\frac{1}{n}}=\dfrac{\frac{1}{\infty}-1}{\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty}}=-\dfrac{1}{0}=-\infty$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de correlación lineal ... (Artículo escrito en catalán)

Enunciat: [ lectura preliminar ]
  A la taula de sota, es mostren les qualificacions d'un grup de $20$ alumnes en dues assignatures afins (Matemàtiques i Física, per exemple), on $x$ i $y$ representen els valors de les corresponents v.e., i $f$ el nombre d'alumnes que han obtingut cada un dels parells de notes referits:

X	Y	f
$2$	$3$	$2$
$4$	$5$	$3$
$5$	$4$	$6$
$6$	$6$	$2$
$6$	$5$	$2$
$7$	$6$	$2$
$7$	$7$	$1$
$8$	$9$	$1$
$10$	$10$	$1$

Us demanem:

  a) el gràfic del núvol de punts

  b) el valor de la covariància $\sigma_{xy}$, i de les desviacions estàndard $\sigma_{x}$ i $\sigma_{y}$

  c) el valor del coeficient de correlació lineal (o de Pearson) $r$

  d) el grau de fiabilitat de la regressió lineal: $r^2$ (expressat en tant per cent)

  e.1) l'equació de la recta de regressió lineal de $Y$ sobre $X$

  e.2) si un alumne no ha pogut assistir a l'examen de l'assignatura $Y$, i té un $4$ a l'assignatura $X$, quant val la nota estimada $\hat{y}$ de $Y$ ?

  g.1) l'equació de la recta de regressió lineal de $X$ sobre $Y$

  g.2) si un alumne no ha pogut assistir a l'examen de l'assignatura $X$, i té un $5$ a l'assignatura $Y$, quant val la nota estimada $\hat{x}$ de $X$ ?

      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

Lectura preliminar:
Donat un conjunt de $N$ punts experimentals $\displaystyle \{P(x_i,y_i)\}_{i=1,\ldots,n}$, amb freqüències $\{f_i\}_{i=1,\dots\,n}$ i de tal manera que $N=\sum_{i=1}^{n}\,f_i$,
recordem que per fer l'estimació d'un valor $\hat{y}$ de $Y$, a partir d'un valor donat $x$ de $X$, fem ús del la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ que, en forma explícita, s'escriu
$y=a+b\,x$
on
$b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}$
i
$a=\bar{y}-b\,\bar{x}$

També se solt escriure la recta de regressió lineal de $Y$ sobre $X$ en la forma punt-pendent

$y-\bar{y}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}\,\big(x-\bar{x}\big)$

on la covariància de $X$ i $Y$ es defineix de la forma

$\displaystyle \sigma_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n} \,(x-\bar{x})\,(y-\bar{y})\,f_{i}$

i es demostra fàcilment que es pot calcular també de la forma

$\displaystyle \sigma_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n} x_{i}\,y_{i}\,f_{i}-\bar{x}\,\bar{y}$

amb

$N=\sum_{i=1}^{n}\,f_{i}$   (   $N$ és el nombre de punts experimentals)

Semblantment, per fer l'estimació d'un valor $\hat{x}$ de $X$, a partir d'un valor donat $y$ de $Y$, fem ús del la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ que, en forma explícita, s'escriu
$x=a^{'}+b^{'}\,y$
on
$b^{'} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^2}$
i
$a^{'}=\bar{x}-b^{'}\,\bar{y}$

recta que també se solt escriure en la forma punt-pendent

$x-\bar{x}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^2}\,\big(y-\bar{y}\big)$

El coeficient de correlació lineal (o de Pearson)

$r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\,\sigma_{y}}$

és tal que $-1 \le r \le 1$

informa del grau de validesa de la regressió lineal ( el model de regressió és òptim quan $\left|r\right|$ s'apropa a $1$ ) i, en els casos extrems:

• si $\left|r\right|=1$, la dependència entre les variables $X$ i $Y$ és funcional

• si $\left|r\right|=0$, les variables $X$ i $Y$ són independents

Propietats:

• La intersecció de les rectes de regressió (de $Y$ sobre $X$, i de $X$ sobre $Y$   ) és el punt de coordenades $G(\bar{x},\bar{y})$

• Es demostra que, si $r=0$, la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és igual a $y=\bar{y}$, i que la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ és igual a $x=\bar{x}$. Per tant, ambdues rectes són perpendiculars.

[nota del autor]