Ejemplo de aplicación de la regla de Hondt para repartir un cierto número de escaños en función de los votos que han obtenido las coaliciones en unas elecciones

[nota del autor]

Correspondencias y funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

És molt important entendre què és i què no és una funció. Una funció és un tipus de correspondència entre conjunts numèrics que es caracteritza pel fet que cada element del conjunt inicial té una sola imatge (li correspon un sol element del conjunt final). Per bé que totes les funcions es poden expressar mitjançant una relació algèbrica entre les variables, això no és exclusiu de les funcions. Podem posar molts exemples de correspondències entre conjunts numèrics que no són funció.

Així, per exemple, aquesta gràfica (una espiral) està lligada a una correspondència entre dos conjunts numèrics que donen valors a les variables $x$ i $y$, però no està associat a una funció atès que qualsevol valor de la variable independent, $x$, té múltiples imatges.$\square$

Ecuaciones con logaritmos. Ecuaciones con exponenciales ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Trobeu els valors de les variables que satisfan el següent sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} \log{x} + \log{y} = 2\\ \\ 3\,\log{x} - \log{y} = 1\\ \end{matrix}\right\}$

Sumant, membre a membre, els termes de les dues equacions obtenim

$4\,\log{x}=3$

per tant

$x=10^{\frac{3}{4}}$

Per altra banda, multiplicant per $-3$ ambdós membres de la segona equació i, sumant - membre a membre - els termes de l'equació resultant amb els de la primera

$-4 \,\log{y}=-6+1$

és a dir

$4\,\log{y}=5$

d'on

$y=10^{\frac{5}{4}}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
$\log_{2}{x}=\log_{3}{4}$

Expressant els logaritmes en base comuna (canvi de base logarítmica)

$\frac{\ln{x}}{\ln{2}}=\frac{\ln{4}}{\ln{3}}$

per tant

$\ln{x}=\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}$

i, desfent el logaritme, trobem

$x=e^{\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}} \approx 2,3980 \; \; \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Trobeu els valors reals de $x$ que compleixen la igualtat

$2^{x^4+5x^2-36}=1$

El segon membre es pot posar de la forma $2^0$ i, per tant,

$2^{x^4+5x^2-36}=2^0$

Com que les bases de les potències de tots dos membres són iguals, els exponents també ho hauran de ser

$x^4+5x^2-36=0$

equació biquadrada que, fent el canvi de variable $x^2=t$, es transforma en una equació de 2n grau

$t^2+5t-36=0$

que té dos valors com a solució

$t_1=4$ i $t_2=-9$

i desfent, ara, el canvi de variable

obtenim dues solucions reals per a $x$ que venen de $t_1=4$

$x_1=2$ i $x_2=-2$

Observació: les dues solucions que provenen del valor negatiu $t$, $t=-9$ , són nombres complexos: $x_3=3\,i$ i $x_4=-3\,i$, però, d'acord amb el requeriment de l'enunciat - les solucions han de ser nombres reals -, els hem de negligir.

$\square$

[nota del autor]

Correlación entre dos variables. Tablas de doble entrada ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT
Per als 100 alumnes de primer cicle d'ESO d'un institut s'ha fet un estudi de les qualificacions de matemàtiques i de llengua. Les dades se'ns han donat així:
Superen les dues matèries: 64
No han superat les matemàtiques: 30
No han superat la llengua: 27
Creieu que les dades són coherents? Hi ha molta relació entre les notes de les dues àrees ?

SOLUCIÓ

Observant la taula, que omplim seguint l'ordre codificat en color a partir de les dades de l'enunciat, veiem que sí que hi ha coherència amb les dades (els totals parcials sumen el conjunt de 100 alumnes) i que hi ha molta relació entre les notes de les dues matèries perquè el nombre d'alumnes que suspenen/aproven una de les dues és proper al nombre d'alumnes que suspenen/aproven l'altra.

Observació:
És remarcable el fet que amb poques operacions aritmètiques (restes i sumes) podem posar en clar una correlació entre dues variables estadístiques. Les taules de doble entrada constitueixen una senzilla però eficaç eina a l'hora d'investigar possibles relacions.

$\square$

[nota del autor]

Números índice ... ( Articulo escrito en catalán )

L'índex de preus al consum és una variable macroeconòmica adimensional, com tots els nombres índex, i ve referit a una base de 100; per això és dóna en tant per cent, tot i que, naturalment es pot expressar en tant per u. L'IPC recull i compara els preus d'un conjunt de productes, béns i serveis al llarg del temps. Aquest índex s'obté per procediments estadístics a partir del mostreig de la població i, la seva anàlisi, permet diagnosticar una situació inflacionària o deflacionària. Per altra banda, el valor de l'índex en un determinat moment serveix per actualitzar el valor de les rendes i controlar els preus del béns de primera necessitat. L'estudi de l'IPC anual, i la publicació dels resultats per part del Instituto Nacional de Estadística es produeix durant el mes d'octubre. El següent exercici de càlcul mostra les nocions elementals de com es fan les ponderacions segons els diversos sectors de productes de consum, bén i serveis. Les ponderacions no corresponen a les que es fan servir actualment i les dades, tot i que es refereixen a anys anterior, no estan del tot contrastades. L'exercici s'ha d'entendre, per tant, com una simple tasca didàctica, pràcticament, una simulació: Observent les indicacions de la figura, També podeu veure com es calcula l'IPC de l'any en curs, a partir de l'increment anual dels seus component. L'última columna és especialment important perquè reflecteix la taxa de variació de l'IPC, en tant per cent (enguany, novembre de 2007, ha estat de 3,6%). Aquesta taxa de variació és molt útil a l'hora de calcular la revalorització dels productes de serveis i rendes, els preus de lloguer de la vivenda, etcètera. d'un mes d'un determinat any, al mateix mes del següent. Fa poc que l'INE va publicar l'informe sobre l'IPC anual (14 de novembre): la variació general de l'índex de preus al consum, prenent com a base l'índex de 2006 és de 3,6%. Aquesta informació serveix, entre altres coses, per fer càlculs de revalorització de rendes i preus. Considerem, per exemple, que el mes d'octubre de 2006 el valor d'una renda era de 600 € al mes. Quin serà el valor de la renda actualitzada l'octubre de 2007 ? font: Instituto Nacional de Estadística Primer que tot cal fer remarca que, ens interessa saber la variació anual de l'índex (+3,6%). Expressant la variació en tant per u, tenim que, d'acord amb el significat de la taxa de variació anual del nombre índex: Valor actualitzat de la renda = Valor inicial de la renda. (1 + taxa de variació anual de l'índex)     (entre els mateixos mesos) Així tenim que valor actualitzat de la renda = 600.(1+0,036) = 621,60 € O, si es vol, també es pot plantejar segons la mateixa definició de taxa de variació: 0,036 = (renda actualizada - 600)/600 D'aquí, trobem igualment que x = 621,60 € Val a dir que també podem calcular el varlor actualitzat si fem servir els nombres índex (cal disposar d'unes taules amb els valors dels índexs) enlloc de les taxes de variació d'aquests: Valor actualitzat de la renda = Valor inicial de la renda x (índex del mateix mes de 2007)/(índex d'un mes donat de 2006) Això és així per la següent raó: El valor de la taxa de variació en un interval dn es defineix de la forma dn=(xn-x0)/x0     (n=0,1,2,...) i, per tant, xn=x0(dn+1)     (1) per al pas n+1 tindrem xn+1=x0(dn+1+1)     (2) Ara bé, dn+1 no és més que el valor de l'índex en el pas n: in Per tant, (1) i (2) es poden reescriure així: xn=x0 in     (3) xn+1=x0 in+1     (4) Dividint (4) entre (3), membre a membre, obtenim: xn+1/xn = in+1/in I, d'aquí, xn+1 = xn. (in+1/in)

[nota del autor]

Taxa de variació

Donada una determinada variable estadística X que conté valors d'una sèrie temporal discrets, entenem per taxa de variació d'aquesta, una quantitat adimensional, una altra variable, els valors de la qual estan referits a un determinat valor de la variable X, que es prendrà com a base.

Així, podem definir la taxa de variació de la forma:
d_n=(x_n-x₀)/x₀     (n=0,1,2,...)

Una taxa de variació pot servir, per tant, per expressar la variació en el temps d'una magnitud, amb la finalitat de fer estudis de tipus estadístic o bé models d'evolució discrets. És habitual expressar els valors de la taxa en tant per cent, però també en tant per unitat o en la proporció adequada (tant per deu, tant per mil, ...).

A l'exemple que us comento a continuació, podeu veure una taula on s'expressa l'evolució dels preus de la gasolina des l'any 1977; el preu d'aquest any (37 unitats monetàries, de les antigues pessetes) es el valor que prendrem com a valor de referència. A l'última columna podem llegir els resultats del càlcul dels valors de l'índex anual que mostra l'evolució del preu d'aquest producte així com la manera de calcular-ho amb l'ajut d'un full de càlcul.

Suposem, ara, per tal d'ensenyar l'ús pràctic d'aquesta taxa, que no disposem de les dades dels preus de la gasolina (columna de color groc), llevat del preu de la mateixa l'any 1977 (37 unitats). Ens podríem plantejar la següent qüestió. Quin preu p correspon a l'any 1979 ?

Respondrem a la pregunta tenint en compte la definició donada més amunt. Com que el valor de la variació d'aquest per a l'any 1979 és de 0,2432 (en tant per u), podrem plantejar aquesta senzilla equació:

0,2432 = (p-37)/37
D'aquí, trobem fàcilment que p = 46 (arrodonint a la xifra de les unitats)

[nota del autor]

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con MAXIMA ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]