En este ejemplo de representación gráfica (mediante diagramas de sectores) ([1], p. 22) se puede apreciar la claridad, rapidez y precisión a la hora de hacer una primera presentación de un informe financiero.
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[1] Revista Oxfam-Intermón, núm. 51, diciembre de 2022.
En este artículo expongo la resolución de un problema que consiste en resolver una sencilla ecuación con coeficientes enteros cuyas solución debe estar en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica) y que, en este caso en particular, han de ser números enteros no negativos. Y dice así:
Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.
Escribo primero la ecuación pertinente, de acuerdo con la información del enunciado: $$2x+y=12$$ Desde luego, habrá la solución de dicha ecuación estará formada por más de una pareja de números enteros no negativos — como valores de las variables (incógnitas)—, que denoto por $(x,y)$, y que, al sustituirlos en la ecuación, cumplirán la igualdad numérica entre los dos miembros de la misma, razón por la cual, esta ecuación hay que resolverla en el conjunto de los números naturales, con el añadido del número $0$. Podemos decir, por ello, que es una ecuación diofántica, si bien muy sencilla. Tendremos que contemplar tres casos, que debemos examinar:
En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $\{(4,4),(5,2),(6,0);(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$.
Aquí puedes ver otra manera de resolver el problema: empleando el método estándar de resolución de las ecuaciones diofánticas lineales (que se basa en el lema de Bézout)
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¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes, atendiendo únicamente al color de las bolas?
Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $tres$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de ordenaciones es $$\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$. $\diamond$
Consideremos una sucesón aritmético-geométrica tal como $a_k=k\,r^k$, siendo $r$ constante y $k=1,2,\ldots,n$ (donde $n\in \mathbb{N})$. Nos planteamos resolver la suma $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\,k\,r^k$$ Obtendremos un importante resultante, que es muy útil a la hora de calcular esperanzas matemáticas (valores esperados de una variable aleatoria) en distribuciones de probabilidad discretas.
Por comodidad en la notación, denotaremos por $S_n$ la suma pedida: $$S_n=r+2\,r^2+3\,r^3+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^n\quad \quad (1)$$ Multiplicando por $r$ sendos miembros de (1) podemos escribir $$r\,S_n=r^2+2r^3+3\,r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^{n+1}\quad \quad (2)$$ Restando miembro a miembro (2) de (1) se obtiene $$S_n-r\,S_n=(r+r^2+r^3+r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+r^n)-n\,r^{n+1}\quad \quad (3)$$ En el paréntesis del segundo miembro, reconocemos la suma de los $n$ primeros términos de una progresión (sucesión) geométrica de primer término $r$ y rázon (también) $r$, luego su suma —véase los artículos de este blog en los que se ha justificado la fórmula que usamos a continuación— es igual a $r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$; en cosecuencia, podemos expresar (3) de la forma $$S_n-r\,S_n=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (4)$$ Sacando factor común de $S_n$ en el primer miembro, $$S_n\,(1-r)=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (5)$$ Despejando $S_n$, se llega a $$\displaystyle S_n=\dfrac{r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}}{1-r}\quad \quad (5)$$ y arreglando un poco esta expresión, encontramos: $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(r-1)^2}\quad \quad (6)$$ que es equivalente a $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}\quad \quad (7)$$
Sea la sucesión aritmético-geométrica $2,8,24,64,\,\ldots$, donde $r=2$. Hagamos algunas comprobaciones sencillas:
Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (7) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}=\dfrac{r}{(1-r)^2}\quad \quad (8)$$
Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.
Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:
Sea la sucesión $3,4,6,10,18,34,\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Notemos que $a_3=1$, $d_1=1$ y $r=2$. Comprobemos (por ejemplo) el sexto término $a_6$:
Para $n=6$, debemos obtener $a_6=34$; en efecto, sustituyendo el valor del índice en (2): $a_6=3+1\cdot \dfrac{2^{6-1}-1}{2-1}=3+1\cdot \dfrac{2^{5}-1}{1}=3+1\cdot \dfrac{32-1}{1}=3+31=34$
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Los términos de una sucesión aritmético-geométrica están formados por productos de dos factores de los cuales uno de ellos sigue una sucesión aritmética y el otro sigue una sucesión geométrica; o bien por cocientes, los numeradores de los cuales siguen una sucesión aritmética o geométrica y los denominadores una sucesión geométrica (si los numeradores siguen una s. aritmética) o aritmética (si los numeradores siguen una s. geométrica). Vamos a exponer cómo encontramos el término general de una sucesión de este tipo.
Veamos un ejemplo Consideremos la sucesión $$1,\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ esto es $$\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ Observemos que los numeradores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que son los números impares consecutivos; por otra parte, los denominadores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$ (las potencias consecutivas de base $2$, empezando por el exponente $0$), por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.
Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$c_n=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}\, \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$
Comprobemos el resultado para los primeros términos:
Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$c_{11}=\frac{2\cdot 11-1}{2^{11-1}}=\dfrac{22-1}{2^{10}}=\dfrac{21}{1024}$$
Consideremos la sucesión $$1,6,20,56,144,\ldots$$ Puede comprobarse que dichos términos se puede escribir de la forma $$1\cdot 1, 3\cdot 2, 5\cdot 4,7 \cdot 8,9\cdot 16,\ldots$$ Observemos que los primeros factores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que, como en el primer ejemplo son los números impares consecutivos; por otra parte, los segundos factores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$, por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.
Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$d_n=a_{n}\cdot b_{n}=2^{n-1}\cdot (2n-1)\; \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$
Comprobemos el resultado para los primeros términos:
Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$d_{11}=a_{11}\cdot b_{11}=2^{11-1}\cdot (2\cdot 11-1)=2^{10}\cdot (22-1)=1024\cdot 21=21\,504$$ $\diamond$
Se considera la sucesión $a_n=a_1\cdot r_{n}$, donde $r_n=r_{1}\cdot r^{n-1}$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $r_1$ de la sucesión de las cantidades a multiplicar por el término precedente, $r_1,r_2,\ldots$, y de la razón, $r$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.
Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:
Sea la sucesión $1,2,8,64,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $r_1=2$ y $r=2$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=1\cdot 2^{n-1}\cdot 2^{(n-1)(n-2)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ esto es $$a_n=2^{((n-1)(n-2)+2(n-1))/2}=2^{(n-1)(n-2+2)/2}=2^{n(n-1)/2}\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:
Se considera la sucesión $a_n=a_1+d_{n}$, donde $d_n=d_1+(n-1)\,d$, con $n=1,2,3,\ldots$, conocidos como datos los valores del primer término $a_1$, del primer término $d_1$ de la sucesión de las cantidades a sumar al término precedente, $d_1,d_2,\ldots$, y de la diferencia, $d$, de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica de su término general?.
Los $n$ primeros (sucesivos) términos de la sucesión pedida son:
Nótese que la expresión obtenida es cuadrática en $n$; en efecto, desarrollándola algebraicamente se obtiene: $$a_n=\dfrac{d}{2}\,n^2+(d_1-\dfrac{3}{2}\,d)\,n+(a_1-d_1+d)\,,\,n=1,2,3,\ldots \quad \quad (3)$$
Sea la sucesión $1,2,4,7,11,16\,\ldots$, que responde al tipo tratado. Es fácil comprobar que $a_1=1$, $d_1=1$ y $d=1$. Entonces, sustituyendo estos datos en la expresión del término general (3), se llega a $$a_n=\dfrac{1}{2}\,n^2-\frac{1}{2}\,n+1\;,\;n=1,2,3,\ldots$$ Comprobemos los primeros términos:
Sabiendo de antemano que el término general de este tipo de sucesiones obedece a una expresión algebraica cuadrática en $n$, $a_n=An^2+Bn+C\,,\,n=1,2,3,\ldots$, también podemos optar por calcular los coeficientes $A,B$ y $C$ mediante una interpolación cuadrática, tal y como ya os he mostrado en otros artículos de este blog: bastará resolver el sistema de tres ecuaciones lineales que así se obtenga, cuyas incógnitas son precisamente los coeficientes a determinar, conocidos los valores de tres de los términos de dicha sucesión, que no tienen porque ser consecutivos. $\diamond$
Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:
$a_1$
$a_2=a_1\,r$
$a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
$a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
$\ldots$
$a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que el producto de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\sqrt{(a_1\,a_n)^n}$$
En efecto, en toda sucesión geométrica se cumple que
$a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots$
Escrbiendo el producto con los factores en orden directo e inverseo, y multiplicando miembro a miembro (1) y (2):
$$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_1\cdot a_2 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_n \quad \quad (1)$$
$$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=a_n\cdot a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdot \ldots \cdot a_{2}\cdot a_1 \quad \quad (2)$$
se tiene que $$(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i)^2=(a_1\cdot a_{n}) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1})\cdot \ldots \cdot (a_{a_n}\cdot a_1)=(a_{a_1}\cdot a_n)^{n/2} \Rightarrow \displaystyle \prod_{i=1}^{n}\,a_i=\left((a_1\cdot a_n)^{n}\right)^{1/2}=\sqrt{(a_{a_1}\cdot a_n)^{n}}$$
Nótese que, si el $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos factores cuyo producto es igual para todos ellos; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\sqrt{a_{(n+1)/2}\cdot a_{(n+1)/2}}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
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Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón $r$:
$a_1$
$a_2=a_1\,r$
$a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$
$a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$
$\ldots$
$a_n=a_{n-1}\,r=a_1\,r^{n-1}$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$$
En efecto,
$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=$
$=a_1+r\,a_1+r\,a_2+\ldots+r\,a_{n-1}$
$=a_1+r\,(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1})$
$=a_1+r\,(S_n-a_n)$
Así pues, $S_n=a_1+r\cdot(S_n-a_n)$, con lo cual $S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_n$ y como $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$, se tiene que
$S_n-r\cdot S_n=a_1-r\cdot a_1\cdot r^{n-1}$, esto es, $S_n\cdot (1-r)=a_1\cdot(1-r\cdot r^{n-1})=a_1\cdot(1-r^n)$, y despejando $S_n$, $$S_n=a_1\cdot \dfrac{1-r^n}{1-r}$$ que es lo mismo que $$S_n=a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} \quad \quad (1)$$ $\diamond$
Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (1) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1} =\dfrac{a_1}{1-r}\quad \quad (2)$$
Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión aritmética de diferencia $d$:
$a_1$
$a_2=a_1+d$
$a_3=a_2+d=a_1+2d$
$a_4=a_3+d=a_1+3$
$\ldots$
$a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
En efecto, en toda sucesión aritmética se cumple que
$a_1+a_n a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\ldots$
Escrbiendo la suma con los sumandos en orden directo e inverseo, y sumando miembro a miembro (1) y (2):
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_1+ a_2 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \quad \quad (1)$$
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_n+ a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_{2} + a_1 \quad \quad (2)$$
se tiene que $$\displaystyle 2\,\sum_{i=1}^{n}\,a_i=(a_1+ a_{n}) + (a_2 + a_{n-1}) + \ldots + (a_{a_n} + a_1)=n\cdot (a_{a_1} + a_n) \Rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{n\cdot (a_1+ a_n)}{2}=\dfrac{a_1+ a_n}{2}\cdot n$$
Nótese que, si $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos sumandos cuya suma es igual para todos ellos, por lo que no no hay objeción; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\dfrac{ a_{(n+1)/2} + a_{(n+1)/2 }}{2}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
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En breve expondré material de ayuda para el aprendizaje y uso de la calculadora científica Numworks, que encuentro especialmente útil para el aprendizaje del cálculo numérico, la estadística y el cálculo de probabilidades, a nivel de Bachillerato. Además es gráfica y es programable en lenguaje Python. Podéis probarla y utilizarla en vuestro ordenador con este emulador, y en su canal de vídeo podréis visionar muchos tutoriales para aprender a utilizarla con eficacia.
Nos proponemos sumar los $50$ primeros términos de las siguientes secuencias de números naturales:
a) $1,2,3,4,5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50$
b) $1,4,9,16,25,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},2500$
c) $1,8,27,64,125,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},125000$
Observemos que estas sucesiones se forman de la siguiente manera:
a) $1,2,3,4,5,\ldots$ es la sucesión de los los números naturales $a_n=n$, y siendo finita en nuestro caso la sucesión, con $n=1,2,3,\ldots,50$, es muy fácil demostrar que, teniendo en cuenta que los términos forman una sucesión aritmética de diferencia igual a $1$, la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión de los númros naturales es $1+2+\ldots+n=\dfrac{n\,(n+1)}{2}$. Así pues, $1+2+3+4+5,\overset{\underbrace{50}}{\ldots},50=\dfrac{50\cdot (50+1)}{2}=1\,275$
b) $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots,50^2$ es la sucesión $b_n=n^2$, siendo finita la sucesión (como en el caso anterior), con $n=1,2,3,\ldots,50$,con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cuadrados de los $50$ primeros números naturales. Por inducción se demuestra fácilmente que la suma de los $n$ primeros términos de dicha sucesión es $1^2+2^2+\ldots+n^2=\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}$. Por consiguiente, $1+4+9+16+25+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+2500=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^2=\dfrac{50\cdot (50+1)\cdot (2\cdot 50+1)}{6}=42\,925$
c) $1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots,50^3$, es la sucesión finita $c_n=n^3$ con $n=1,2,3,\ldots,50$, esto es la sucesión de los cubos de los $50$ primeros números naturales. Se demuestra fácilmente —también por inducción— que la suma de los $n$ primeros términos de esta sucesión es $1^3+2^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2\,(n+1)^2}{4}$. Por tanto, $1+8+27+64+125+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+125000=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+\overset{\underbrace{50}}{\ldots}+50^3=\dfrac{50^2\cdot (50+1)^2}{4}=1\,625\,625$
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