Recordemos que, en el problema del interés compuesto, la tasa anual equivalente (TAE) se calcula de la siguiente manera: $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{f}-1$$ donde $i$ es la tasa de interés anual y $f$ es el número de intervalos iguales en los que se divide un año a efectos de que se hagan efectivos los intereses. Desde luego, si $f=1$ ( el año se divide en un solo intervalo ), entonces $\text{TAE}=i$ y, si no es así, $f \succ 1$ y la $\text{TAE}$ aumenta conforme crece el número de intervalos en los que se divide el año; este aumento de la $\text{TAE}$, para un valor dado de $i$ está acotado y, además, la sucesión de valores crecientes de la misma ( según aumenta $f$ ) tiene límite, que es el siguiente: $$\displaystyle \lim_{f \rightarrow \infty}\, \left(\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{f}-1\right)=\lim_{f \rightarrow \infty}\, \left(\left(\left(1+\dfrac{1}{f/i}\right)^{f/i}\right)^{i}-1\right)=e^i-1$$
$\square$
jueves, 11 de octubre de 2018
miércoles, 10 de octubre de 2018
miércoles, 24 de enero de 2018
Acerca de la derivada de una función en los modelos matemáticos de la economía. Cosas básicas.
En los modelos matemáticos, la función de beneficio da el beneficio obtenido al vender $x$ unidades de producto comercial; la función de coste da el coste que supone vender $x$ unidades de producto comercial, y la función de ingresos describe la cuantía de los ingresos obtenidos al vender $x$ unidades de producto comercial.
Por otra parte, con la función de demanda, $D(x)$, se modela el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) demandadas, y con
la función de oferta, $O(x)$, el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) ofertadas. En un modelo estándar, la función de demanda es decreciente y la de oferta es creciente; el punto de corte de dichas curvas, representa un equilibrio teórico entre la oferta y la demanda.
La tasa de variación media del ingreso en un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,I}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,I$ es el incremento en los ingresos que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos ingreso marginal a la tasa de variación instantánea del ingreso, es decir, a la derivada de la función $I(x)$, es decir, con el término ingreso marginal nos referimos a la función derivada $I'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dI(x)}{dx}$, siendo el ingreso marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dI(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa de variación media del costeen un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,C}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,C$ es el incremento del coste que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos coste marginal a la tasa de variación instantánea del coste, es decir, a la derivada de la función $C(x)$, es decir, con el término coste marginal nos referimos a la función derivada $C'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dC(x)}{dx}$, siendo el coste marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dC(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa de variación media del beneficio en un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,B}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,B$ es el incremento de beneficio que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos beneficio marginal a la tasa de variación instantánea del beneficio, esto es, a la derivada de la función $B(x)$, es decir, con el término beneficio marginal nos referimos a la función derivada $B'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dB(x)}{dx}$, siendo la beneficio marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dB(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
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Por otra parte, con la función de demanda, $D(x)$, se modela el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) demandadas, y con
la función de oferta, $O(x)$, el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) ofertadas. En un modelo estándar, la función de demanda es decreciente y la de oferta es creciente; el punto de corte de dichas curvas, representa un equilibrio teórico entre la oferta y la demanda.
La tasa de variación media del ingreso en un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,I}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,I$ es el incremento en los ingresos que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos ingreso marginal a la tasa de variación instantánea del ingreso, es decir, a la derivada de la función $I(x)$, es decir, con el término ingreso marginal nos referimos a la función derivada $I'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dI(x)}{dx}$, siendo el ingreso marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dI(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa de variación media del costeen un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,C}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,C$ es el incremento del coste que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos coste marginal a la tasa de variación instantánea del coste, es decir, a la derivada de la función $C(x)$, es decir, con el término coste marginal nos referimos a la función derivada $C'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dC(x)}{dx}$, siendo el coste marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dC(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa de variación media del beneficio en un intervalo $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,B}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,B$ es el incremento de beneficio que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos beneficio marginal a la tasa de variación instantánea del beneficio, esto es, a la derivada de la función $B(x)$, es decir, con el término beneficio marginal nos referimos a la función derivada $B'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dB(x)}{dx}$, siendo la beneficio marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dB(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
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sábado, 28 de enero de 2017
Eligiendo dos monedas
ENUNCIADO. De entre $4$ monedas, dos de las cuales son legales y las otras dos trucadas, escogemos dos al alzar. Cuál es la probabilidad de escoger:
a) Dos monedas legales
b) Dos monedas trucadas
c) Una moneda legal y otra trucada
SOLUCIÓN.
a) De entre dos monedas legales sólo hay $\binom{2}{2}=1$ posibilidad a la hora de escoger dos que lo sean, luego por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{1}{6}$
b) De entre dos monedas trucadas sólo hay $\binom{2}{2}=1$ posibilidad de escoger dos que lo sean, luego por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{1}{6}$
c) De entre dos monedas legales hay $\binom{2}{1}=2$ maneras de escoger una moneda legal; y, de entre las otras dos ( que están trucadas ), hay $\binom{4-2}{1}=2$ maneras de escoger una moneda trucada, luego por el principio multiplicativo, tenemos $\binom{2}{1}\cdot \binom{4-2}{1}=2\cdot 2=4$ maneras de elegir una moneda legal y una moneda trucada entre las cuatro monedas. Así pues, por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{1}\cdot \binom{4-2}{1}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
$\square$
a) Dos monedas legales
b) Dos monedas trucadas
c) Una moneda legal y otra trucada
SOLUCIÓN.
a) De entre dos monedas legales sólo hay $\binom{2}{2}=1$ posibilidad a la hora de escoger dos que lo sean, luego por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{1}{6}$
b) De entre dos monedas trucadas sólo hay $\binom{2}{2}=1$ posibilidad de escoger dos que lo sean, luego por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{1}{6}$
c) De entre dos monedas legales hay $\binom{2}{1}=2$ maneras de escoger una moneda legal; y, de entre las otras dos ( que están trucadas ), hay $\binom{4-2}{1}=2$ maneras de escoger una moneda trucada, luego por el principio multiplicativo, tenemos $\binom{2}{1}\cdot \binom{4-2}{1}=2\cdot 2=4$ maneras de elegir una moneda legal y una moneda trucada entre las cuatro monedas. Así pues, por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{\binom{2}{1}\cdot \binom{4-2}{1}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
$\square$
sábado, 21 de enero de 2017
Calculando el beneficio esperado en un juego de apuestas
ENUNCIADO. Una cierta lotería consiste en sortear un único premio de $5000$ euros. Para ello se elige al azar un número comprendido entre $1$ y $1000$. Para participar, hay que pagar $5$ euros por cada número al que se desea apostar. Si se compra un número, ¿ cuál es el beneficio esperado ?. Si comprásemos $3$ números, ¿ cuál sería entonces el beneficio esperado ?
SOLUCIÓN. La probabilidad de que salga el número que hemos comprado es $\dfrac{1}{1000}$ y, por tanto, la probabilidad de que no salga es $\dfrac{999}{1000}$. Así pues el beneficio esperado es igual a $$(5000-5)\cdot \dfrac{1}{1000}+(-5)\cdot \dfrac{999}{1000}=-4 \; \text{euros}$$ Como el beneficio esperado es negativo, desde luego, comprar un sólo número no es favorable al jugador.
Veamos qué sucede si compramos más de un número, pongamos que tres. En ese caso, la probabilidad de conseguir el premio sería $\dfrac{3}{1000}$ y la de no conseguirlo $1-\dfrac{3}{1000}$, luego
$$(5000-5\cdot 3)\cdot \dfrac{3}{1000}+(-5\cdot 3)\cdot (1-\dfrac{3}{1000})=-12 \; \text{euros}$$
Así pues, cuánto más números comprásemos de esa lotería más perderíamos, por lo que no es recomendable apostar en ella.
-oOo-
ACLARACIÓN. Vamos a justificar que la probabilidad de sacar el premio comprando tres números es $\dfrac{3}{1000}$. Denotemos por $N_i$ al suceso el número i-ésimo ( de los diez que hemos comprado ) es el premiado, donde $i=1,2,\ldots,10$. Entonces, la probabilidad de obtener el premio ( recordemos que el premio corresponde a un sólo número de los mil que se sortean ) es igual a
$$P(\text{obtener el premio})=P\left(N_1 \cup (\bar{N_1} \cap N_2 ) \cup ((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)$$
Y como $N_1$, $\bar{N_1} \cap N_2$ y $(\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ) podemos escribir que
$P(\text{obtener el premio})=P(N_1)+P(\bar{N_1} \cap N_2 )+P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right) \quad (1)$
Y teniendo en cuenta que:
$P(N_1)=\dfrac{1}{1000}$
$P(\bar{N_1} \cap N_2 )=P(N_2 \cap \bar{N_1})=P(\bar{N_1})\cdot P(N_2|\bar{N_1})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{1}{999}=\dfrac{1}{1000}$
$P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)=P\left(N_3 \cap (\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \right)=P(\bar{N_1}\cap \bar{N_2})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=$
$=P(\bar{N_2})\cdot P(\bar{N_2}|\bar{N_1})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{998}{999} \cdot \dfrac{1}{998}=\dfrac{1}{1000}$
Entonces, de (1), $P(\text{obtener el premio})=\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}=\dfrac{3}{1000}$
$\square$
SOLUCIÓN. La probabilidad de que salga el número que hemos comprado es $\dfrac{1}{1000}$ y, por tanto, la probabilidad de que no salga es $\dfrac{999}{1000}$. Así pues el beneficio esperado es igual a $$(5000-5)\cdot \dfrac{1}{1000}+(-5)\cdot \dfrac{999}{1000}=-4 \; \text{euros}$$ Como el beneficio esperado es negativo, desde luego, comprar un sólo número no es favorable al jugador.
Veamos qué sucede si compramos más de un número, pongamos que tres. En ese caso, la probabilidad de conseguir el premio sería $\dfrac{3}{1000}$ y la de no conseguirlo $1-\dfrac{3}{1000}$, luego
$$(5000-5\cdot 3)\cdot \dfrac{3}{1000}+(-5\cdot 3)\cdot (1-\dfrac{3}{1000})=-12 \; \text{euros}$$
Así pues, cuánto más números comprásemos de esa lotería más perderíamos, por lo que no es recomendable apostar en ella.
ACLARACIÓN. Vamos a justificar que la probabilidad de sacar el premio comprando tres números es $\dfrac{3}{1000}$. Denotemos por $N_i$ al suceso el número i-ésimo ( de los diez que hemos comprado ) es el premiado, donde $i=1,2,\ldots,10$. Entonces, la probabilidad de obtener el premio ( recordemos que el premio corresponde a un sólo número de los mil que se sortean ) es igual a
$$P(\text{obtener el premio})=P\left(N_1 \cup (\bar{N_1} \cap N_2 ) \cup ((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)$$
Y como $N_1$, $\bar{N_1} \cap N_2$ y $(\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ) podemos escribir que
$P(\text{obtener el premio})=P(N_1)+P(\bar{N_1} \cap N_2 )+P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right) \quad (1)$
Y teniendo en cuenta que:
$P(N_1)=\dfrac{1}{1000}$
$P(\bar{N_1} \cap N_2 )=P(N_2 \cap \bar{N_1})=P(\bar{N_1})\cdot P(N_2|\bar{N_1})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{1}{999}=\dfrac{1}{1000}$
$P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)=P\left(N_3 \cap (\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \right)=P(\bar{N_1}\cap \bar{N_2})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=$
$=P(\bar{N_2})\cdot P(\bar{N_2}|\bar{N_1})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{998}{999} \cdot \dfrac{1}{998}=\dfrac{1}{1000}$
Entonces, de (1), $P(\text{obtener el premio})=\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}=\dfrac{3}{1000}$
$\square$
jueves, 12 de enero de 2017
Ejemplo de aplicación del modelo multi hipergeométrico
ENUNCIADO. La tripulación de un barco consta de $10$ españoles, $12$ franceses y $5$ portugueses. Se quiere formar un equipo de $6$ personas, eligiéndolas al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que esté formado por $2$ españoles, $3$ franceses y $1$ portugués ?.
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6]$ en el que $x_i \in \{\text{español},\text{francés}, \text{portugués}\}$, para $i=1,2,\ldots,6$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por consiguiente podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que el pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{10+12+5}{6}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir los dos españoles de $C_{10,2}=\binom{10}{2}$ maneras; los tres franceses de $C_{12,3}=\binom{12}{3}$ maneras, y el tripulante portugués de $C_{5,1}=\binom{5}{1}$ maneras. Así, pues, por el principio multiplicativo hay $\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}$ posibilidades de elegir $S$
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{10+12+5}{6}}=\dfrac{50}{299} \approx 0,17 $$
$\square$
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6]$ en el que $x_i \in \{\text{español},\text{francés}, \text{portugués}\}$, para $i=1,2,\ldots,6$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por consiguiente podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que el pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{10+12+5}{6}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir los dos españoles de $C_{10,2}=\binom{10}{2}$ maneras; los tres franceses de $C_{12,3}=\binom{12}{3}$ maneras, y el tripulante portugués de $C_{5,1}=\binom{5}{1}$ maneras. Así, pues, por el principio multiplicativo hay $\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}$ posibilidades de elegir $S$
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{10}{2}\cdot \binom{12}{3}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{10+12+5}{6}}=\dfrac{50}{299} \approx 0,17 $$
$\square$
miércoles, 11 de enero de 2017
Ejemplo de aplicación del modelo hipergeométrico de probabilidades
ENUNCIADO. En una fiesta hay $30$ personas, $25$ casadas y $5$ solteras. Se eligen $3$ personas al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que sean solteras ? ¿ Cuál es la probabilidad de que dos de las personas elegidas sean casadas y una sea soltera ?.
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3]$ en el que $x_i \in \{\text{casada},\text{soltera}\}$, para $i\le 3$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por ende podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que le pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{30}{3}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir las $3$ personas solteras de $C_{5,3}=\binom{5}{3}$ maneras y como el número de personas casadas que encontraremos en una elección de tres personas solteras es $0$, hay una sóla posibilidad para ello, $C_{25,0}=\binom{25}{0}=1$. Así, pues, hay $\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}$ posibilidades de que las tres personas elegidas sean todas solteras.
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}}{\binom{30}{3}}=2,4631\cdot 10^{-3} \approx 0,2\,\%$$
Veamos ahora la respuesta a la segunda pregunta. Denotando por $T$='dos personas casadas y una soltera', vemos que $N(T)=\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}$, luego por la regla de Laplace, $$P(T)=\dfrac{\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{30}{3}}=3,6946\cdot 10^{-1} \approx 37\,\%$$
$\square$
SOLUCIÓN. El espacio muestral podemos concebirlo como el conjunto de sucesos $[x_1,x_2,x_3]$ en el que $x_i \in \{\text{casada},\text{soltera}\}$, para $i\le 3$. De esta forma, todos los sucesos elementales son equiprobables y por ende podemos emplear la regla de Laplace para calcular/asignar probabilidades a cualquier suceso, $S$, del espacio de probabilidad $(\Omega, P)$: $$P(S)\overset{\text{Laplace}}{=}\dfrac{N(S)}{N}$$ donde $N$ es el número de casos ( sucesos ) posibles [de la experiencia aleatoria 'elegir tres personas al azar'] y $N(S)$ representa el número de casos favorables a un determinado suceso, pongamos que le pedido en el enunciado.
El número de casos posibles es $N=C_{30,3}=\binom{30}{3}$ ( no importa el orden en que vayamos escogiendo las tres personas ) y el número de casos favorables a $S$ lo calcularemos de la siguiente manera: Podemos elegir las $3$ personas solteras de $C_{5,3}=\binom{5}{3}$ maneras y como el número de personas casadas que encontraremos en una elección de tres personas solteras es $0$, hay una sóla posibilidad para ello, $C_{25,0}=\binom{25}{0}=1$. Así, pues, hay $\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}$ posibilidades de que las tres personas elegidas sean todas solteras.
Encontramos por tanto que $$P(S)=\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{25}{0}}{\binom{30}{3}}=2,4631\cdot 10^{-3} \approx 0,2\,\%$$
Veamos ahora la respuesta a la segunda pregunta. Denotando por $T$='dos personas casadas y una soltera', vemos que $N(T)=\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}$, luego por la regla de Laplace, $$P(T)=\dfrac{\binom{25}{2}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{30}{3}}=3,6946\cdot 10^{-1} \approx 37\,\%$$
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