Correlación entre dos variables. Tablas de doble entrada ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT
Per als 100 alumnes de primer cicle d'ESO d'un institut s'ha fet un estudi de les qualificacions de matemàtiques i de llengua. Les dades se'ns han donat així:
Superen les dues matèries: 64
No han superat les matemàtiques: 30
No han superat la llengua: 27
Creieu que les dades són coherents? Hi ha molta relació entre les notes de les dues àrees ?

SOLUCIÓ

Observant la taula, que omplim seguint l'ordre codificat en color a partir de les dades de l'enunciat, veiem que sí que hi ha coherència amb les dades (els totals parcials sumen el conjunt de 100 alumnes) i que hi ha molta relació entre les notes de les dues matèries perquè el nombre d'alumnes que suspenen/aproven una de les dues és proper al nombre d'alumnes que suspenen/aproven l'altra.

Observació:
És remarcable el fet que amb poques operacions aritmètiques (restes i sumes) podem posar en clar una correlació entre dues variables estadístiques. Les taules de doble entrada constitueixen una senzilla però eficaç eina a l'hora d'investigar possibles relacions.

$\square$

[nota del autor]

Números índice ... ( Articulo escrito en catalán )

L'índex de preus al consum és una variable macroeconòmica adimensional, com tots els nombres índex, i ve referit a una base de 100; per això és dóna en tant per cent, tot i que, naturalment es pot expressar en tant per u. L'IPC recull i compara els preus d'un conjunt de productes, béns i serveis al llarg del temps. Aquest índex s'obté per procediments estadístics a partir del mostreig de la població i, la seva anàlisi, permet diagnosticar una situació inflacionària o deflacionària. Per altra banda, el valor de l'índex en un determinat moment serveix per actualitzar el valor de les rendes i controlar els preus del béns de primera necessitat. L'estudi de l'IPC anual, i la publicació dels resultats per part del Instituto Nacional de Estadística es produeix durant el mes d'octubre. El següent exercici de càlcul mostra les nocions elementals de com es fan les ponderacions segons els diversos sectors de productes de consum, bén i serveis. Les ponderacions no corresponen a les que es fan servir actualment i les dades, tot i que es refereixen a anys anterior, no estan del tot contrastades. L'exercici s'ha d'entendre, per tant, com una simple tasca didàctica, pràcticament, una simulació: Observent les indicacions de la figura, També podeu veure com es calcula l'IPC de l'any en curs, a partir de l'increment anual dels seus component. L'última columna és especialment important perquè reflecteix la taxa de variació de l'IPC, en tant per cent (enguany, novembre de 2007, ha estat de 3,6%). Aquesta taxa de variació és molt útil a l'hora de calcular la revalorització dels productes de serveis i rendes, els preus de lloguer de la vivenda, etcètera. d'un mes d'un determinat any, al mateix mes del següent. Fa poc que l'INE va publicar l'informe sobre l'IPC anual (14 de novembre): la variació general de l'índex de preus al consum, prenent com a base l'índex de 2006 és de 3,6%. Aquesta informació serveix, entre altres coses, per fer càlculs de revalorització de rendes i preus. Considerem, per exemple, que el mes d'octubre de 2006 el valor d'una renda era de 600 € al mes. Quin serà el valor de la renda actualitzada l'octubre de 2007 ? font: Instituto Nacional de Estadística Primer que tot cal fer remarca que, ens interessa saber la variació anual de l'índex (+3,6%). Expressant la variació en tant per u, tenim que, d'acord amb el significat de la taxa de variació anual del nombre índex: Valor actualitzat de la renda = Valor inicial de la renda. (1 + taxa de variació anual de l'índex)     (entre els mateixos mesos) Així tenim que valor actualitzat de la renda = 600.(1+0,036) = 621,60 € O, si es vol, també es pot plantejar segons la mateixa definició de taxa de variació: 0,036 = (renda actualizada - 600)/600 D'aquí, trobem igualment que x = 621,60 € Val a dir que també podem calcular el varlor actualitzat si fem servir els nombres índex (cal disposar d'unes taules amb els valors dels índexs) enlloc de les taxes de variació d'aquests: Valor actualitzat de la renda = Valor inicial de la renda x (índex del mateix mes de 2007)/(índex d'un mes donat de 2006) Això és així per la següent raó: El valor de la taxa de variació en un interval dn es defineix de la forma dn=(xn-x0)/x0     (n=0,1,2,...) i, per tant, xn=x0(dn+1)     (1) per al pas n+1 tindrem xn+1=x0(dn+1+1)     (2) Ara bé, dn+1 no és més que el valor de l'índex en el pas n: in Per tant, (1) i (2) es poden reescriure així: xn=x0 in     (3) xn+1=x0 in+1     (4) Dividint (4) entre (3), membre a membre, obtenim: xn+1/xn = in+1/in I, d'aquí, xn+1 = xn. (in+1/in)

[nota del autor]

Taxa de variació

Donada una determinada variable estadística X que conté valors d'una sèrie temporal discrets, entenem per taxa de variació d'aquesta, una quantitat adimensional, una altra variable, els valors de la qual estan referits a un determinat valor de la variable X, que es prendrà com a base.

Així, podem definir la taxa de variació de la forma:
d_n=(x_n-x₀)/x₀     (n=0,1,2,...)

Una taxa de variació pot servir, per tant, per expressar la variació en el temps d'una magnitud, amb la finalitat de fer estudis de tipus estadístic o bé models d'evolució discrets. És habitual expressar els valors de la taxa en tant per cent, però també en tant per unitat o en la proporció adequada (tant per deu, tant per mil, ...).

A l'exemple que us comento a continuació, podeu veure una taula on s'expressa l'evolució dels preus de la gasolina des l'any 1977; el preu d'aquest any (37 unitats monetàries, de les antigues pessetes) es el valor que prendrem com a valor de referència. A l'última columna podem llegir els resultats del càlcul dels valors de l'índex anual que mostra l'evolució del preu d'aquest producte així com la manera de calcular-ho amb l'ajut d'un full de càlcul.

Suposem, ara, per tal d'ensenyar l'ús pràctic d'aquesta taxa, que no disposem de les dades dels preus de la gasolina (columna de color groc), llevat del preu de la mateixa l'any 1977 (37 unitats). Ens podríem plantejar la següent qüestió. Quin preu p correspon a l'any 1979 ?

Respondrem a la pregunta tenint en compte la definició donada més amunt. Com que el valor de la variació d'aquest per a l'any 1979 és de 0,2432 (en tant per u), podrem plantejar aquesta senzilla equació:

0,2432 = (p-37)/37
D'aquí, trobem fàcilment que p = 46 (arrodonint a la xifra de les unitats)

[nota del autor]

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con MAXIMA ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Resolver las siguientes ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resoleu el sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} x + y = 1\\ \\ \log{x} + \log{y} = \log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}\\ \end{matrix}\right\}$

Per les propietats dels logaritmes, la segona equació es pot posar de la forma

$\log{(x\,y)}=\log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}$

és a dir

$x\,y = \dfrac{1}{100}$

Llavors, aïllant una de les dues variables (per exemple $y$) queda

$y = \dfrac{1}{100\,x}$

que, substituïda a la primera equació, ens permet escriure una equació amb una sola variable

$x+\dfrac{1}{100 \, x}=1$

equivalent a

$100\,x^2-100\,x+1=0$

d'on traiem que

$x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

i

$x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

valors aparellats amb els de la variable $y$ (substituint):

$y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

i

$y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

Per tant, trobem dues solucions

a) $x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

b) $x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
        $3^x=7$

Extraient logaritmes de cada membre de la igualtat

$\ln{\big(3^x\big)}=\ln{7}$

d'on, per les propietats dels logaritmes, queda

$x\, \ln{3}=\ln{7}$

i, aïllant la variable, podrem escriure

$x=\dfrac{\ln{7}}{\ln{3}} \approx 1,7712 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Resoleu l'equació
        $2^{x^2+5x+8}=4$

Podem expressar el terme independent del segon membre com una potència de de base dos

$2^{x^2+5x+8}=2^2$

d'on es desprèn que els exponents de tots dos membres han de ser iguals (les bases són les mateixes)

$x^2+5x+8=2$

equació que, tota vegada l'hem preparat per ser resolta, queda de la forma

$x^2+5x+6=0$

i dóna els següents resultats

$x=\left\{\begin{matrix} -2\\ \\ -3\\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]

Alicia lanza una moneda ...

ENUNCIADO
Alicia lanza una moneda; y, de manera independiente, Bernardo lanza dos monedas. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos coincidan en el número de caras que obtienen ?.

SOLUCIÓN:

Debemos considerar los siguientes sucesos en relación al experimento aleatorio de Alicia:
$A_0$: "Alicia obtiene 0 caras" $P(A_0)=\dfrac{1}{2}$
$A_1$: "Alicia obtiene 1 cara" $P(A_1)=\dfrac{1}{2}$
$A_2$: "Alicia obtiene 2 caras" $P(A_2)=0$ ( suceso imposible )

Y en cuanto al experimento de Bernardo:
$B_0$: "Bernardo obtiene 0 cares" $P(B_0)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
$B_1$: "Bernardo obtiene 1 cara" $P(B_1)=2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$B_2$: "Bernardo obtiene 2 cares" $P(B_2)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

Con lo cual la probabilidad de que Alicia y Bernardo obtengan el mismo número de caras es igual a $P\left((A_0 \cap B_0) \cup (A_1 \cap B_1) \cup (A_2 \cap B_2)\right)$; y, como estos tres sucesos son incompatibles, dicha probabilidad es igual a $P(A_0 \cap B_0) + (A_1 \cap B_1) +(A_2 \cap B_2)$   (1). Y, desdes luego, $A_0$ y $B_0$ son independientes, como también lo son $A_1$ y $B_1$, y $A_2$ y $B_2$; por lo tanto, (1) es igual a $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+0\cdot \dfrac{1}{4}$
    $=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+0$
    $=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+0$
    $=\dfrac{3}{8}$

$\square$

[nota del autor]

Un grupo de 12 personas quieren alojarse en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un grup de 12 persones es volen allotjar en un refugi de muntanya. Hi han tres habitacions disponibles: a la primera hi han dos llits, a la segona quatre, i a la tercera sis. De quantes maneres es poden ordenar ?

Solució:
Pel principi multiplicatiu i tenint en compte que els llits són indistingibles i que per tant no importa l'ordre amb què les persones que van a una determinada habitació escullen els llits, tenim un total de
    $C_{12,2}\cdot C_{12-2,4}\cdot C_{12-(2+4),6} = 13860 \; \text{possibilitats}$

[nota del autor]