Propietats dels logaritmesPropietat fonamental:Per poder resoldre els següents equacions farem servir Es compleixen també aquestes altres propietats:
Exemples resoltsExemple 1Equació: $5^x=2$ Resolució: $\ln{\big(5^x\big)}=\ln{2}$ d'on $x\,\ln{5}=\ln{2}$ i d'aquí $x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$ Exemple 2Equació: $\log_{3}{x}=2$ Resolució: $\log_{3}{x}=2 \Rightarrow 2^3=x$ i d'aquí $x=8$ Exemple 3Equació: $\log_{x}{3}=4$ Resolució: $\log_{x}{3}=4 \Rightarrow x^4=3$ per tant $x=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$ Exemple 4Equació: $3^{2x}-3^x-2=0$ Resolució: Si, primer de tot, canviem la denominació (canvi de variable) fent $z=3^x$, l'equació original es transforma en una equació polinòmica de 2n grau $t^2-t-2=0$ que té com a solució els nombres $t_1=2$i $t_2=-1$ Per acabar, cal determinar els valors de $x$ corresponents; per això, cal desfer el canvi de variable. Trobem que del primer valor de $t$ s'obté la solució $3^x=2 \Rightarrow x = \dfrac{\ln{2}}{\ln{3}}$ i, pel que fa al segon valor (negatiu) $3^x=-1$ no aporta cap nou valor a la solució, atès que $\ln{(-1)}$ (el logaritme d'un nombre negatiu no està definit) Exemple 5$\left.\begin{matrix} 2\,\log{x}+3\,\log{y}=5\\ \\ \log{x}+\log{y}=2\\ \end{matrix}\right\}$ Multiplicant per $-2$ ambdos membres de la segona equació i sumant membre a membre la primera amb la segona equació equivalent trobem una equació amb una sola variable: $\log{y}=1 \Rightarrow y=10$ Per altra banda, i tornant al sistema d'equacions original, multiplicant per $-3$ ambdos membres de la segona equació i sumant membre a membre la primera amb la segona equació equivalent trobem una equació amb una sola variable: $-\log{x}=-1 \Rightarrow x=10$ Exemple 6$\left.\begin{matrix} 2^x+3^y=1\\ \\ 4 \cdot 2^x+5\cdot 3^y=6\\ \end{matrix}\right\}$ Multiplicant per $-4$ ambdos membres de la primera equació i sumant - membre a membre - la primera i la segona equació equivalent, trobem una equació amb una sola variable: $3^y=2 \Rightarrow y=\dfrac{\ln{2}}{\ln{3}}$ Per altra banda, i tornant al sistema d'equacions original, multiplicant per $-5$ ambdos membres de la segona equació i sumant (membre a membre) la primera amb la segona equació equivalent, trobem una equació amb una sola variable: $-2^x=1 \Rightarrow x=0$. Exemple 7$\log{(x+\sqrt{3})}+\log{(x-\sqrt{3})}=0$ Aquesta equació es pot escriure de la forma $\log{\big((x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\big)}=0$ i d'aquí es dedueix que $(x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=1$ ( ja que $\log_{b}{1}=0$ ). Finalment, haurem de resoldre aquesta equació algebraica: $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=1$ és equivalent a $x^2-4=0$ d'on obtenim com a solució els valors $x_1=-2$ i $x_2=2$; no obstant, només podem acceptar el valor $x_2=2$, perquè el negatiu ( $x_1=-2$ ) fa que els argments dels logaritmes de l'equació donada siguin negatius (el logaritme d'un nombre negatiu no està definit). $\square$ |
domingo, 22 de marzo de 2015
Ejemplos de cálculo con logaritmos. ( Artículo escrito en catalán )
viernes, 20 de marzo de 2015
Ejercicio sobre el problema del interés compuesto. ( Artículo escrito en catalán ).
Enunciat:
Primera part:
Considerem una quantitat $C_{0}$ (donada en unitats monetàries arbitràries ) que cada determinat interval de temps produeix un benefici que calculem com una part proporcional del valor de la quantitat acumulada a l'interval de temps anterior. Designem amb la lletra $i$ ( en tant per u ) aquesta part proporcional, i l'anomenarem taxa d'interès nominal ( referida al període de temps establert ). Quina quantitat queda acumulada al final de l'n-èssim interval de temps ? Quin benefici ( interès ) s'obté ?.
Segona part:
Volem fer un pla d'estalvis i, per això, dipositem un capital inicial $C_0$ de $600,00\,\text{euro}$ en un dipòsit bancari, a una taxa d'interès anual $i$ del $2\,\%$ un temps total de $2 \;\text{anys}$. Tenint en compte que la freqüència $f$ amb què es compatibilitzen els interessos és igual a $4$ ( trimestralment ), calculeu:
a) El capital final $C_{final}$
b) Els interessos finals $I$
c) El valor de la taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) d'aquest pla d'estalvis
Solució de la primera part:
Al final del primer interval la quantitat $C_0$ s'ha convertit en $C_0+C_0\,i$ que, per comoditat, expressem de la forma $C_{0}\,(1+i)$
Al final del segon interval, trobem $C_{0}\,(1+i)\,i+C_{0}\,(1+i)$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^2$
Al final del tercer interval, trobem $C_{0}\,(1+i)^2\,i+C_{0}\,(1+i)^2$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^3$
I, així, successivament, d'acord amb la regla de formació del valors dels termes d'una successió geomètrica. Per tant, és clar que al final de l'n-èssim interval trobarem una quantitat acumulada $C_n$ igual a $C_{0}\,(1+i)^n$
El benefici obtingut ( que anomenem interès compost i designem amb la lletra $I$ ) és, per definició, $C_n-C_0$ i, operant, s'escriu
$I=C_{0}\,(1+i)^n-C_0$
$=C_0\,\big((1+i)^n-1\big)$
Solució de la segona part:
a)
Tenint en compte, ara, que, el nombre d'intervals $n$ és igual a $f\cdot t$ i que, per tant, la taxa d'interès que cal tenir en compte per a cada interval és igual a la taxa d'interes anual (nominal) dividida pel nombre d'intervals, $\frac{i}{f}$, podem escriure que el capital final $C_{final}$ és igual a
$C_{final}=C_0\,\big(1+\frac{i}{f}\big)^{f\,t}$
$=600,00\,\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{4\cdot 2}$
$\approx 624,42\;\text{euro}$
b)
El benefici o ( interès final ) és igual a $C_{final}-C_0$, és a dir, $24,42\; \text{euro}$
c)
A partir de la freqüència $f$ amb què es fan efectius els interessos periòdicament, i, de la taxa d'interès nominal $i$, la taxa anual equivalent $\text{T.A.E.}$ es una estimació del rendiment d'un producte financer. Aquesta taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) es calcula igualant els interessos que produeix un determinat capital inicial $C_0$ durant un any ( $t=1$ ) comptant: d'una banda, els interessos que produeix d'acord a una taxa d'interès igual a la taxa anual equivalent $\text{T.A.E}$ ( que, precisament, volem calcular), i, de l'altra, els interessos que produeix el mateix capital inicial $C_0$ segons el mode d'interès compost establert ( a una taxa d'interès nominal $i$ i amb una freqüència de capitalització $f$ ).
Per comoditat ( i sense pèrdua de generalitat ) suposarem que el capital inicial $C_0$ és igual a una unitat monetària ( $C_0=1$ ); per tant, d'acord amb el que s'acaba de plantejar, escriurem la següent equació:
$1+\frac{\text{T.A.E.}}{1}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}$
d'on, aïllant la incògnita, que és la $\text{T.A.E.}$, arribem a l'expressió que ens ha de servir per calcular aquesta taxa anual equivalent:
$\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}-1$
Finalment, substituint les dades del problema ( $i=0,02$ $f=4$ ), trobem el següent resultat:
$\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{1\cdot 4}-1$
$= 0,02015(05\ldots)$
$\approx 0,0202(\ldots) \rightarrow 2,02\,\%$
Nota 1: Com que $f$ representa el nombre d'intervals de capitalització en un any, $f \ge 1$
Nota 2: Cal remarcar el fet que $\text{T.A.E.} \ge i$ atès que si $f\;\uparrow$, $\text{T.A.E.}\;\uparrow$; en particular, si $f=1$, $\text{T.A.E.}=i$.
$\square$
martes, 17 de marzo de 2015
cuestiones sobre estadística descriptiva ( artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un conjunt de valors d'una variable estadística $X$ presenta les següents característiques:
(a) el polígon de freqüències és simètric respecte de la recta perpendicular a l'eix d'abscisses que passa per $\bar{x}$
(b) el tant per cent de valors que es troben a l'interval $[\bar{x}-s,\bar{x}+s]$ és del $80,5\%$
(c) el tant per cent de valors que es troben a l'interval $[\bar{x}-2s,\bar{x}+2s]$ és del $99,8\%$
(c) el tant per cent de valors que es troben a l'interval $[\bar{x}-3s,\bar{x}+3s]$ és del $99,9\%$
Es pot afirmar que el polígon de freqüències d'aquest conjunt de valors segueix el perfil d'una distribució normal ( campana de Gauss ) ?.
Solució:
La primera característica (a) sí que és pròpia d'una distribució normal o de Gauss; per contra, les altres tres, no. Si ho fossin, es compliria que:
(i) el tant per cent de valors que es troben a l'interval $[\bar{x}-s,\bar{x}+s]$ fóra del $68,26\%$
(ii) el tant per cent de valors que es troben a l'interval $[\bar{x}-2s,\bar{x}+2s]$ fóra del $95,44\%$
(iii) el tant per cent de valors que es troben a l'interval $[\bar{x}-3s,\bar{x}+3s]$ fóra del $99,74\%$
Com es pot veure, el conjunt de valors donat és excessivament "punxegut" per poder-lo assemblar a una campana de Gauss.
$\square$
Cálculos estadísticos con la ayuda de una calculadora científica básica ( artículo escrito en catalán )
Quan fem servir la calculadora científica per fer estadística observarem que una de les funcions predefinides de la màquina correspon a una tecla amb la grafia $\sum\,x^2$. Per què serveix aquesta tecla ? - hem preguntem alguns alumnes quan encara no hi estan prou avesats -. Bé, aquesta tecla serveix - havent entrat cada valor de la variable estadística $X$ - per calcular la variància de la varible estadística X fent ús de la propietat
$V_x = \frac{1}{n}\sum\,x^2 -\big(\frac{1}{n\,}\sum\,x\big)^2$
( on $n$ és el nombre de valors de $X$ )
la qual es demostra a partir de la definició de variància (mitjana aritmètica de les desviacions al quadrat del conjunt de valor de X respecte de la mitjan aritmètica). Calcular la variància fent ús de la propietat esmentada és molt més eficient a efectes de càlcul que no pas fer ús de la definició.
Recordem que la desviació estàndard es igual a l'arrel quadrada de la variància. També podem conèixer-la fent ús de la calculadora, de forma directa, prement la tecla que porta la grafia $\sigma_n$ (si treballem amb la població) o bé $\sigma_{n-1}$ (si treballem amb una mostra de la poblacio).
No obstant això, pot ser interessant conèixer el valor de la suma dels quadrats del valors de $X$ amb altres finalitats. Per exemple, quan resolem un problema de regressió lineal de $Y$ sobre $X$, per calcular el pendent de la recta de regressió lineal que és igual a la la raó entre la covariància de les variables $X$ i $Y$ i la la variància de la distribució marginal de $X$ (havent calculat la covariància amb l'ajut d'una taula de valors).
Per altra banda, alguns models de calculadores científiques més senzilles (els antics models de la C. fx82 del segle passat) permeten també fer càlculs elementals de correlació lineal entre variables; per això, cal fer ús de la tecla $\sum\,xy$, la qual serveix per calcular la covariància
$C(X,Y) = \frac{1}{n}\,\sum\,xy - \big(\frac{1}{n}\,\sum\,x \big) \cdot \big(\frac{1}{n}\,\sum\,y \big)$
Val a dir que els models de calculadores científiques elementals actuals, com ara la C. fx 82 MS, permeten calcular els coeficients de la recta de regressió lineal entre les variables $X$ i $Y$ d'una forma molt còmoda i directa (que no pas en en el cas dels models antics de la mateixa màquina): s'obté fàcilment (amb la pulsació de la tecla corresponent): el pendent, l'ordenada a l'origen i el coeficient de correlació lineal o de Pearson.
Fent ús dels models moderns de les calculadores científiques bàsiques (C. fx 82 xx ), també podem consultar sobre el valor de les sumes esmentades, sobre la distribució conjunta i les d. marginals. I, a més, també és possible treballar amb altres patrons de correlació (models: potencial, exponencial, logarítmica ...). Aquest model bàsic, o bé d'altres equivalents (d'aquesta o d'altres marques) és permès als exàmens de les PAU i als exàmens de les assignatures de primer cicle de moltes llicenciatures i diplomatures; no és així amb d'altres models, més avançats de calculadores científiques (calculadores gràfiques o bé calculadores programables).
Les modernes calculadores científiques (tot i tractant-se dels models bàsics) permeten entrar el valor i la freqüència corresponent en una taula de freqüències que apareix a la pantalla, fent estalvi de l'antic procediment (antigues calculadores fx 82) consistent a suma de forma acumulada fent <"valor" ; "freqüència"> M+ (havent ordenat prèviament els valors de $X$ en una taula de freqüències amb llapis i paper.
Aquest utilitat (taules de freqüències en pantalla) ens permet també fer servir les funcions estadístiques per fer càlculs de variable aleatòria discreta (Batxillerat). Per tant, podrem calcular l'esperança matemàtica (o valor esperat) i la variància de la v.a. discreta X fent servir les mateixes tecles emprades per resoldre problemes d'estadística descriptiva d'una variable estadística.
Les calculadores que incorporen mòduls de càlcul simbòlic no es permeten actualment als exàmens de les PAU i tampoc als exàmens de les matèries de primer curs de molts estudis de grau (universitat); ara bé, el seu ús com a eina d'estudi (així com altres elements del programari matemàtic: MAXIMA, DERIVE, SCILAB, etcètera) és - naturalment - altament recomanable.
Interés simple e interés compuesto ( artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Dipositem per un temps de $8$ anys un capital inicial, $C_0$, de $1\,500,00 \, \text{euro}$ en un compte bancari, a una taxa d'interès nominal, $i$, del $2\,\%$ anual. Calculeu el capital final $C_8$, i el valor de l'interès final, $I_{8}$, d'acord amb els següents models:
(a) interès simple
(a) interès compost
Solució:
Designem per $n$ el nombre d'intervals de temps al final de cadascun dels quals es fan efectius els interessos i que en el cas que ens toca és igual a $8$ anys. Llavors,
(a)
Segons el model d'interès simple ( progressió aritmètica ) l'interès final és
$I_{n}=C_{0}\,i\,n$
per tant
$I_{8}=1\,500,00 \cdot 0,02\cdot 8 = 240,00 \, \text{euro}$
i el capital final,
$C_n=C_0+I_n$
és igual a
$C_8=1\,500,00+240,00 = 1\,740,00 \, \text{euro}$
(b)
Segons el model d'interès simple ( progressió geomètrica ) el capital final és
$C_{n}=C_{0}\,\big(1+i\big)^{n}$
per tant
$C_{8}=C_{0}\,\big(1+0,02\big)^{8} \approx 1\,757,49 \, \text{euro}$
i l'interès final serà igual a
$I_n=C_n-C_0$
pren el següent valor
$I_8 = C_8 - C_0 \approx 1\,757,49 - 1\,500,00 \, \text{euro}$
$ \approx 257,49 \, \text{euro} $
$\square$
sábado, 14 de marzo de 2015
Cálculo con logaritmos ( artículo escrito en catalán )
La idea central del càlcul logarítmic es, de fet, senzilla. Considerem les potències successives d'una base donada, per exemple, de base $2$:
$\{2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},2^{5},2^{6},2^{7},2^{8},2^{9},2^{10}, \ldots \}$, és a dir,
$\{1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,\ldots \}$. Observem que si volem multiplicar dos nombres d'aquesta llista, per exemple $16$ per $32$, sense calculadora (ens constarà una mica, no gaire) n'hi ha prou que, entenent que el resultat ha de ser, lògicament, una altra potència de base $2$, ens adonem, a més a més, que ha de ser aquella que tingui com a exponent la suma dels exponents dels dos factors, $16$ i $32$ - expressats com a potències: $2^4$ i $2^5$ -, és a dir, el resultat (del producte) ha de ser la potència de base $2$ i exponent igual a $4+5$. Si tenim tabulats els valors de les potències en relació a l'exponent, tan sols caldrà consultar aquestes taules i ens estalviarem de fer aquesta multiplicació amb llapis i paper. Certament, els nombres $16$ i $32$ no són pas tan terribles; ho podríem fer amb llapis i paper sense tenir molts problemes – recordem que hem decidit no fer ús de la calculadora i volem reproduir la idea central del càlcul logarítmic, com en el segle disset -, però i si volguéssim multiplicar $32768$ per $2048$ (dos nombres que també són potències de base $2$, amb exponents respectius $15$ i $11$) ? Ara ja li comencem a veure el sentit, oi ? Doncs bé, procedirem de manera semblant. Diguem, primer de tot, que s'anomena logaritme en base $2$ a l'exponent de la potència (en base $2$) i antilogaritme al valor de la potència - tal com hem comentat, aquestes dues quantitats se suposa que les tenim tabulades i que les podem fer servir sempre que vulguem fer, per exemple, una multiplicació -; llavors, tan sols ens cal sumar els exponents dels factors (els logaritmes) i a partir del resultat d'aquesta suma, consultar la taula per trobar l'antilogaritme (el resultat del producte).
Esquematitzem aquests passos per fer-ne remarca:
Volem multiplicar $32768 \cdot 2048$, per això, llegim els exponents a les taules ( $15$ i $11$ ) i els sumem, $15+11 = 26$. A continuació, consultem a les taules quin és l'antilogaritme corresponent a l'exponent $26$ i obtenim el resultat de la multiplicació: $67\,108\,864$
Si en comptes de multiplicar volem dividir, per les propietats de les potències, caldrà fer quelcom semblant, però restant els logaritmes i, amb aquesta quantitat, llegir el valor de l'antilogaritme a les taules. I, no cal dir que també podem efectuar potències successives, calcular radicals, etcètera
Tot el que s'acaba de dir per a potències de base $2$ es pot generalitzar en la propietat
$\log_{b}{a}=l \Leftrightarrow b^l=a$, sigui quin sigui el valor de la base $b$ escollida (a l'exemple, per simplicitat, he escollit el valor $2$). Per calcular amb logaritmes, tan a les rutines numèriques de les calculadores científiques o dels programes de càlcul científic, com a les taules (que es feien servir no fa pas tants anys), s'utilitzen (de forma estàndard), les bases $10$ (logaritmes decimals o de Briggs) i la base $e=2,718281828 \ldots$ (logaritmes natural o de Neper , llatinització del cognom de John Napier).
¿ Es cierta la igualdad $\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$ para cualesquiera $a,b \in \mathbb{R}$ y para todo $n\in \mathbb{Z}^{+}$ ? Justificar la respuesta.
¿ Es cierta la igualdad $\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$ para cualesquiera $a,b \in \mathbb{R}$ y para todo $n\in \mathbb{Z}^{+}$ ? Justificar la respuesta.
SOLUCIÓN:
Veamos que la igualada es falsa mediante un contraejemplo:
Consideremos $a=9$, $b=4$ i $n=2$. Entonces,
$\sqrt[2]{4+9}=\sqrt[2]{13}$
y
$\sqrt[2]{4}+\sqrt[2]{9}=2+3=5$
sin embargo, es claro que
$\sqrt[2]{13}\neq 5$
luego podemos afirmar que
$\sqrt[n]{a+b} \neq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$
$\square$