miércoles, 16 de marzo de 2016
domingo, 13 de marzo de 2016
Encontrar el máximo de la función teniendo en cuenta que ...
ENUNCIADO. Los beneficios mensuales ( en unidades monetarias arbitrarias ) de una empresa dedicada a la fabricación de un cierto tipo de aparatos electrónicos dependen del número de aparatos fabricados, $x$ ( en miles de unidades ), según la función $f(x)=2\,x^3-15\,x^2+36\,x-19$. La empresa puede optar a producir entre $1$ millar y $3$ millares de aparatos. ¿ Cuál es el número de aparatos se deberían fabricar para obtener beneficio máximo ? ¿ Cuál es el valor de dicho beneficio máximo ?.
SOLUCIÓN. La condición necesaria para que existan extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función obtenemos $f'(x)=6\,x^2-30\,x+36$, e imponiendo la condición: $$6\,x^2-30\,x+36=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ 2 \end{matrix}\right.$$
Observemos que la primera derivada a la izquierda de $x_{1}^{*}=2$ es positiva ( por ejemplo, en $x=1$, $f'(1) > 0$ ) y a su derecha es negativa ( por ejemplo, en $x=3$, $f'(3) < 0$ ), luego $f$ alcanza un un máximo local en $x_{1}^{*}=2$ ( y como, para un polinomio, los máximos y mínimos se alternan, $f$ alcanza un mínimo en $x_{2}^*=3$ ). El máximo local encontrado es, además, el máximo absoluto de $f$ en el intervalo $[1\,,\,3]$ ); por tanto, habrá que producir $2$ millares de aparatos para obtener el benefició máximo; y el valor de éste es igual a $f(2)=2\cdot 2^3-15\cdot 2^2+36\cdot 2-19=9$ ( unidades monetarias arbitrarias ). $\square$
SOLUCIÓN. La condición necesaria para que existan extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función obtenemos $f'(x)=6\,x^2-30\,x+36$, e imponiendo la condición: $$6\,x^2-30\,x+36=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ 2 \end{matrix}\right.$$
Observemos que la primera derivada a la izquierda de $x_{1}^{*}=2$ es positiva ( por ejemplo, en $x=1$, $f'(1) > 0$ ) y a su derecha es negativa ( por ejemplo, en $x=3$, $f'(3) < 0$ ), luego $f$ alcanza un un máximo local en $x_{1}^{*}=2$ ( y como, para un polinomio, los máximos y mínimos se alternan, $f$ alcanza un mínimo en $x_{2}^*=3$ ). El máximo local encontrado es, además, el máximo absoluto de $f$ en el intervalo $[1\,,\,3]$ ); por tanto, habrá que producir $2$ millares de aparatos para obtener el benefició máximo; y el valor de éste es igual a $f(2)=2\cdot 2^3-15\cdot 2^2+36\cdot 2-19=9$ ( unidades monetarias arbitrarias ). $\square$
Determinar la ecuación de la recta tangente ...
ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=-x^2+3$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=1$. Finalmente, representar la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente pedida en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )
Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$
Representación gráfica:
$\square$
SOLUCIÓN.
Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )
Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$
Representación gráfica:
$\square$
Determinar las rectas asíntotas de la función ...
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=\dfrac{5x^2}{2x-1}$. Se pide:
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$
b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.
Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$
Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$
Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$
Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:
width=200
$\square$
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$
b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.
Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$
Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$
Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$
Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:
width=200$\square$
Un ejercicio de composición de funciones y de cálculo de funciones recíprocas
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x}$ y $g(x)=\ln\,(x+1)$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, esto es $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}^{*}$
b) $\text{Dom}\,g=\{x\in \mathbb{R}:x+1>0\}=(-2\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
d) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x})=\ln\,(\dfrac{1}{x}+1))=\ln\,(\dfrac{x+1}{x})$
e) Si $y=\dfrac{1}{x}$ ( función $f(x)$ ), entonces $x=\dfrac{1}{y}$, luego la función recíproca es $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}$
f) Si $y=\ln\,(x+1)$ ( función $f(x)$ ), entonces $x+1=e^y$, y, por tanto, $x=e^y-1$, luego la función recíproca es $g^{-1}(x)=e^x-1$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}^*$ ( todos los números reales, a excepción del $0$, para evitar la división por cero )
h) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, esto es $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}^{*}$
b) $\text{Dom}\,g=\{x\in \mathbb{R}:x+1>0\}=(-2\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
d) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x})=\ln\,(\dfrac{1}{x}+1))=\ln\,(\dfrac{x+1}{x})$
e) Si $y=\dfrac{1}{x}$ ( función $f(x)$ ), entonces $x=\dfrac{1}{y}$, luego la función recíproca es $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}$
f) Si $y=\ln\,(x+1)$ ( función $f(x)$ ), entonces $x+1=e^y$, y, por tanto, $x=e^y-1$, luego la función recíproca es $g^{-1}(x)=e^x-1$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}^*$ ( todos los números reales, a excepción del $0$, para evitar la división por cero )
h) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
Un ejercicio de interpolación lineal
ENUNCIADO. Determinar la función lineal interpoladora, dados los puntos: $A(-1,1)$ y $B(1,2)$. ¿ Cuál es la imagen de $\dfrac{1}{2}$ según dicha función ? ¿ Cuál es la antiimagen de $7$ ?
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=m\,x+k$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}1&=&m\cdot (-1)&+&k\\2&=&m\cdot 1&+&k\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}1&=&-m&+&k\\2&=&m&+&k\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $m=\dfrac{1}{2}$ y $k=\dfrac{3}{2}$, con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{2}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{4}$$
Y la ( la función $f$ es biyectiva ) antiimagen de $7$ corresponde a la solución de la ecuación $$7=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 14=x+3 \Leftrightarrow x=14-3=11$$
$\square$
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=m\,x+k$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}1&=&m\cdot (-1)&+&k\\2&=&m\cdot 1&+&k\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}1&=&-m&+&k\\2&=&m&+&k\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $m=\dfrac{1}{2}$ y $k=\dfrac{3}{2}$, con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{2}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{4}$$
Y la ( la función $f$ es biyectiva ) antiimagen de $7$ corresponde a la solución de la ecuación $$7=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 14=x+3 \Leftrightarrow x=14-3=11$$
$\square$
Un ejercicio de interpolación cuadrática
ENUNCIADO. Determinar la función cuadrática interpoladora, dados los puntos: $A(-1,0)$, $B(0,-1)$ y $C(1,1)$. ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto de abscisa $\dfrac{1}{3}$ según dicha función ? ¿ Cuáles son las antiimagenes de $2$ ?.
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}0&=&a\cdot (-1)^2&+&b\cdot (-1)&+&c\\-1&=&a\cdot 0^2&+&b\cdot 0&+&c\\1&=&a\cdot 1^2&+&b\cdot 1&+&c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&a&-&b&+&c\\-1&=&&&&&c\\1&=&a&+&b&+&c\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $a=\dfrac{3}{2}$, $b=\dfrac{1}{2}$ y $c=-1$ con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{3}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{2}\cdot (\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$$
Y las antiimágenes de $2$ son las soluciones de la ecuación $$2=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1 \Leftrightarrow 3\,x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{73}}{6}\\\\\dfrac{-1-\sqrt{73}}{6}\end{matrix}\right.$$
$\square$
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}0&=&a\cdot (-1)^2&+&b\cdot (-1)&+&c\\-1&=&a\cdot 0^2&+&b\cdot 0&+&c\\1&=&a\cdot 1^2&+&b\cdot 1&+&c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&a&-&b&+&c\\-1&=&&&&&c\\1&=&a&+&b&+&c\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $a=\dfrac{3}{2}$, $b=\dfrac{1}{2}$ y $c=-1$ con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{3}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{2}\cdot (\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$$
Y las antiimágenes de $2$ son las soluciones de la ecuación $$2=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1 \Leftrightarrow 3\,x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{73}}{6}\\\\\dfrac{-1-\sqrt{73}}{6}\end{matrix}\right.$$
$\square$
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