miércoles, 16 de marzo de 2016
domingo, 13 de marzo de 2016
Encontrar el máximo de la función teniendo en cuenta que ...
ENUNCIADO. Los beneficios mensuales ( en unidades monetarias arbitrarias ) de una empresa dedicada a la fabricación de un cierto tipo de aparatos electrónicos dependen del número de aparatos fabricados, $x$ ( en miles de unidades ), según la función $f(x)=2\,x^3-15\,x^2+36\,x-19$. La empresa puede optar a producir entre $1$ millar y $3$ millares de aparatos. ¿Cuál es el número de aparatos se deberían fabricar para obtener beneficio máximo? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio máximo?
SOLUCIÓN. La condición necesaria para que existan extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función obtenemos $f'(x)=6\,x^2-30\,x+36$, e imponiendo la condición: $$6\,x^2-30\,x+36=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ 2 \end{matrix}\right.$$
Observemos que la primera derivada a la izquierda de $x_{1}^{*}=2$ es positiva ( por ejemplo, en $x=1$, $f'(1) > 0$ ) y a su derecha es negativa ( por ejemplo, en $x=3$, $f'(3) < 0$ ), luego $f$ alcanza un un máximo local en $x_{1}^{*}=2$ ( y como, para un polinomio, los máximos y mínimos se alternan, $f$ alcanza un mínimo en $x_{2}^*=3$ ). El máximo local encontrado es, además, el máximo absoluto de $f$ en el intervalo $[1\,,\,3]$ ); por tanto, habrá que producir $2$ millares de aparatos para obtener el benefició máximo; y el valor de éste es igual a $f(2)=2\cdot 2^3-15\cdot 2^2+36\cdot 2-19=9$ ( unidades monetarias arbitrarias ). $\square$
SOLUCIÓN. La condición necesaria para que existan extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función obtenemos $f'(x)=6\,x^2-30\,x+36$, e imponiendo la condición: $$6\,x^2-30\,x+36=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ 2 \end{matrix}\right.$$
Observemos que la primera derivada a la izquierda de $x_{1}^{*}=2$ es positiva ( por ejemplo, en $x=1$, $f'(1) > 0$ ) y a su derecha es negativa ( por ejemplo, en $x=3$, $f'(3) < 0$ ), luego $f$ alcanza un un máximo local en $x_{1}^{*}=2$ ( y como, para un polinomio, los máximos y mínimos se alternan, $f$ alcanza un mínimo en $x_{2}^*=3$ ). El máximo local encontrado es, además, el máximo absoluto de $f$ en el intervalo $[1\,,\,3]$ ); por tanto, habrá que producir $2$ millares de aparatos para obtener el benefició máximo; y el valor de éste es igual a $f(2)=2\cdot 2^3-15\cdot 2^2+36\cdot 2-19=9$ ( unidades monetarias arbitrarias ). $\square$
Determinar la ecuación de la recta tangente ...
ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=-x^2+3$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=1$. Finalmente, representar la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente pedida en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )
Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$
Representación gráfica:
$\square$
SOLUCIÓN.
Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )
Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$
Representación gráfica:
$\square$
Determinar las rectas asíntotas de la función ...
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=\dfrac{5x^2}{2x-1}$. Se pide:
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$
b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.
Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$
Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$
Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$
Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:
width=200
$\square$
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$
b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.
Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$
Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$
Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$
Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:
width=200$\square$
Un ejercicio de composición de funciones y de cálculo de funciones recíprocas
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x}$ y $g(x)=\ln\,(x+1)$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, esto es $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}^{*}$
b) $\text{Dom}\,g=\{x\in \mathbb{R}:x+1>0\}=(-2\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
d) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x})=\ln\,(\dfrac{1}{x}+1))=\ln\,(\dfrac{x+1}{x})$
e) Si $y=\dfrac{1}{x}$ ( función $f(x)$ ), entonces $x=\dfrac{1}{y}$, luego la función recíproca es $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}$
f) Si $y=\ln\,(x+1)$ ( función $f(x)$ ), entonces $x+1=e^y$, y, por tanto, $x=e^y-1$, luego la función recíproca es $g^{-1}(x)=e^x-1$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}^*$ ( todos los números reales, a excepción del $0$, para evitar la división por cero )
h) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, esto es $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}^{*}$
b) $\text{Dom}\,g=\{x\in \mathbb{R}:x+1>0\}=(-2\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
d) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x})=\ln\,(\dfrac{1}{x}+1))=\ln\,(\dfrac{x+1}{x})$
e) Si $y=\dfrac{1}{x}$ ( función $f(x)$ ), entonces $x=\dfrac{1}{y}$, luego la función recíproca es $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}$
f) Si $y=\ln\,(x+1)$ ( función $f(x)$ ), entonces $x+1=e^y$, y, por tanto, $x=e^y-1$, luego la función recíproca es $g^{-1}(x)=e^x-1$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}^*$ ( todos los números reales, a excepción del $0$, para evitar la división por cero )
h) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
Un ejercicio de interpolación lineal
ENUNCIADO. Determinar la función lineal interpoladora, dados los puntos: $A(-1,1)$ y $B(1,2)$. ¿ Cuál es la imagen de $\dfrac{1}{2}$ según dicha función ? ¿ Cuál es la antiimagen de $7$ ?
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=m\,x+k$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}1&=&m\cdot (-1)&+&k\\2&=&m\cdot 1&+&k\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}1&=&-m&+&k\\2&=&m&+&k\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $m=\dfrac{1}{2}$ y $k=\dfrac{3}{2}$, con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{2}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{4}$$
Y la ( la función $f$ es biyectiva ) antiimagen de $7$ corresponde a la solución de la ecuación $$7=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 14=x+3 \Leftrightarrow x=14-3=11$$
$\square$
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=m\,x+k$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}1&=&m\cdot (-1)&+&k\\2&=&m\cdot 1&+&k\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}1&=&-m&+&k\\2&=&m&+&k\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $m=\dfrac{1}{2}$ y $k=\dfrac{3}{2}$, con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{2}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{4}$$
Y la ( la función $f$ es biyectiva ) antiimagen de $7$ corresponde a la solución de la ecuación $$7=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 14=x+3 \Leftrightarrow x=14-3=11$$
$\square$
Un ejercicio de interpolación cuadrática
ENUNCIADO. Determinar la función cuadrática interpoladora, dados los puntos: $A(-1,0)$, $B(0,-1)$ y $C(1,1)$. ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto de abscisa $\dfrac{1}{3}$ según dicha función ? ¿ Cuáles son las antiimagenes de $2$ ?.
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}0&=&a\cdot (-1)^2&+&b\cdot (-1)&+&c\\-1&=&a\cdot 0^2&+&b\cdot 0&+&c\\1&=&a\cdot 1^2&+&b\cdot 1&+&c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&a&-&b&+&c\\-1&=&&&&&c\\1&=&a&+&b&+&c\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $a=\dfrac{3}{2}$, $b=\dfrac{1}{2}$ y $c=-1$ con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{3}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{2}\cdot (\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$$
Y las antiimágenes de $2$ son las soluciones de la ecuación $$2=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1 \Leftrightarrow 3\,x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{73}}{6}\\\\\dfrac{-1-\sqrt{73}}{6}\end{matrix}\right.$$
$\square$
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}0&=&a\cdot (-1)^2&+&b\cdot (-1)&+&c\\-1&=&a\cdot 0^2&+&b\cdot 0&+&c\\1&=&a\cdot 1^2&+&b\cdot 1&+&c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&a&-&b&+&c\\-1&=&&&&&c\\1&=&a&+&b&+&c\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $a=\dfrac{3}{2}$, $b=\dfrac{1}{2}$ y $c=-1$ con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{3}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{2}\cdot (\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$$
Y las antiimágenes de $2$ son las soluciones de la ecuación $$2=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1 \Leftrightarrow 3\,x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{73}}{6}\\\\\dfrac{-1-\sqrt{73}}{6}\end{matrix}\right.$$
$\square$
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