ENUNCIADO. En una urna hay $2$ bolas blancas y $10$ bolas negras. Realizamos extracciones sucesivas sin reemplazamiento hasta que salga la primera bola blanca. ¿ Cuál es la probabilidad de que ésta salga en la sexta extracción ? ¿ En qué extracción se espera que salga ( esperanza matemática de la variable aleatoria "número de orden de extracción en la que aparece bola blanca" ) ? ¿ Tiene ese valor ( la esperanza matemática ) mucha incertidumbre en este caso ?
SOLUCIÓN. El modelo geométrico de variable aleatoria se ajusta al experimento descrito, siendo los valores de la variable aleatoria: $\{1,2,\ldots,12\}$. Así, $P\{X=6\}=q^{6-1}\,p$, donde $p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$ y $q\equiv 1-p=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$. Por tanto, $P\{X=6\}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{6-1} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1024}{15625} \approx 0{,}0655$
La esperanza matemática en este modelo de distribución de probabilidad viene dado por $E[X]=\dfrac{1}{p}$, luego se espera que la bola blanca aparezca en el lanzamiento número $\dfrac{1}{1/5}=5$. La desviación estándar, $\sqrt{V[X]}$, es igual ( en este modelo ) a $\sqrt{\dfrac{1-p}{p^2}}$, que, con los datos del problema tiene el siguiente valor $\sqrt{\dfrac{1-1/5}{(4/5)^2}}=\sqrt{20} \approx 5$, muy alto en comparación con el de la esperanza matemática, lo cual indica que la incertidumbre de ésta es muy grande. $\square$
jueves, 2 de junio de 2016
Probabilidad de sacar una pareja de bolas del mismo color ...
ENUNCIADO. En una urna hay $10$ bolas, de las cuales: $5$ son blancas, $3$ son verdes, y las restantes son negras. Calcular la probabilidad de que al extraer dos bolas ( una después de la otra ) de la urna resulten ser del mismo color, en las siguientes condiciones:
a) sin reemplazar la primera bola extraída
b) reemplazando la primera bola extraída
SOLUCIÓN. Si asumimos que las bolas se pueden distinguir ( sin recurrir al color de las mismas ), podemos pensar en un espacio muestral cuyos sucesos elementales son equiproblables, por lo que podremos aplicar la regla de Laplace, que ( recordemos ) dice lo siguiente: para un suceso $S$ ( en nuestro caso "extraer las dos bolas del mismo color" ), $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$, donde $N(S)$ es el número de maneras en que puede darse $S$ y $N$ denota el número total de posibilidades.
a)
Si no reemplazamos la primera bola, extraer las dos bolas ( una tras otra ) equivale a extraer las dos bolas a la vez. En estas condiciones, el número (total) de maneras de elegir dos bolas cualesquiera es $N=C_{10,2}=45$.
Por otra parte, en el supuesto de tener que elegir dos bolas blancas, podemos hacerlo de $C_{5,2}=10$ maneras distintas; el número de maneras de elegir dos bolas verdes es $C_{3,2}=3$, y el número de maneras de elegir dos bolas negras es $C_{10-(5+3),2}=1$. Luego, por el principio de adición, tenemos un total de $N(S)=10 + 3 + 1 = 14$ maneras de elegir dos bolas del mismo color.
Aplicando, pues, la regla de Laplace: $P(S)=\dfrac{14}{45} \approx 0{,}31$
b)
Si reemplazamos la primera bola, el número (total) de maneras de elegir dos bolas cualesquiera es $N=\text{VR}_{10,2}=10^2=100$.
Por otra parte, en el supuesto de tener que elegir dos bolas blancas, podemos hacerlo de $\text{VR}_{5,2}=5^2=25$ maneras distintas; el número de maneras de elegir dos bolas verdes es $\text{VR}_{3,2}=3^2=9$, y el número de maneras de elegir dos bolas negras es $\text{VR}_{10-(5+3),2}=2^2=4$. Luego, por el principio de adición, tenemos un total de $N(S)=25 + 9 + 4 = 38$ maneras de elegir dos bolas del mismo color.
Aplicando, pues, la regla de Laplace: $P(S)=\dfrac{38}{100}=0{,}38$
$\square$
a) sin reemplazar la primera bola extraída
b) reemplazando la primera bola extraída
SOLUCIÓN. Si asumimos que las bolas se pueden distinguir ( sin recurrir al color de las mismas ), podemos pensar en un espacio muestral cuyos sucesos elementales son equiproblables, por lo que podremos aplicar la regla de Laplace, que ( recordemos ) dice lo siguiente: para un suceso $S$ ( en nuestro caso "extraer las dos bolas del mismo color" ), $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$, donde $N(S)$ es el número de maneras en que puede darse $S$ y $N$ denota el número total de posibilidades.
a)
Si no reemplazamos la primera bola, extraer las dos bolas ( una tras otra ) equivale a extraer las dos bolas a la vez. En estas condiciones, el número (total) de maneras de elegir dos bolas cualesquiera es $N=C_{10,2}=45$.
Por otra parte, en el supuesto de tener que elegir dos bolas blancas, podemos hacerlo de $C_{5,2}=10$ maneras distintas; el número de maneras de elegir dos bolas verdes es $C_{3,2}=3$, y el número de maneras de elegir dos bolas negras es $C_{10-(5+3),2}=1$. Luego, por el principio de adición, tenemos un total de $N(S)=10 + 3 + 1 = 14$ maneras de elegir dos bolas del mismo color.
Aplicando, pues, la regla de Laplace: $P(S)=\dfrac{14}{45} \approx 0{,}31$
b)
Si reemplazamos la primera bola, el número (total) de maneras de elegir dos bolas cualesquiera es $N=\text{VR}_{10,2}=10^2=100$.
Por otra parte, en el supuesto de tener que elegir dos bolas blancas, podemos hacerlo de $\text{VR}_{5,2}=5^2=25$ maneras distintas; el número de maneras de elegir dos bolas verdes es $\text{VR}_{3,2}=3^2=9$, y el número de maneras de elegir dos bolas negras es $\text{VR}_{10-(5+3),2}=2^2=4$. Luego, por el principio de adición, tenemos un total de $N(S)=25 + 9 + 4 = 38$ maneras de elegir dos bolas del mismo color.
Aplicando, pues, la regla de Laplace: $P(S)=\dfrac{38}{100}=0{,}38$
$\square$
Operaciones con sucesos. Álgebra de sucesos.
ENUNCIADO. Sea un experimento aleatorio $\mathcal{E}$, y $\Omega$ es espacio muestral asociado. Sean $A$, $B$ y $C$ tres sucesos del álgebra de sucesos $\mathcal{A}$. Traducir las siguientes afirmaciones al lenguaje del álgebra de sucesos:
a) Sólo sucede $A$
b) Si sucede $A$, no sucede $B$
c) No sucede ninguno de los tres sucesos
d) Suceden al menos dos de los tres sucesos
e) Sucede exactamente uno de los tres sucesos
f) Sólo sucede uno de los tres sucesos
SOLUCIÓN.
a) $A \cap \bar{B} \cap \bar{C}$
b) $A \subset\bar{B}$
c) $\overline{A \cup B \cup C}$
d) $\overline{ \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}}$
e) $(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)$
f) misma respuesta que a la pregunta e)
$\square$
a) Sólo sucede $A$
b) Si sucede $A$, no sucede $B$
c) No sucede ninguno de los tres sucesos
d) Suceden al menos dos de los tres sucesos
e) Sucede exactamente uno de los tres sucesos
f) Sólo sucede uno de los tres sucesos
SOLUCIÓN.
a) $A \cap \bar{B} \cap \bar{C}$
b) $A \subset\bar{B}$
c) $\overline{A \cup B \cup C}$
d) $\overline{ \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}}$
e) $(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)$
f) misma respuesta que a la pregunta e)
$\square$
Cálculos con la distribución normal
ENUNCIADO. Sea X es una variable aleatoria de una distribución $N(µ, σ)$, calcular $P\{\mu−3\sigma \le X \le \mu+3\,\sigma\}$
SOLUCIÓN.
$P\{\mu−3\sigma \le X \le \mu+3\,\sigma\}=$
$=P\{X \le \mu+3\,\sigma\}-P\{X \le \mu-3\,\sigma\}$
$=P\{Z \le \dfrac{(\mu+3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}-P\{Z \le \dfrac{(\mu-3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}$ ( tipificando ( transformado ) la variable $X \rightarrow Z$: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$, correspondiendo a ésta una distribución $N(0,1)$ )
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \le -3\}$
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \ge 3\}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto al eje de ordenadas )
$=P\{Z \le 3\}-(1-P\{Z \le 3\})$ ( por la propiedad del contrario )
$=2\,P\{Z \le 3\}-1$
$=2\,F(3)-1$, donde $F(z)$ es la función de distribución de probabilidad, $N(0,1)$
$=2 \cdot 0{,}9987-1$ ( consultando las tablas de la distribución de probabilidad $N(0,1)$ )
$=0{,}9974$
$\square$
SOLUCIÓN.
$P\{\mu−3\sigma \le X \le \mu+3\,\sigma\}=$
$=P\{X \le \mu+3\,\sigma\}-P\{X \le \mu-3\,\sigma\}$
$=P\{Z \le \dfrac{(\mu+3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}-P\{Z \le \dfrac{(\mu-3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}$ ( tipificando ( transformado ) la variable $X \rightarrow Z$: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$, correspondiendo a ésta una distribución $N(0,1)$ )
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \le -3\}$
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \ge 3\}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto al eje de ordenadas )
$=P\{Z \le 3\}-(1-P\{Z \le 3\})$ ( por la propiedad del contrario )
$=2\,P\{Z \le 3\}-1$
$=2\,F(3)-1$, donde $F(z)$ es la función de distribución de probabilidad, $N(0,1)$
$=2 \cdot 0{,}9987-1$ ( consultando las tablas de la distribución de probabilidad $N(0,1)$ )
$=0{,}9974$
$\square$
Utilizando el autobús ...
ENUNCIADO. Una empresa de transportes realiza un estudio sobre el número de veces que semanalmente utilizan el autobús los usuarios. Se sabe que los datos se distribuyen en una normal $N(8,2)$. Calcular la probabilidad de que un usuario elegido al azar utilice el autobús:
a) más de $10$ veces
b) menos de $5$ veces
SOLUCIÓN.
a)
$P\{X \succ 10\}=P\{Z \succ \dfrac{10-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \succ 1 \}$
$=1-P\{Z \le 1 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1)$ siendo $F(z)$ la función de distribución de probabilidad, cuyos valores aparecen en las tablas de la variable $Z$
$=1-0{,}8413$
$=0{,}1587$
b)
$P\{X \prec 5\}=P\{Z \prec \dfrac{5-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \prec -1{,}5 \}$
$=P\{Z \succ 1{,}5 \}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto del eje de ordenadas )
$=1-P\{Z \le 1{,}5 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1{,}5)$
$=1-0{,}9332$
$=0{,}0688$
$\square$
a) más de $10$ veces
b) menos de $5$ veces
SOLUCIÓN.
a)
$P\{X \succ 10\}=P\{Z \succ \dfrac{10-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \succ 1 \}$
$=1-P\{Z \le 1 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1)$ siendo $F(z)$ la función de distribución de probabilidad, cuyos valores aparecen en las tablas de la variable $Z$
$=1-0{,}8413$
$=0{,}1587$
b)
$P\{X \prec 5\}=P\{Z \prec \dfrac{5-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \prec -1{,}5 \}$
$=P\{Z \succ 1{,}5 \}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto del eje de ordenadas )
$=1-P\{Z \le 1{,}5 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1{,}5)$
$=1-0{,}9332$
$=0{,}0688$
$\square$
miércoles, 1 de junio de 2016
Aplicando el modelo binomial y el modelo hipergeométrico para resolver problemas de extracciones sucesivas de urnas ( con y sin reemplazamiento )
ENUNCIADO. En una urna hay $N:=13$ bolas, de las cuales $n_b:=8$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n:=4$ extracciones sucesivas ( de bola ). Mediante el uso del modelo de variable aleatoria adecuado [leer este artículo], calcular la probabilidad de que aparezcan exactamente $x:=3$ bolas blancas, en las siguientes condiciones:
a) las extracciones se realizan con reemplazamiento
b) las extracciones se realizan sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
a)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución binomial, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad binomial para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \binom{4}{3}\,(\dfrac{8}{13})^{3}\cdot (1-\dfrac{8}{13})^{4-3}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: También podemos resolver el problema sin emplear la función de probabilidad del modelo binomial: aplicando los métodos combinatorios. En estas condiciones del experimento y por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x:=3$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{4}^{3,4-1}\cdot \text{VR}_{8,3}\cdot \text{VR}_{5,1}}{\text{VR}_{13,4}}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
b)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución hipergeométrica, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad hipergeométrica para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{8}{3}\cdot \binom{13-8}{4-3}}{\binom{13}{4}}=0{,}3916 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: Recordemos que la función de probabilidad hipergeométrica se deduce aplicando los métodos combinatorios adecuados a este caso.
$\square$
a) las extracciones se realizan con reemplazamiento
b) las extracciones se realizan sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
a)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución binomial, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad binomial para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \binom{4}{3}\,(\dfrac{8}{13})^{3}\cdot (1-\dfrac{8}{13})^{4-3}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: También podemos resolver el problema sin emplear la función de probabilidad del modelo binomial: aplicando los métodos combinatorios. En estas condiciones del experimento y por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x:=3$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{4}^{3,4-1}\cdot \text{VR}_{8,3}\cdot \text{VR}_{5,1}}{\text{VR}_{13,4}}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
b)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución hipergeométrica, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad hipergeométrica para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{8}{3}\cdot \binom{13-8}{4-3}}{\binom{13}{4}}=0{,}3916 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: Recordemos que la función de probabilidad hipergeométrica se deduce aplicando los métodos combinatorios adecuados a este caso.
$\square$
Extracciones sucesivas de bolas de una urna
ENUNCIADO. En una urna hay $N$ bolas, de las cuales $n_b\le N$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n$ extracciones sucesivas ( de bola ), ¿ cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente $x \le n$ bolas blancas ?
OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna
NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.
Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.
SOLUCIÓN.
a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$
Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$
Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$
b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.
Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$
OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna
NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.
Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.
SOLUCIÓN.
a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$
Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$
Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$
b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.
Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$
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