Resolver la ecuación ...

ENUNCIADO. Resolver al siguiente ecuación algebraica $$x^4-6x^2+8=0$$

SOLUCIÓN. Procedemos, encontrar las raíces del polinomio $$P(x)=x^4-6x^2+8$$
empezando con las posibles raíces enteras, que sólo podemos encontrarlas en el conjunto $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\}$, por estos los divisores del término independiente. Probando estos números ( empleando el teorema del resto o bien sustituyendo en la expresión del polinomio ) vemos que las únicas raíces enteras son $-2$ y $2$; en efecto, $P(-2)=0$ y $P(2)=0$, luego dos factores polinómicos de $P(x)$ son $(x-2)$ y $(x+2)$. Dividiendo ahora $P(x)$ entre $(x-2)(x+2)$ se obtiene como cociente el polinomio $x^2-2$, polinomio de segundo grados cuyas raíces son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$. No pueden haber más raíces del polinomio $P(x)$ ya que es de cuarto grado y hemos encontrado cuatro raíces. De todo esto podemos concluir que la solución pedida viene dado por el conjunto de números $$\{-\sqrt{2},\sqrt{2},-2,2\}$$
{\sc Comentario.} Otra forma en que podríamos haber resuelto la ecuación propuesta ( que es bicuadrada ) consistiría en hacer la trasformación $t:=x^2$, llegando a la ecuación $t^2-6t^2+8=0$; resolviéndola por el procedimiento habitual de las ecuaciones de segundo grado y, deshaciendo la transformación ( $x=\sqrt{t}$ ) con los dos valores encontrados para $t$, obteniendo las cuatro raíces. Sin embargo, cabe decir que no todas las ecuaciones de grado $4$ son bicuadradas y por tanto esto no constituye un procedimiento general.
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Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo ...

ENUNCIADO:
Dar una cota de error relativo para la siguiente aproximación por redondeo del número $\pi=3,14159 \ldots$ $$\pi \approx 3,1$$

SOLUCIÓN:
Al aproximar por redondeo hasta la cifra de las décimas ( $n=1$ ) y que todas las cifras del resultado ( la de las unidades y la de las décimas ) significativas sean correctas, debemos tomar una cota de error absoluto, $\Delta$, igual a $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-n}$, que en nuestro caso es $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$. Por tanto, la cota de error relativo correspondiente es $\varepsilon = \dfrac{0,05}{3,1} \approx 0,016 \prec 0,02$; es decir, haciendo esta aproximación ( $\pi \approx 3,1$ ), podemos garantizar una precisión que caracterizamos con un error relativo del $2\,\%$

NOTA: Observemos que ya no podemos garantizar que al realizar la aproximación con una cifra significativa más ( manteniendo la misma cota de error absoluto ) ésta última cifra sea también correcta.

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Resolver la siguiente inecuación

ENUNCIADO:
Encontrar el conjunto de números reales que cumplen la siguiente desigualdad $$(x-1)(x+1) \ge 1$$

SOLUCIÓN:
$$(x-1)(x+1) \ge 1 \Leftrightarrow x^2-1 \ge 1 \Leftrightarrow x^2 \ge 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le -|\sqrt{2}| \\ \text{ó} \\ x \ge |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$ luego el intervalo solución viene dado por la unión de las siguientes semirrectas $$S=(-\infty\,,\,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}\,,\,+\infty)$$ $\square$

Determinar el intervalo de la recta real que ...

ENUNCIADO:
Determinar el intervalo de la recta real que representa la solución de la siguiente inecuación $$| x+1 | \prec 2 $$

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, podemos escribir
$$ | x+1 | \prec 2 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
x+1 \prec 2 & \text{si} & x+1 \succ 0 && (1)\\
0 \prec 2 & \text{si} & x+1 = 0 && (2)\\
-(x+1) \prec 2 & \text{si} & x+1 \prec 0 && (3)\\
\end{matrix}\right.$$

Es claro que de (2) no extraemos información, pero sí de (1): $x + 1 \prec 2 \Leftrightarrow x \prec 1 $; y, también, de (3): $-(x+1) \prec 2 \Leftrightarrow x+1 \succ -2 \Leftrightarrow x \succ -3$. Así, pues, concluimos que el intervalo pedido es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$
-oOo-
Otra forma de resolver este problema es la siguiente. Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad $| x+1 | \prec 2 $, llegamos a $$(x+1)^2 \prec 4$$ El primer miembro de esta inecuación representa los valores de la función $f(x)=(x+1)^2$ ( su trazo en un diagrama cartesiano es una parábola cuyo vértice se encuentra una unidad a la izquierda del origen de coordenadas ), cuyos valores de función son positivos para todo $x$; como dichos valores de función deben ser menores que $4$ ( según la desigualdad que expresa la inecuación), procedemos a encontrar las abscisas críticas ( cuyas ordenadas tienen valor $4$ ): $$(x+1)^2=4 \Leftrightarrow (x+1)=\pm 2 \Leftrightarrow x=-1 \pm 2 = \left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-3 \\
\end{matrix}\right.$$

Entonces, todos los valores mayores que $-3$ y menores que $1$ satisfacen la condición pedida, luego el intervalo solución es $(-3\,,\,1) \subset \mathbb{R}$.

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Se desea cortar un panel de madera ...

ENUNCIADO:
Se desea cortar un panel de madera, de forma cuadrada, de modo que su área sea de $10\,000 \pm 500 \; \text{cm}^2$. ¿ Qué margen de error debe tener la longitud del lado ?.

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que el lado $l$ del cuadrado es igual a $\sqrt{A}$, donde $A$ representa el área del mismo, vemos que el mayor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000+500} \approx 102 \, \text{cm}$, mientras que el menor valor del lado es igual a $\sqrt{10\,000-500} \approx 97 \, \text{cm}$; entonces el valor central del intervalo $(102\,,\,97)$ es $\dfrac{102+97}{2} \approx 100 \, \text{cm}$., y la amplitud de dicho intervalo ( de error o de incertidumbre ) es igual a $102-97$, luego la semi-amplitud del mismo es $\dfrac{102-97}{2} \approx 2 \, \text{cm}$. Así, pues, podemos decir que la longitud del lado ( cuando cortemos el panel ) debe ser igual a $100 \, \text{cm}$, con un margen de error ( o cota de error absoluto ) de $2\,\text{cm}$, cosa que también podemos expresar de la siguiente forma: $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
-oOo-Otra manera de resolver este problema es la siguiente. Como el área se calcula mediante un producto, $A=l\cdot l$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es: $\varepsilon_A = \varepsilon_l + \varepsilon_l$, esto es, $\varepsilon_A=2\,\varepsilon_l$. Teniendo en cuenta que $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{A}$, podemos escribir $\varepsilon_A=\dfrac{500}{10\,000} = 0,025$. Por otra parte, $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{l}$
y $l=\sqrt{A}$, luego $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta_l}{\sqrt{A}}$, con lo cual podemos escribir $0,025 = \dfrac{\Delta_l}{\sqrt{10\,000}} \Rightarrow \Delta_l = 0,025 \cdot 100 = 2,5 \approx 2$. De lo cual concluimos que $l=100 \pm 2 \, \text{cm}$
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