jueves, 28 de abril de 2016
miércoles, 27 de abril de 2016
Calcular los cuartiles, la moda, la media, la varianza ...
ENUNCIADO. La recogida de datos sobre una cierta característica ( variable estadística $X$ ) de una población, viene dada en la siguiente tabla :
Se pide:
a) Completar la tabla y entrar los datos necesarios en la calculadora científica ( en modo de cálculo estadístico de $1$ variable ) para obtener los valores de los parámetros estadísticos: media y desviación estándar
b) ¿ Cuál es el valor de la varianza ?
c) Calcular el coeficiente de variación. ¿ Para qué sirve dicha medida ?
d) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas
e) Obtener la moda
f) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas
g) Obtener los cuartiles
h) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
i) A modo de conclusión, describir de manera concisa los rasgos más importantes de la distribución de los valores de dicha variable estadística
SOLUCIÓN.
a)
Entrada de datos en una calculadora científica básica ( no\ programable y con pantalla de 2 líneas ) Casio fx-82MS:
MODE REG (2)
15;6 M+
"n=6"
15;50 M+
"n=56"
35;60 M+
"n=116"
45;30 M+
"n=146"
55;12 M+
"n=158"
Cálculo de la media y de la desviación estándar:
$\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}\,f_i$, donde $N=158$ y $k=5$
$s_{x}\overset{\text{def}}{=}\sqrt{\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,(x_{i}\,f_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}^2\,f_i\right)-(\bar{x})^2}$
Consultando en la calculadora:
S-VAR
(1) -> $\bar{x} \approx 34'5$
(2) -> $s_x \approx 9'8$
b)
Como $s_x \approx 9'8 \Rightarrow s_{x}^2 \overset{\text{def}}{=} (s_x)^2 \approx 96'0$
c)
Coeficiente de variación:
$\text{CV}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_x}{\bar{x}}\approx\dfrac{9'8}{34'5}=28\,\%$
Esta medida expresa el grado de dispersión de la distribución, relativo a la media. Sirve para comparar la dispersión de varios conjuntos de datos.
d)
Histograma de frecuencias absolutas del recuento y obtención de la moda:
Es claro que $30 \prec M_o \prec 40$, luego $M_o=30+a$. Procedemos a calcular $a$ empleando la semejanza de los triángulos de la figura. Como $$\dfrac{a}{10-a}=\dfrac{60-50}{60-30}$$ despejando $a$ encontramos $a=2'5$, luego $M_o\approx 32'5$
f-g)
En la figura se puede apreciar la obtención gráfica de los cuartiles; su cálculo pormenorizado, a partir de las semejanzas entre los triángulos que se configuran son los siguientes:
Observemos que $30 \prec Q_2 \prec 40$, luego $Q_2=30+b$. Calculando $b$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{b}{10}=\dfrac{79-56}{116-56} \Rightarrow b=3'8$; así, $Q_2=30+3'8=30'8$
Observemos que $20 \prec Q_2 \prec 30$, luego $Q_2=20+c$. Calculando $c$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{c}{10}=\dfrac{39'5-6}{56-6} \Rightarrow c=6'7$; así, $Q_1=20+6'7=26'7$
Observemos que $40 \prec Q_2 \prec 50$, luego $Q_3=40+d$. Calculando $d$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{d}{10}=\dfrac{118'5-116}{146-116} \Rightarrow d=0'8$; así, $Q_3=40+0'8=40'8$
h)
i)
Visualmente, se observa una cierta asimetría a la derecha ( en el histograma de frecuencias del recuento, así como en el diagrama de caja y bigotes ); esto viene corroborado por el hecho de que la mediana ( el segundo cuartil ) se sitúa a la derecha de la moda. $\square$
Se pide:
a) Completar la tabla y entrar los datos necesarios en la calculadora científica ( en modo de cálculo estadístico de $1$ variable ) para obtener los valores de los parámetros estadísticos: media y desviación estándar
b) ¿ Cuál es el valor de la varianza ?
c) Calcular el coeficiente de variación. ¿ Para qué sirve dicha medida ?
d) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas
e) Obtener la moda
f) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas
g) Obtener los cuartiles
h) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
i) A modo de conclusión, describir de manera concisa los rasgos más importantes de la distribución de los valores de dicha variable estadística
SOLUCIÓN.
a)
Entrada de datos en una calculadora científica básica ( no\ programable y con pantalla de 2 líneas ) Casio fx-82MS:
MODE REG (2)
15;6 M+
"n=6"
15;50 M+
"n=56"
35;60 M+
"n=116"
45;30 M+
"n=146"
55;12 M+
"n=158"
Cálculo de la media y de la desviación estándar:
$\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}\,f_i$, donde $N=158$ y $k=5$
$s_{x}\overset{\text{def}}{=}\sqrt{\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,(x_{i}\,f_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,x_{i}^2\,f_i\right)-(\bar{x})^2}$
Consultando en la calculadora:
S-VAR
(1) -> $\bar{x} \approx 34'5$
(2) -> $s_x \approx 9'8$
b)
Como $s_x \approx 9'8 \Rightarrow s_{x}^2 \overset{\text{def}}{=} (s_x)^2 \approx 96'0$
c)
Coeficiente de variación:
$\text{CV}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_x}{\bar{x}}\approx\dfrac{9'8}{34'5}=28\,\%$
Esta medida expresa el grado de dispersión de la distribución, relativo a la media. Sirve para comparar la dispersión de varios conjuntos de datos.
d)
Histograma de frecuencias absolutas del recuento y obtención de la moda:
Es claro que $30 \prec M_o \prec 40$, luego $M_o=30+a$. Procedemos a calcular $a$ empleando la semejanza de los triángulos de la figura. Como $$\dfrac{a}{10-a}=\dfrac{60-50}{60-30}$$ despejando $a$ encontramos $a=2'5$, luego $M_o\approx 32'5$
f-g)
En la figura se puede apreciar la obtención gráfica de los cuartiles; su cálculo pormenorizado, a partir de las semejanzas entre los triángulos que se configuran son los siguientes:
Observemos que $30 \prec Q_2 \prec 40$, luego $Q_2=30+b$. Calculando $b$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{b}{10}=\dfrac{79-56}{116-56} \Rightarrow b=3'8$; así, $Q_2=30+3'8=30'8$
Observemos que $20 \prec Q_2 \prec 30$, luego $Q_2=20+c$. Calculando $c$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{c}{10}=\dfrac{39'5-6}{56-6} \Rightarrow c=6'7$; así, $Q_1=20+6'7=26'7$
Observemos que $40 \prec Q_2 \prec 50$, luego $Q_3=40+d$. Calculando $d$ por semejanza de triángulos, $\dfrac{d}{10}=\dfrac{118'5-116}{146-116} \Rightarrow d=0'8$; así, $Q_3=40+0'8=40'8$
h)
i)
Visualmente, se observa una cierta asimetría a la derecha ( en el histograma de frecuencias del recuento, así como en el diagrama de caja y bigotes ); esto viene corroborado por el hecho de que la mediana ( el segundo cuartil ) se sitúa a la derecha de la moda. $\square$
Correlación entre dos variables estadísticas
ENUNCIADO. Se ha solicitado a un grupo de 50 personas información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir ( variable $X$ ), y a ver la televisión ( variable $Y$), obteniéndose:
a) Representar gráficamente la nube de puntos en un diagrama cartesiano
b) Escribir las fórmulas de los parámetros y medidas que permitan realizar la aproximación de regresión lineal: medias, varianzas y desviaciones ( estándar ) marginales, y covarianza
c) Preparar una tabla de simple entrada, con todas las columnas necesarias para indicar y ordenar los cálculos de los parámetros y medidas necesarias
d) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson, e interpretarlo en los términos del enunciado. Valorar la fuerza del ajuste por regresión lineal, calculando el coeficiente de determinación
e) Determinar la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, expresándola en la forma punto-pendiente
f) Si una persona duerme $8,5$ horas, ¿ cuántas horas cabe esperar que vea la televisión ?
g) Determinar la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$, expresándola en la forma punto-pendiente
h) Si una persona ve la televisión $2$ horas, ¿ cuánto tiempo cabe esperar que duerma ?
i) Representar las rectas de regresión ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) en el diagrama de la nube de puntos
SOLUCIÓN.
a)
b)
número de datos:
$N=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,f_\ell$
En el caso que nos ocupa, $n=5$ y $N=50$
medias:
$\bar{x}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,f_\ell$
$\bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_\ell\,f_\ell$
varianzas:
$s_{x}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{x})^2$
$s_{y}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{y})^2$
desviaciones estándar:
$s_x=\sqrt{s_{x}^2}$
$s_x=\sqrt{s_{y}^2}$
covarianza:
$s_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,y_\ell\,f_\ell-\bar{x}\cdot\bar{y}$
c)
Nota: En la celdas de suma, sólo aparecen los resultados que no proporciona directamente la calculadora científica ( tras haber introducido los puntos y sus frecuencias )
d)
Tras preparar la calculadora científica ( en modo de cálculo de regresión lineal ), introducimos los puntos y sus frecuencias para, después, consultar el valor de los parámetros y medidas necesarias; en particular, el coeficiente de correlación lineal de Pearson:
MODE REG (3)
LIN (1)
6,4;3 M+
"n=3"
7,3;16 M+
"n=19"
8,3;20 M+
"n=39"
9,2;10 M+
"n=49"
10,1;1 M+
"n=50"
Consultando, ahora el coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$:
S VAR (1)
-> -> (3)
$r=-0'8789 \prec 0$, lo cual indica que las funciones de regresión lineal ( tanto la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, como la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ son decrecientes
Valoremos, ahora, la fuerza del ajuste mediante el valor del coeficiente de determinación:
$R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2=(-0'879)^2 \approx 0'77 = 77\,\%$, que consideramos como aceptable.
e)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
(1)
$\bar{x}=7'8$
(2)
$s_x=0'8944 \Rightarrow s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}(s_x)^2=0'8944^2 \approx 0'8000$
-> (1)
$\bar{y}=2'82$
Poniendo estos valores en la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, obtenemos
$$y-2'82=\dfrac{-0'436}{0'8000}\,(x-7'8)$$
y despejando $y$, la podemos escribir en forma explícita:
$$y=-0'545\,x+7'071$$
Nota: También podemos consultar, directamente, el valor de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ) haciendo:
S VAR (1)
-> -> -> (A) ( que corresponde a $k$ )
-> -> -> (B) ( que corresponde a $m$ )
f)
Si $x=8'5$, entonces de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, el valor aproximado que nos da el número de horas viendo la televisión es $$\hat{y}=-0'541\cdot 8'5+7'071 \approx 2'4\; \text{horas}$$
g)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
-> (2)
$s_y=0'5546 \Rightarrow s_{y}^2\overset{\text{def}}{=}(s_y)^2=0'5546^2 \approx 0'3076$
por tanto,
$$x-7'8=\dfrac{0'436}{0'3076}\,(y-2'82)$$
ecuación que podemos expresar en forma explícita ( despejando $y$ ):
$$y=-0'7055\,x+8'3231$$
h)
Para $y=2$ deberíamos obtener un valor aproximado de $x$ muy próximo a $9$ horas ( de sueño ), pues viene como dato en las tablas; en efecto de la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ en forma punto-pendiente vemos que $$\hat{x}=7'8+\dfrac{(-0'436)}{0'3076}\cdot ( 2-2'82)=8'96 \approx 2\; \text{horas}$$
i)
Las rectas de regresión lineal, de $Y$ sobre $X$ y de $X$ sobre $Y$, pasan por el "centro de masas" $\bar{x}\,,\,\bar{y})$, cuyas coordenadas ya conocemos. Para representar las dos rectas, basta pues calcular un punto más para cada una de ellas, que, por comodidad, los escogeremos como los puntos de corte con el eje $Oy$; así, calculando las ordenadas en el origen de ambas rectas, obtenemos: $(0\,,\,8'3)$ para la recta de r.l. de $X$ sobre $Y$, y $(0\,,\,0'7071)$ para la recta de r.l. de $Y$ sobre $X$
$\square$
b) Escribir las fórmulas de los parámetros y medidas que permitan realizar la aproximación de regresión lineal: medias, varianzas y desviaciones ( estándar ) marginales, y covarianza
c) Preparar una tabla de simple entrada, con todas las columnas necesarias para indicar y ordenar los cálculos de los parámetros y medidas necesarias
d) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson, e interpretarlo en los términos del enunciado. Valorar la fuerza del ajuste por regresión lineal, calculando el coeficiente de determinación
e) Determinar la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, expresándola en la forma punto-pendiente
f) Si una persona duerme $8,5$ horas, ¿ cuántas horas cabe esperar que vea la televisión ?
g) Determinar la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$, expresándola en la forma punto-pendiente
h) Si una persona ve la televisión $2$ horas, ¿ cuánto tiempo cabe esperar que duerma ?
i) Representar las rectas de regresión ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) en el diagrama de la nube de puntos
SOLUCIÓN.
a)
b)
número de datos:
$N=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,f_\ell$
En el caso que nos ocupa, $n=5$ y $N=50$
medias:
$\bar{x}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,f_\ell$
$\bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_\ell\,f_\ell$
varianzas:
$s_{x}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{x})^2$
$s_{y}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{y})^2$
desviaciones estándar:
$s_x=\sqrt{s_{x}^2}$
$s_x=\sqrt{s_{y}^2}$
covarianza:
$s_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,y_\ell\,f_\ell-\bar{x}\cdot\bar{y}$
c)
Nota: En la celdas de suma, sólo aparecen los resultados que no proporciona directamente la calculadora científica ( tras haber introducido los puntos y sus frecuencias )
d)
Tras preparar la calculadora científica ( en modo de cálculo de regresión lineal ), introducimos los puntos y sus frecuencias para, después, consultar el valor de los parámetros y medidas necesarias; en particular, el coeficiente de correlación lineal de Pearson:
MODE REG (3)
LIN (1)
6,4;3 M+
"n=3"
7,3;16 M+
"n=19"
8,3;20 M+
"n=39"
9,2;10 M+
"n=49"
10,1;1 M+
"n=50"
Consultando, ahora el coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$:
S VAR (1)
-> -> (3)
$r=-0'8789 \prec 0$, lo cual indica que las funciones de regresión lineal ( tanto la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, como la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ son decrecientes
Valoremos, ahora, la fuerza del ajuste mediante el valor del coeficiente de determinación:
$R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2=(-0'879)^2 \approx 0'77 = 77\,\%$, que consideramos como aceptable.
e)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
(1)
$\bar{x}=7'8$
(2)
$s_x=0'8944 \Rightarrow s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}(s_x)^2=0'8944^2 \approx 0'8000$
-> (1)
$\bar{y}=2'82$
Poniendo estos valores en la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, obtenemos
$$y-2'82=\dfrac{-0'436}{0'8000}\,(x-7'8)$$
y despejando $y$, la podemos escribir en forma explícita:
$$y=-0'545\,x+7'071$$
Nota: También podemos consultar, directamente, el valor de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ) haciendo:
S VAR (1)
-> -> -> (A) ( que corresponde a $k$ )
-> -> -> (B) ( que corresponde a $m$ )
f)
Si $x=8'5$, entonces de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, el valor aproximado que nos da el número de horas viendo la televisión es $$\hat{y}=-0'541\cdot 8'5+7'071 \approx 2'4\; \text{horas}$$
g)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
S VAR (1)
-> (2)
$s_y=0'5546 \Rightarrow s_{y}^2\overset{\text{def}}{=}(s_y)^2=0'5546^2 \approx 0'3076$
por tanto,
$$x-7'8=\dfrac{0'436}{0'3076}\,(y-2'82)$$
ecuación que podemos expresar en forma explícita ( despejando $y$ ):
$$y=-0'7055\,x+8'3231$$
h)
Para $y=2$ deberíamos obtener un valor aproximado de $x$ muy próximo a $9$ horas ( de sueño ), pues viene como dato en las tablas; en efecto de la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ en forma punto-pendiente vemos que $$\hat{x}=7'8+\dfrac{(-0'436)}{0'3076}\cdot ( 2-2'82)=8'96 \approx 2\; \text{horas}$$
i)
Las rectas de regresión lineal, de $Y$ sobre $X$ y de $X$ sobre $Y$, pasan por el "centro de masas" $\bar{x}\,,\,\bar{y})$, cuyas coordenadas ya conocemos. Para representar las dos rectas, basta pues calcular un punto más para cada una de ellas, que, por comodidad, los escogeremos como los puntos de corte con el eje $Oy$; así, calculando las ordenadas en el origen de ambas rectas, obtenemos: $(0\,,\,8'3)$ para la recta de r.l. de $X$ sobre $Y$, y $(0\,,\,0'7071)$ para la recta de r.l. de $Y$ sobre $X$
$\square$
miércoles, 20 de abril de 2016
Un sorteo del estilo de la "Bono Loto"
ENUNCIADO. Consideremos que hacer una apuesta ( en el juego que proponemos y que está inspirado en el de la Bono Loto) consiste en marcar ( en un boleto ) $6$ números distintos de entre el conjunto de números naturales $\{1,2,\ldots,49\}$. Al sortear $6$ números de dicho conjunto de $49$ números, ¿ cuál es la probabilidad de acertar $0\le k\le 6$ números ( de entre los $6$ números a los que hemos apostado ) ?
Nota: las normas para apostar en la Bono Loto son un poco más complicadas, pues se requiere, por ejemplo, que en una apuesta sencilla se rellenen al menos dos bloques, eligiendo seis números en cada uno de los bloques. También se pueden hacer apuestas múltiples. Y, además, se sortea también un número llamado "complementario", mediante el cual se otorga un premio especial si se acierta también dicho número en combinación con haber acertado cinco números, pero no vamos a entrar en más detalles sobre el juego de la Bono Loto propiamente dicho.
SOLUCIÓN. El número total de posibilidades es $\binom{49}{6}$, y el número de posibilidades favorables a que acertemos $k$ números es $\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}$, donde los dos factores representan la forma de disponer los $k$ aciertos y la forma de disponer los $6-k$ fracasos ( de entre los números que no figuran en la apuesta, que son $49-6$ ).
Entonces, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}}{\binom{49}{6}}$$
Así, por ejemplo:
La probabilidad de acertar los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,000\,07$
La probabilidad de acertar cinco de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{5}\cdot \binom{49-6}{6-5}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,018\,4$
La probabilidad de acertar cuatro de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000967$
La probabilidad de acertar tres de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{3}\cdot \binom{49-6}{6-3}}{\binom{49}{6}}\approx 0'0187$
La probabilidad de acertar dos de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{49-6}{6-2}}{\binom{49}{6}}\approx 0'132$
La probabilidad de acertar uno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 0'413$
La probabilidad de no acertar ninguno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 0'436$
$\square$
Nota: las normas para apostar en la Bono Loto son un poco más complicadas, pues se requiere, por ejemplo, que en una apuesta sencilla se rellenen al menos dos bloques, eligiendo seis números en cada uno de los bloques. También se pueden hacer apuestas múltiples. Y, además, se sortea también un número llamado "complementario", mediante el cual se otorga un premio especial si se acierta también dicho número en combinación con haber acertado cinco números, pero no vamos a entrar en más detalles sobre el juego de la Bono Loto propiamente dicho.
SOLUCIÓN. El número total de posibilidades es $\binom{49}{6}$, y el número de posibilidades favorables a que acertemos $k$ números es $\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}$, donde los dos factores representan la forma de disponer los $k$ aciertos y la forma de disponer los $6-k$ fracasos ( de entre los números que no figuran en la apuesta, que son $49-6$ ).
Entonces, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{\binom{6}{k}\cdot \binom{49-6}{6-k}}{\binom{49}{6}}$$
Así, por ejemplo:
La probabilidad de acertar los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{1}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,000\,07$
La probabilidad de acertar cinco de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{5}\cdot \binom{49-6}{6-5}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000\,018\,4$
La probabilidad de acertar cuatro de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{49-6}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 0'000967$
La probabilidad de acertar tres de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{3}\cdot \binom{49-6}{6-3}}{\binom{49}{6}}\approx 0'0187$
La probabilidad de acertar dos de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{49-6}{6-2}}{\binom{49}{6}}\approx 0'132$
La probabilidad de acertar uno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{49-6}{6-1}}{\binom{49}{6}}\approx 0'413$
La probabilidad de no acertar ninguno de los seis números a los que hemos apostado es $\dfrac{\binom{6}{0}\cdot \binom{49-6}{6-0}}{\binom{49}{6}}\approx 0'436$
$\square$
Un problema histórico del cálculo de probabilidades sobre dos propuestas ( de apuesta ) de lanzamientos de dados
Los problemas de apuestas en los juegos de azar constituyeron importantes estímulos para los matemáticos en los orígenes de la teoría del cálculo de probabilidades ( siglo XVII ); así, por ejemplo, cabe destacar los problemas históricos que el escritor, matemático aficionado y jugador Antoine Gambaud, Chevalier de Méré ( 1607-1684 ) planteaba al gran matemático aficionado Pierre de Fermat ( 1601-1665 ) y al matemático y filósofo Blaise Pascal ( 1623-1684 ). Uno de estos problemas es el conocido como el problema de la partida inacabada ( no hablaremos de éste ahora ). Y, otro de ellos se conoce como el problema de las apuestas en el juego de los dados, del cual sí vamos a hablar a continuación. Dice así:
ENUNCIADO:
¿ Qué es más probable: a) sacar al menos un seis en 4 lanzamiento de un dado, o bien, b) sacar al menos dos seises en 24 lanzamientos de dos dados ? Esto es, ¿ cuál de las dos apuestas es la más ventajosa ?.
SOLUCIÓN:
Vamos a calcular la probabilidad de (a). La probabilidad de no sacar un '6' en un lanzamiento es $\dfrac{5}{6}$, luego la de no sacar ningún '6' en cuatro lanzamientos es $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$, con lo cual, y por la propiedad del contrario, vemos que la probabilidad de sacar al menos un '6' es $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0,5177$
Veamos ahora cuál es la probabilidad de (b). Al lanzar una vez dos dados, la probabilidad de sacar dos seises es $\dfrac{1}{36}$, luego la de no sacarlos es $1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$; por lo tanto, la probabilidad de no sacar ningún par de seises en 24 tiradas ( de dos dados ) es $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}$, con lo cual - por la propiedad de la probabilidad del suceso contrario - vemos que la probabilidad de sacar al menos un par de seises es $1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0'4914$
Como la probabilidad en este segundo caso es menor que la del primero, concluimos que es más ventajoso apostar por lo primero ( lanzar cuatro veces un dado, contemplando la posibilidad de que aparezcan al menos dos seises ) que no por lo segundo ( lanzar 24 veces una pareja de dados, contemplando la posibilidad de que aparezca al menos dos seises ).
OTRA FORMA DE LLEGAR A LA SOLUCIÓN:
Arriba se ha resuelto el problema empleando un método dinámico, esto es, recorriendo el árbol de posibilidades y colocándonos en cada situación hipotética, empleando el principio de independencia de sucesos. También puede resolverse el problema, desde un enfoque estático, esto es, mediante el cálculo combinatoria; de esta forma, no simulamos lo que sucede en cada nodo del árbol, sino que, de una vez, extraemos la solución, empleando la regla de Laplace. Veamos cómo.
En el primer caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{6,4}=6^4$ y el número de casos favorables es igual a $VR_{6-1,4}=5^4$, por consiguiente la probabilidad de no obtener un '6' en cuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{5^4}{6^4}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{5^4}{6^4}\approx 0,5177$$
En el segundo caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{36,24}=36^{24}$, pues al lanzar una vez dos dados, obtenemos $6\cdot 6=36$ resultados. Por otra parte, el número de casos favorables es igual a $VR_{36-1,24}=35^{24}$ ( ya que debemos descartar el resultado [6,6] en un lanzamiento de la pareja de dados ), por consiguiente la probabilidad de no obtener un doble '6' en veinticuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{35^{24}}{36^{24}}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{35^{24}}{36^{24}}\approx 0,4914$$
$\square$
ENUNCIADO:
¿ Qué es más probable: a) sacar al menos un seis en 4 lanzamiento de un dado, o bien, b) sacar al menos dos seises en 24 lanzamientos de dos dados ? Esto es, ¿ cuál de las dos apuestas es la más ventajosa ?.
SOLUCIÓN:
Vamos a calcular la probabilidad de (a). La probabilidad de no sacar un '6' en un lanzamiento es $\dfrac{5}{6}$, luego la de no sacar ningún '6' en cuatro lanzamientos es $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$, con lo cual, y por la propiedad del contrario, vemos que la probabilidad de sacar al menos un '6' es $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0,5177$
Veamos ahora cuál es la probabilidad de (b). Al lanzar una vez dos dados, la probabilidad de sacar dos seises es $\dfrac{1}{36}$, luego la de no sacarlos es $1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$; por lo tanto, la probabilidad de no sacar ningún par de seises en 24 tiradas ( de dos dados ) es $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}$, con lo cual - por la propiedad de la probabilidad del suceso contrario - vemos que la probabilidad de sacar al menos un par de seises es $1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0'4914$
Como la probabilidad en este segundo caso es menor que la del primero, concluimos que es más ventajoso apostar por lo primero ( lanzar cuatro veces un dado, contemplando la posibilidad de que aparezcan al menos dos seises ) que no por lo segundo ( lanzar 24 veces una pareja de dados, contemplando la posibilidad de que aparezca al menos dos seises ).
OTRA FORMA DE LLEGAR A LA SOLUCIÓN:
Arriba se ha resuelto el problema empleando un método dinámico, esto es, recorriendo el árbol de posibilidades y colocándonos en cada situación hipotética, empleando el principio de independencia de sucesos. También puede resolverse el problema, desde un enfoque estático, esto es, mediante el cálculo combinatoria; de esta forma, no simulamos lo que sucede en cada nodo del árbol, sino que, de una vez, extraemos la solución, empleando la regla de Laplace. Veamos cómo.
En el primer caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{6,4}=6^4$ y el número de casos favorables es igual a $VR_{6-1,4}=5^4$, por consiguiente la probabilidad de no obtener un '6' en cuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{5^4}{6^4}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{5^4}{6^4}\approx 0,5177$$
En el segundo caso, el número de casos posibles es igual a $VR_{36,24}=36^{24}$, pues al lanzar una vez dos dados, obtenemos $6\cdot 6=36$ resultados. Por otra parte, el número de casos favorables es igual a $VR_{36-1,24}=35^{24}$ ( ya que debemos descartar el resultado [6,6] en un lanzamiento de la pareja de dados ), por consiguiente la probabilidad de no obtener un doble '6' en veinticuatro lanzamientos es igual ( aplicando la regla de Laplace ) a $$\dfrac{35^{24}}{36^{24}}$$ con lo cual, la probabilidad del suceso contrario ( obtener al menos un '6' ) es igual a $$1-\dfrac{35^{24}}{36^{24}}\approx 0,4914$$
$\square$
domingo, 17 de abril de 2016
Hallar una cota del error relativo ...
ENUNCIADO. Se ha medido la longitud, $\ell$, de una listón de madera, con un metro de carpintero, obteniéndose el siguiente valor: $\bar{\ell}=32$ mm. Hallar una cota del error relativo de dicha medidass.
SOLUCIÓN. Tamando como cota del error absoluto $1$ división ( de las más pequeñas ) del instrumento de medida, podemos escribir $\Delta=1\;\text{mm}$. Así, $\ell\in (32-1\,,\,32+1)$ mm, esto es, $\ell=\bar{\ell}\pm\Delta=32\pm 1\;\text{mm}$. Entonces, siendo $e$ el error relativo ( que es desconocido ), una cota del error relativo es $\epsilon\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta}{e} < \dfrac{\Delta}{\bar{\ell}-\Delta}=\dfrac{1}{32-1}=\dfrac{1}{30} \approx 0,032 < 0,04$, luego una cota del error relativo pedido es $\epsilon = 0,04 = 4\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN. Tamando como cota del error absoluto $1$ división ( de las más pequeñas ) del instrumento de medida, podemos escribir $\Delta=1\;\text{mm}$. Así, $\ell\in (32-1\,,\,32+1)$ mm, esto es, $\ell=\bar{\ell}\pm\Delta=32\pm 1\;\text{mm}$. Entonces, siendo $e$ el error relativo ( que es desconocido ), una cota del error relativo es $\epsilon\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\Delta}{e} < \dfrac{\Delta}{\bar{\ell}-\Delta}=\dfrac{1}{32-1}=\dfrac{1}{30} \approx 0,032 < 0,04$, luego una cota del error relativo pedido es $\epsilon = 0,04 = 4\,\%$
$\square$
jueves, 14 de abril de 2016
Correlación lineal con algunos puntos ( de la nube ) que muestran discrepancias fuertes con el resto. Recta "robusta" de Tukey
En algunos casos, algunos valores ( aunque pocos ) pueden alejarse mucho de la mayor parte de puntos de la nube, la recta de regresión se ajusta entonces muy mal al conjunto de todos los puntos, aún apreciándose indicios claros de correlación lineal si descartamos dichos puntos. En tal caso, podemos considerar como anómalos ( o espúreos ) dichos puntos, atribuyendo ello a supuestos errores en la medida de los mismos, realizando la regresión lineal ( apartado anterior ) sin esos puntos.
Ahora bien, podría suceder que las medidas ( de esos puntos que se alejan del resto ) sí estuviesen bien hechas, en cuyo caso ya no sería procedente el simple descarte de los mismos. Cuando eso sucede, utilizamos una recta teórica que es "robusta" frente a valores ( digamos ) que discrepan de la mayoría; es la llamada recta que propuso el matemático John W. Tukey, que se calcula basándose en el cálculo de medianas de tres cúmulos de puntos de la nube. Se procede del siguiente modo y en el orden que se indica:
1) Se ordenan los puntos de la nube $C$ según las abscisas de los mismos, de menores a mayores
2) Se divide el conjunto de puntos en tres subconjuntos: $C_1$, $C_2$ y $C_3$. En el caso de que el número total de puntos, $N$, no sea un múltiplo de $3$ se procede de la siguiente forma:
2.i) Si $N-1$ es múltiplo de $3$, entonces se establece en $C_2$ un dato más que en $C_1$ y $C_3$
2.ii) Si $N-2$ es múltiplo de $3$, entonces se establece en $C_2$ un dato menos que en $C_1$ y $C_3$
3) Se calculan las medianas de las abscisas de los puntos de cada uno de dichos subconjuntos: $M_1$, $M_2$ y $M_3$
4) Se calcula el baricentro, $G$, del triángulo cuyos vértices son $M_1$, $M_2$ y $M_3$
Hecho esto, la recta de Tukey pasa por el baricentro $G$ y tiene la pendiente de la recta que pasa por $M_1$ y $M_3$
$\square$
Ahora bien, podría suceder que las medidas ( de esos puntos que se alejan del resto ) sí estuviesen bien hechas, en cuyo caso ya no sería procedente el simple descarte de los mismos. Cuando eso sucede, utilizamos una recta teórica que es "robusta" frente a valores ( digamos ) que discrepan de la mayoría; es la llamada recta que propuso el matemático John W. Tukey, que se calcula basándose en el cálculo de medianas de tres cúmulos de puntos de la nube. Se procede del siguiente modo y en el orden que se indica:
1) Se ordenan los puntos de la nube $C$ según las abscisas de los mismos, de menores a mayores
2) Se divide el conjunto de puntos en tres subconjuntos: $C_1$, $C_2$ y $C_3$. En el caso de que el número total de puntos, $N$, no sea un múltiplo de $3$ se procede de la siguiente forma:
2.i) Si $N-1$ es múltiplo de $3$, entonces se establece en $C_2$ un dato más que en $C_1$ y $C_3$
2.ii) Si $N-2$ es múltiplo de $3$, entonces se establece en $C_2$ un dato menos que en $C_1$ y $C_3$
3) Se calculan las medianas de las abscisas de los puntos de cada uno de dichos subconjuntos: $M_1$, $M_2$ y $M_3$
4) Se calcula el baricentro, $G$, del triángulo cuyos vértices son $M_1$, $M_2$ y $M_3$
Hecho esto, la recta de Tukey pasa por el baricentro $G$ y tiene la pendiente de la recta que pasa por $M_1$ y $M_3$
$\square$
lunes, 11 de abril de 2016
lunes, 4 de abril de 2016
Hallar la función derivada ...
ENUNCIADO. Calcular la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
b) $g(x)=x\,\ln\,x$
c) $h(x)=\sqrt[4]{x^5}+2x^3+6$
d) $l(x)=(2x-5)^3$
e) $m(x)=\dfrac{x+1}{x}$
SOLUCIÓN.
a)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funciones, $$f'(x)=\dfrac{(e^x)'\,x-(x)'\,e^x}{x^2}$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función exponencial y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,x-1\cdot e^x}{x^2}$$ y simplificando, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,(x-1)}{x^2}$$
b)
Aplicando la regla de derivación del producto de funciones, $$f'(x)=(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función logarítmica ( de base $e$ ) y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=1\cdot \ln\,x+x\cdot \dfrac{1}{x}$$ y simplificando, $$f'(x)=\ln\,x+1$$
c)
Podemos expresar el primer término de la forma $x^{\frac{5}{4}}$, con lo cual, la función propuesta podemos expresarla de forma más conveniente para empezar a derivarla: $$h(x)=x^{5/4}+2x^3+6$$ Aplicando, ahora, la regla de derivación de las funciones potenciales ( con base $x$ y exponente un número real ), término a término, y sumando las derivadas resultantes ( regla básica de la derivada de una suma ),
$h'(x)=9(x^{5/4})'+2\,(x^3)'+(6)'=\dfrac{5}{4}\,x^{5/4-1}+2\cdot 3\,x^2+0=\dfrac{5}{4}\,x^{1/4}+6\,x=$
$=\dfrac{5}{4}\,\sqrt[4]{x}+6\,x$
d)
Aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales y la regla de la cadena, $$l'(x)=3\,(2x-5)^{3-1}\,(2x-5)'=3\,(2x-5)^2\cdot 2= 6\,(2x-5)^2$$
e)
Podemos expresar la función propuesta de forma que facilite su derivación, así: $$m(x)=\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}=1+x^{-1}$$ Entonces, aplicando la regla de la derivada de una suma de funciones, y la de la función potencial, $$m'(x)=(1)'+(x^{-1})'=0+(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$$
$\square$
a) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
b) $g(x)=x\,\ln\,x$
c) $h(x)=\sqrt[4]{x^5}+2x^3+6$
d) $l(x)=(2x-5)^3$
e) $m(x)=\dfrac{x+1}{x}$
SOLUCIÓN.
a)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funciones, $$f'(x)=\dfrac{(e^x)'\,x-(x)'\,e^x}{x^2}$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función exponencial y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,x-1\cdot e^x}{x^2}$$ y simplificando, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,(x-1)}{x^2}$$
b)
Aplicando la regla de derivación del producto de funciones, $$f'(x)=(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función logarítmica ( de base $e$ ) y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=1\cdot \ln\,x+x\cdot \dfrac{1}{x}$$ y simplificando, $$f'(x)=\ln\,x+1$$
c)
Podemos expresar el primer término de la forma $x^{\frac{5}{4}}$, con lo cual, la función propuesta podemos expresarla de forma más conveniente para empezar a derivarla: $$h(x)=x^{5/4}+2x^3+6$$ Aplicando, ahora, la regla de derivación de las funciones potenciales ( con base $x$ y exponente un número real ), término a término, y sumando las derivadas resultantes ( regla básica de la derivada de una suma ),
$h'(x)=9(x^{5/4})'+2\,(x^3)'+(6)'=\dfrac{5}{4}\,x^{5/4-1}+2\cdot 3\,x^2+0=\dfrac{5}{4}\,x^{1/4}+6\,x=$
$=\dfrac{5}{4}\,\sqrt[4]{x}+6\,x$
d)
Aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales y la regla de la cadena, $$l'(x)=3\,(2x-5)^{3-1}\,(2x-5)'=3\,(2x-5)^2\cdot 2= 6\,(2x-5)^2$$
e)
Podemos expresar la función propuesta de forma que facilite su derivación, así: $$m(x)=\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}=1+x^{-1}$$ Entonces, aplicando la regla de la derivada de una suma de funciones, y la de la función potencial, $$m'(x)=(1)'+(x^{-1})'=0+(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$$
$\square$
Hallar la recta tangente a la gráfica de una función en el punto ...
ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=-x^2+3$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=-1$. Finalmente, representar la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente pedida en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN. Procediendo de forma análoga a la de [ este otro ejercicio ], se obtiene el siguiente resultado. $$\text{r.t. en P}:\,y=2\,x+4$$
y esta es la gráfica pedida:
$\square$
SOLUCIÓN. Procediendo de forma análoga a la de [ este otro ejercicio ], se obtiene el siguiente resultado. $$\text{r.t. en P}:\,y=2\,x+4$$
y esta es la gráfica pedida:
$\square$
Hallar las rectas asíntotas de la función ...
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=\dfrac{3x^2}{4x+1}$. Se pide:
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a éste otro ( que ya está resuelto y comentado ). Las soluciones ( que el lector debería comprobar ) vienen resumidas a continuación:
$\square$
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a éste otro ( que ya está resuelto y comentado ). Las soluciones ( que el lector debería comprobar ) vienen resumidas a continuación:
$\square$
Operar mediante la composición de funciones ... Calcular las funciones recíprocas ...
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ y $g(x)=\sqrt{x}$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$ por ser $f$ una función polinómica
b) $\text{Dom}\,g(x)=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pues $-1$ anula el denominador de la función ( y no el numerador ), por lo que se tiene una división por $0$, y, por tanto, $-1$ no tiene imagen
c) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$
d) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x+1})=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$
e) La función $f$ es inyectiva y biyectiva, la función recíproca $f^{-1}$ existe. Veamos cuál es. Escribiendo la función directa $y=f(x)$, $y=\dfrac{1}{x+1}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $e=\dfrac{1}{y+1}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=\dfrac{1-x}{x}$, luego $f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{x}$
f) La función $g$ es inyectiva ( se sobrentiende que $\sqrt{x} \equiv \left|\sqrt{x}\right|$ ) y biyectiva, la función recíproca $g^{-1}$ existe. Veamos cuál es.Escribiendo la función directa $y=g(x)$, $y=\sqrt{x}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $x=\sqrt{y}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=x^2$, luego $g^{-1}(x)=x^2$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, ya que $0$ anula el denominador de $f^{-1}(x)$ y no el numerador, lo que causa una división por cero, y, por tanto no existe la imagen de $0$ por $f^{-1}$
h) g) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$ por ser $f$ una función polinómica
b) $\text{Dom}\,g(x)=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pues $-1$ anula el denominador de la función ( y no el numerador ), por lo que se tiene una división por $0$, y, por tanto, $-1$ no tiene imagen
c) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$
d) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x+1})=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$
e) La función $f$ es inyectiva y biyectiva, la función recíproca $f^{-1}$ existe. Veamos cuál es. Escribiendo la función directa $y=f(x)$, $y=\dfrac{1}{x+1}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $e=\dfrac{1}{y+1}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=\dfrac{1-x}{x}$, luego $f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{x}$
f) La función $g$ es inyectiva ( se sobrentiende que $\sqrt{x} \equiv \left|\sqrt{x}\right|$ ) y biyectiva, la función recíproca $g^{-1}$ existe. Veamos cuál es.Escribiendo la función directa $y=g(x)$, $y=\sqrt{x}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $x=\sqrt{y}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=x^2$, luego $g^{-1}(x)=x^2$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, ya que $0$ anula el denominador de $f^{-1}(x)$ y no el numerador, lo que causa una división por cero, y, por tanto no existe la imagen de $0$ por $f^{-1}$
h) g) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
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Hallar la función de interpolación lineal que pasa por los puntos ...
ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación lineal que pasa por los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$. ¿ Cuál es la imagen de $0$ según dicha función ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,1]$ ) ? ¿ Cuál es la imagen de $1,4$ ( extrapolación a la derecha de $x=1$ ) ?.
SOLUCIÓN.
a)
La función de interpolación lineal es $f(x)=m\,x+k$, pues su gráfica es una recta; siendo $m$ la pendiente, y $k$ la ordenada en el origen de la misma. Para encontrar el valor de estos coeficientes, impondremos que los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$ estén en dicha recta, por lo cual deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}(-2)\cdot m &+& k&=&1\\1\cdot m &+& k&=& 3\end{matrix}\right.$$ que podemos resolver fácilmente sin más que restar la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, obteniendo la ecuación equivalente $$3m=2$$ de la cual deducimos que $m=\dfrac{2}{3}$. Sustituyendo dicho valor en cualquier de las dos ecuaciones originales, encontramos el valor de $k$, que resulta ser $k=\dfrac{7}{3}$. Así, la ecuación pedida es $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$
b)
La imagen de $x=0$ es $f(0)=\dfrac{2}{3} \cdot 0+\dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3}$
c)
La imagen de $x=1,4=\dfrac{7}{5}$ es $f(\frac{7}{5})=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{5}+\dfrac{7}{3} = \dfrac{49}{15}$
$\square$
SOLUCIÓN.
a)
La función de interpolación lineal es $f(x)=m\,x+k$, pues su gráfica es una recta; siendo $m$ la pendiente, y $k$ la ordenada en el origen de la misma. Para encontrar el valor de estos coeficientes, impondremos que los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$ estén en dicha recta, por lo cual deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}(-2)\cdot m &+& k&=&1\\1\cdot m &+& k&=& 3\end{matrix}\right.$$ que podemos resolver fácilmente sin más que restar la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, obteniendo la ecuación equivalente $$3m=2$$ de la cual deducimos que $m=\dfrac{2}{3}$. Sustituyendo dicho valor en cualquier de las dos ecuaciones originales, encontramos el valor de $k$, que resulta ser $k=\dfrac{7}{3}$. Así, la ecuación pedida es $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$
b)
La imagen de $x=0$ es $f(0)=\dfrac{2}{3} \cdot 0+\dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3}$
c)
La imagen de $x=1,4=\dfrac{7}{5}$ es $f(\frac{7}{5})=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{5}+\dfrac{7}{3} = \dfrac{49}{15}$
$\square$
Hallar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos ...
ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos: $A(-2,0)$, $B(0,1)$ y $C(3,0)$. Según dicha función, ¿ qué ordenada le corresponde a un punto, $D$, de abscisa $1$ ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,3]$ ) ? ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto $E$ de abscisa $3,1$ ( extrapolación a la derecha de $x=3$ ) ?
SOLUCIÓN. La función de interpolación cuadrática ( polinomio de segundo grado ) es $f(x)=a\,zx^2+b\,x+c$. Procedemos a calcular el valor de los coeficientes, teniendo en cuenta que las coordenadas de cada uno de los puntos dados ha de satisfacer la ecuación $y=f(x)$. Así,
$$\left\{\begin{matrix} (-2)^2\cdot a&+&(-2)\cdot b&+&c&=&0 \\ 0^2 \cdot a&+&0\cdot b&+&c&=&1 \\ 3^2 \cdot a&+& 3 \cdot b&+&c&=&0 \end{matrix}\right.$$
De la segunda ecuación, vemos que $c=1$; sustituyendo este valor en las otras dos ecuaciones, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 4\, a&-&2\, b&=&-1 \\ 9\, a&+&3\, b&=&-1 \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $3$ los dos miembros de la primera ecuación, y por $2$ los de la segunda, podemos escribir el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 12\, a&-&6\, b&=&-3 \\ 18\, a&+&6\, b&=&-2 \end{matrix}\right.$$ sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, encontramos la siguiente ecuación equivalente $$30\,a=-5$$ de donde $a=-\dfrac{1}{6}$. Y sustituyendo en la primera ecuación, encontramos el valor de $b$, que es $b=\dfrac{1}{6}$. Con lo cual, la función pedida es $$f(x)=-\dfrac{1}{6}\,x^2+\dfrac{1}{6}\,x+1$$
Ya podemos calcular, ahora, las imágenes pedidas. Podemos comprobar ( sustituyendo $x$ por cada valor en la expresión de la función ) que la imagen de $1$ es $f(1)=1$, y la imagen de $3,1$ es $f(3,1)=-0,085$
$\square$
SOLUCIÓN. La función de interpolación cuadrática ( polinomio de segundo grado ) es $f(x)=a\,zx^2+b\,x+c$. Procedemos a calcular el valor de los coeficientes, teniendo en cuenta que las coordenadas de cada uno de los puntos dados ha de satisfacer la ecuación $y=f(x)$. Así,
$$\left\{\begin{matrix} (-2)^2\cdot a&+&(-2)\cdot b&+&c&=&0 \\ 0^2 \cdot a&+&0\cdot b&+&c&=&1 \\ 3^2 \cdot a&+& 3 \cdot b&+&c&=&0 \end{matrix}\right.$$
De la segunda ecuación, vemos que $c=1$; sustituyendo este valor en las otras dos ecuaciones, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 4\, a&-&2\, b&=&-1 \\ 9\, a&+&3\, b&=&-1 \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $3$ los dos miembros de la primera ecuación, y por $2$ los de la segunda, podemos escribir el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 12\, a&-&6\, b&=&-3 \\ 18\, a&+&6\, b&=&-2 \end{matrix}\right.$$ sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, encontramos la siguiente ecuación equivalente $$30\,a=-5$$ de donde $a=-\dfrac{1}{6}$. Y sustituyendo en la primera ecuación, encontramos el valor de $b$, que es $b=\dfrac{1}{6}$. Con lo cual, la función pedida es $$f(x)=-\dfrac{1}{6}\,x^2+\dfrac{1}{6}\,x+1$$
Ya podemos calcular, ahora, las imágenes pedidas. Podemos comprobar ( sustituyendo $x$ por cada valor en la expresión de la función ) que la imagen de $1$ es $f(1)=1$, y la imagen de $3,1$ es $f(3,1)=-0,085$
$\square$
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