Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver
$$x^4-7x^2+12=0$$

SOLUCIÓN. Al tratarse de una ecuación bicuadrada, procedemos a realizar la siguiente transformación $$t:=x^2$$ que nos permite reescribirla como una ecuación cuadrática $$t^2-7t+12=0$$ Resolviendo esta ecuación $$t=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2 \cdot 1}=\dfrac{7\pm1}{2}=\left\{\begin{matrix}
4 \\ \\
3
\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo, ahora, la transformación:
Si $t=4$, entonces $x=\pm\sqrt{4}=\pm 2$
Si $t=4$, entonces $x=\pm\sqrt{3}$
Es decir, la solución de la ecuación pedida consta de los siguientes valores $$\{-2\,,\,-\sqrt{3}\,,\,2\,,\,\sqrt{3}\}$$

$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación
$$\dfrac{x}{x^2-9}=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$

SOLUCIÓN. Para encontrar una ecuación equivalente, más sencilla, descomponemos en factores ( polinómicos ) primos los polinomios que aparecen en las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación ( en este caso, podemos hacerlo simplemente utilizando identidades notables ):

$x^2-9=(x-3)(x+3)$
$x-3$ es un polinomio primo
$x^2-6x+9=(x-3)^2$

Por tanto
$\text{m.c.m.}(x^2-9\,,\,x-3\,,\,x^2-6x+9)=$
  $=\text{m.c.m.}\left((x-3(x+3)\,,\,x-3\,,\,(x-3)^2\right)=(x-3)^2(x+3)$

Multiplicando por el mínimo común múltiplo en cada miembro de la ecuación original $$(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{x}{x^2-9}=(x-3)^2(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
es decir $$\dfrac{(x-3)^2(x+3)x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{x-3}+\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{(x-3)^2}$$ y simplificando $$x(x-3)=(x-3)(x+3)+(x+3)$$ esto es $$x^2-3x=x^2-9+x+3$$ y por tanto $$6=4x$$ luego $$x=\dfrac{3}{2}$$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales $$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$$

SOLUCIÓN.

$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$

  $(\sqrt{x-1}+1)^2=(\sqrt{1-x})^2$

    $\sqrt{x-1}+2\,\sqrt{x-1}+1=1-x$

      $x+2\,\sqrt{x-1}=1-x$

        $2\,\sqrt{x-1}=1-2\,x$

          $(2\,\sqrt{x-1})^2=(1-2\,x)^2$

            $4\,(x-1)=1-4\,x+4\,x^2$

              $4\,x-4=1-4\,x+4\,x^2$

                $4\,x^2-8\,x+5=0$

                $x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 4 \cdot 5}}{ 2 \cdot 4}$

                  $=\dfrac{8\pm \sqrt{-16}}{8} \notin \mathbb{R}$

$\square$

[autoría]

Interés simple

Deducción de la fórmula del interés simple

Denotamos por:


$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}$: capital final
$t$: número de años en depósito a interés simple
$i$: tasa de interés anual ( en tanto por unidad ), esto es, $i=\dfrac{r}{100}$ ( siendo $r$ el rédito anual, en tanto por ciento )
$I$: interés ( final ) obtenido

Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, sin que ello entrañe pérdida de generalidad en lo que vamos a obtener. Entonces:

al término del primer año obtenemos un interés igual a $i$
al término del segundo año, obtenemos un interés acumulado igual a $2\,i$
al término del tercer año, $3\,i$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año, tendremos un interés final igual a $t\cdot i$

Luego, para $C_0 \neq 0 $ ( y, por supuesto, mayor que $0$ ), el interés total, $I$, viende dado por la expresión ( fórmula ) $$I=C_0 \, i\, t$$

Por consiguiente, el capital final, $C_{\text{final}}$, viene dado por la expresión $$C_{\text{final}}=C_0+I$$ esto es $$C_f=C_0(1+i\,t)$$

NOTA: En este modelo de interés ( simple ) -- el interés generado, período a período, crece de forma lineal ( según una sucesión aritmética ) -- no importa cuál sea el valor de la frecuencia de liquidación de los intereses en el intervalo de $1$ año, $f$; en efecto, si $f \succ 1$, tenemos que $$C_{\text{final}}=C_0(1+\frac{i}{f}\cdot t\cdot f)=C_0(1+i\,t)$$ que es lo mismo que si $f=1$.
$\square$

[autoría]

Fórmula del capital final ( a interés compuesto )

Deducción de la fórmula del capital final a interés compuesto

Denotamos por:

$C(j)$: capital al término del $j$-ésimo año ( $j=0,1,\ldots,t$ )
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}:=C(t)$: capital final
$t$: número de años en depósito
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, y que $f=1$. Entonces:

al término del primer año obtenemos: $C(1)=1+i$
al término del segundo año: $C(2)=C(1) \cdot (1+i)=(1+i)^2$
al término del tercer año: $C(3)=C(2) \cdot (1+i)=(1+i)^3$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año: $C(t)=C(t-1) \cdot (1+i)=(1+i)^t$

Luego el capital final, $C_{\text{final}}$, producido en estas condiciones ( los términos de la sucesión $[C(j)]$ crecen ( $1+i \succ 0$ ) de forma geométrica ) es $$C(t)=C_0\cdot (1+i)^t$$ Podemos generalizar, ahora, esta fórmula, para $C_0 \neq 1$ y $f \succ 1$ escribiendo la expresión general $$C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Cabe apuntar aquí que $\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ es creciente con $f$.

Tasa Anual Equivalente ( TAE ):
En el caso general ( $f \succ 1$ ) se utiliza la denominada Tasa Anual Equivalente, muy útil para comparar productos bancarios, al objeto de poder tomar una decisión a la hora de contratar uno u otro. Se basa en lo siguiente: en $1$ año, el capital final ( al cabo de ese año ) que se obtiene, pongamos que con $C_0=1$ ( es irrelevante el valor de $C_0$ ), en términos de esta tasa equivalente, ha de ser igual a $$1+\text{TAE}$$ y, por otra parte, según lo dicho arriba, ha de contabilizarse como $$\left(1+\frac{i}{f}\right)^{1\cdot f}$$ luego $$1+\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}$$ y por tanto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}-1$$

NOTA: Evidentemente, en el caso de que $f$ sea igual a $1$ ( liquidación con período de $1$ año de los intereses que se van generando ) tendremos que $\text{TAE}=i$, como debe ser.

$\square$

[autoría]

Deducción de la fórmula de amortización.

Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al final de cada período )
$C$: capital prestado
$t$: número de años del plan de amortización
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $f=1$. Entonces:

la primera cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-3}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1$

Luego el capital total producido en estas condiciones es $$q\cdot \left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-2}+(1+i)^{t-1}\right)$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1$, luego el valor de dicha suma es $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)-1}$$ expresión que, simplificada, queda $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{i}$$ por otra parte la cantidad prestada, en los $t$ años, produce $$C\cdot(1+i)^t$$ que debe ser igual a la cantidad que proviene de la suma anterior, luego $$q\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^{t}-1}{i}=C\cdot(1+i)^t$$

Así, si, ahora, consideramos que ( en general ) $f \succ 1$ llegamos a la siguiente generalización de la fórmula anterior $$q\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}{\frac{i}{f}}=C\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Despejando $q$ ( cuota a pagar ) obtenemos $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$

$\square$

[autoría]

Plan de capitalización

Deducción de la fórmula de capitalización.

Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al principio de cada período )
$C$: capital a constituir
$t$: número de años del plan
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $C=1$, y que $f=1$. Entonces:

la primera cuota produce: $(1+i)^t$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1+i$

Luego el capital total, $C$, producido en estas condiciones es $$(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-1}+(1+i)^{t}$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1+i$, luego el valor de dicha suma es $$(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ Así, si, ahora, consideramos que $C \neq 1$ ( y, por supuesto, mayor que cero ), obtenemos $$q\cdot(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ y si $f \succ 1$ llegamos a la generalización de la fórmula anterior $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y por tanto $$q=C\cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{\left( \left(1+\frac{1}{f}\right)^{f\cdot t}-1\right)\cdot (1+\frac{i}{f})}$$

$\square$

[autoría]