Un exercici sobre el problema de l'interès compost

Enunciat:
Dipositem una quantitat de $200,00 \, \text{euros}$ en un compte bancari. Els interessos es fan efectius cada tres mesos, a una taxa d'interès anual del $2,5\,\%$, i ens comprometem a no fer ús d'aquests diners durant $8$ anys.
      a) Calculeu quant diners hi haurà al compte en finalitzar el vuitè any [Considereu que els interessos creixen en progressió geomètrica (problema de l'interès compost)].
      b) Calculeu el valor de la taxa anual equivalent (TAE) d'aquest producte bancari.

Resolució:
a)
El valor del capital final a interès compost es calcula de la forma
$C_{t}=C_{0}\,\big(1+\frac{i}{f}\big)^{t\cdot f}$     on $i$ és la taxa d'interès anual expressada en tant per u ( $i=0,025$ ) i $f$ és la freqüència amb què es fan efectius dels interessos;
en aquest problema $f=\frac{12}{3}=4$.

Tenint en compte les dades del problema, el capital final pren el següent valor
$C_{t}=200,00\,\big(1+\frac{0,025}{4}\big)^{8 \cdot 4}\approx 244,13\; \text{euros}$

b)
Calculeum el valor de la T.A.E. (llegiu l'article d'ajut) de la forma
$\text{T.A.E.}=\Big(1+\dfrac{i}{f}\Big)^{f}-1$
que, amb els valors donats a l'enunciat, pren el següent valor

$\text{T.A.E.}=\Big(1+\dfrac{0,025}{4}\Big)^{4}-1 \approx 0,02524$

Recordem que el valor de la $\text{T.A.E.}$ - i, doncs, de la rendiment del capital - creix amb la freqüència $f$.

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Ejercicios resueltos y comentados del examen extraordinario de Septiembre, realizado el Jueves 1/09/2016

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Ejercicio de interpolación cuadrática ( método de los coeficientes indeterminados )

ENUNCIADO. Sean tres puntos del plano cartesiano $A(-1,1)$, $B(1,1)$ y $C(0,-1)$. Se pide:
a) Determinar el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pasa por estos tres puntos
b) Considerando un punto $P$ cuya abscisa es igual a $\dfrac{2}{3}$, ¿ cuál es la ordenada que le corresponde por interpolación ?

SOLUCIÓN.
a) El polinomio interpolador de segundo grado tiene la forma $P(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Para determinar el valor de los coeficientes $a,b$ y $c$, impondremos que la ecuación se cumpla para cada uno de los puntos ( método de los coeficientes indeterminados ). Así:
$$A: 1=a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c$$
$$B: 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$C: -1=a\cdot c= 2+b\cdot 0+c$$
da lugar al sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a&-&b& +&c& =& 1 \\ a&+&b& +&c& =& 1 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
Para obtener el sistema reducido por Gauss basta con restar la primera ecuación a la segunda ( término a término y miembro a miembro ) sustituyendo la segunda ecuación original por la que resulta de dicha combinación: $$\left\{\begin{matrix}a&-&b& +&c& =& 1 \\ &&2b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
con lo cual $$\left\{\begin{matrix}a&&& -&1& =& 1 \\ &&b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}a&&& && =& 2 \\ &&b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
Resulta así que $$P(x)=2\,x^2-1$$

b)
Sustituyendo la variable independiente por el valor dado,
$$P(2/3)=2\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2-1$$
y operando llegamos al valor pedido $$P(2/3)=-\dfrac{1}{9}$$
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Aplicación de la derivada a la optimización

ENUNCIADO. El beneficio neto mensual, en decenas de miles de euros, de una empresa que fabrica ciertos dispositivos viene dado por la función $$B(x)=1,2\,x-(0,1\,x)^3$$ donde $x$ es el número de dispositivos fabricados en un mes. Calcúlese la producción mensual que maximiza el beneficio, así como el valor máximo del mismo.

SOLUCIÓN.
La función $B(x)$ está definida ( atendiendo al significado de la misma ) para $x \ge 0$, tal como se muestra en el gráfico ( que no es necesario dibujar en el examen ). Para maximizar el beneficio, encontraremos primero los máximos relativos ( entre los extremos relativos de la función ) y, a partir, de estos, deduciremos el máximo absoluto.

Veamos, pues, cuáles son los extremos relativos. Imponiendo la condición necesaria $B'(x)=0$, obtenemos $$0=1,2-3\,(0,1\,x)^2\cdot (0,1x)'$$ es decir $$0=1,2-0,003\,x^2$$ luego los extremos relativos que aparecen tienen por abscisas $$x_{1}^{*}=-20 \quad \text{y}\quad x_{2}^{*}=20$$ Es evidente que la primera cae fuera del dominio de definición de la función.

Comprobemos, ahora, que la segunda corresponde a un máximo; para ello, empleamos el criterio del signo de la segunda derivada. La derivada segunda es $$B''(x)=-0,003x$$ luego $B''(x_{2}^{*})=B''(20)=-0,003\cdot 20 < 0$ y, por consiguiente, queda probado que esta segunda abscisa corresponde a un máximo relativo o local. Además, la función no presenta otros máximos relativos, luego el máximo es también absoluto, luego la abscisa encontrada da respuesta a la primera pregunta: la producción mensual que maximiza el beneficio es de $20$ unidades. Y dicho beneficio máximo es igual a $B(20)=1,2\cdot 20-(0,1\cdot 20)^3=16$ decenas de miles de euros.

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Encontrar las raíces y factorizar ( polinomios )

ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^4-2\,x^3-5\,x^2+6\,x$$

SOLUCIÓN. Un primer paso de factorización, en este caso, consiste simplemente en aplicar la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto: $$P(x)=x\,(x^3-2\,x^2-5\,x+6 )$$ luego una de la raíces es $r_1=0$.

A continuación, procedamos a obtener otras posibles raíces, que necesariamente han de ser también raíces del polinomio de tercer grado del segundo miembro. Una de las propiedades que hemos estudiado nos dice que las posibles raíces enteras del polinomio $x^3-2\,x^2-5\,x+6$ tenemos que buscarlas entre los divisores del término independiente ( que es $6$ ), esto es, en el conjunto $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$.

Ensayando el valor $x=1$, vemos que $\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right)_{x=1}=0$, luego $1$ es otra raíz de $P(x)$: $r_2=1$. Así, tenemos otro paso de factorización ( teorema del factor ), $$P(x)=x\,(x-1)\,Q(x)$$ Conocemos $Q(x)$ haciendo la división $$\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right) \div (x-1)$$ [que, por comodidad, podemos realizar por el método de Ruffini ] obteniendo $$Q(x)=x^2-x-6$$

El polinomio $P(x)$ ( que es de cuarto grado ) puede por tanto tener otras dos raíces más, que serían las de $Q(x)$. Procedemos pues a determinar las raíces de $Q(x)$. Al tratarse de un polinomio de segundo grado, disponemos de fórmula para encontrar, directamente, las raíces del mismo ( si es que las tiene ): la condición para encontrar raíces es $Q(x)=0$, luego $$0=x^2-x-6 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, vemos que $P(x)$ tiene otras dos raíces: $r_3=-2$ y $r_4=3$.

Resumiendo, el conjunto de raíces de $P(x)$ es $\{0,-2,1,3\}$, por lo que el polinomio factoriza de la siguiente forma $$P(x)=x\,(x-(-2))(x-1)(x-3)$$ esto es $$P(x)=x\,(x+2)(x-1)(x-3)$$
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Abrimos una cuenta bancaria, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del 1,7% ...

ENUNCIADO. Abrimos una cuenta bancaria, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $1,7\,\%$. Depositamos en dicha cuenta $1\,200,00$ euros y no realizamos otras operaciones. En el contrato se especifica que los intereses que producen la cantidad depositada ser harán efectivos cada dos meses.
a) Calcular la $\text{TAE}$ ( tasa anual equivalente )
b) Al cabo de cierto tiempo, retiramos el dinero de la cu enta: $1\,500\,00$ euros. ¿Durante cuánto tiempo hemos tenido el dinero en la cuenta?

SOLUCIÓN.
a)
Calculamos el valor de la $\text{TAE}$ mediante la fórmula deducida en clase:
$$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^f-1$$ Teniendo en cuenta que los intereses se acumulan al capital con una frecuencia $f$ de $\dfrac{12}{2}=6$ veces al año y que la tasa de interés anual en tanto por unidad es $i=\dfrac{1,7}{100}=0,017$ ya podemos aplicar la fórmula con estos datos, resultando $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{0,017}{6}\right)^6-1=0,0171=1,71\,\%$$

b)
El capital acumulado hasta un cierto instante de tiempo $t$ ( expresado en años ) viene dado por $$C(t)=C_0\cdot \left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Teniendo en cuenta que el capital final es igual a $1\,500\,00$ euros y que el capital inicial es $C_0=1\,200\,00$ euros ( recordemos, también que $f=6$ ), llegamos a una ecuación del tipo exponencial $$1500=1200\cdot \left(1+\dfrac{0,017}{6}\right)^{6\,t}$$ que simplificada queda $$\dfrac{5}{4}=1,0028^{6\,t}$$ Para despejar la incógnita $t$ extraemos logaritmos en ambos miembros de la igualdad $$\ln \dfrac{5}{4}=\ln 1,0028^{6\,t}$$ y por tanto $$\ln \dfrac{5}{4}=6t\cdot \ln 1,0028$$ luego $$t=\dfrac{\ln(5/4)}{6\cdot \ln 1,0028}\approx 13,009 \; \text{años}=13 \; \text{años}\; 3\quad \text{meses}\; 18 \; \text{días}$$
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Aplicación de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. En un instituto hay $160$ chicas matriculadas ( de las cuales $35$ estudian alemán ) y $150$ chicos matriculados ( de los cuales $40$ estudian alemán ). Se elige ( al azar ) una persona matriculada en dicho instituto.
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie alemán
b) Sabiendo que la persona elegida estudia alemán, ¿ cuál es la probabilidad de que sea una chica ? ¿ y de que sea un chico ?.

SOLUCIÓN. Denotemos los sucesos que se refieren a las características de una persona elegida al azar y que intervienen en el planteamiento del problema de la siguiente manera:
$A$: estudiar alemán
$M$: ser mujer
$V$: ser varón

a) Entonces, $$A=(A \cap M) \cup ( A \cap V)$$ Los sucesos que figuran entre paréntesis, en el segundo miembro, son incompatibles y constituyen una partición del espacio muestral $\Omega$ asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona', luego $$P(A)=P(A \cap M) + P(A \cap V)$$ y por la definición de probabilidad de sucesos condicionados podemos escribir lo anterior de la forma $$P(A)=P(A|M)\,P(M)+P(A|V)\,P(V)$$ Teniendo ahora en cuenta los datos del problema, $$P(A)=\dfrac{35}{160}\cdot \dfrac{160}{160+150}+\dfrac{40}{150}\cdot \dfrac{150}{160+150}=\dfrac{15}{62}\approx 24\,\%$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(M|A)=\dfrac{P(A|M)\,P(M)}{P(A)}$$ luego, con los datos, resulta $$P(M|A)=\dfrac{(35/160)\cdot (160/(160+150))}{15/62}=\dfrac{7}{15}\approx 47\,\%$$ y procediendo de manera análoga para $P(M|V)$, $$P(M|V)=\dfrac{P(V|M)\,P(M)}{P(A)}$$ resultando $$P(M|V)=\dfrac{(40/150)\cdot (150/(160+150))}{15/62}=\dfrac{8}{15}\approx 53\,\%$$
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