Aproximar y calcular el error

ENUNCIADO. Se aproxima el número $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ por $\bar{x}=1,62$. Se pide:

a) El error absoluto, $E$
b) El error relativo, $e$
c) Una cota del error absoluto, $\Delta$
d) Una cota del error relativo, $\varepsilon$

SOLUCIÓN.
La expresión decimal del número, $x$ ( que reconocemos como el número de áureo $\phi$ ) es $1,618033989\cdots$. Así, el error absoluto cometido en la aproximación es $E\overset{\text{def}}{=}|x-\bar{x}|=|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62|\overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 < 0,005$, luego tomamos $\Delta=0,005$, que es la cota convenida para aproximaciones por redondeo -- que es el caso de esta aproximación -- y que corresponde a media unidad del orden de la última cifra considerada ( la de las centésimas ).

$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{0,002}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \overset{\text{por exceso}}\approx 0,002 =0,2\,\% $


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Calcular el tiempo necesario y la TAE

ENUNCIADO. Un capital de $4\,500,00$ euros se quiere aumentar en un $10\,\%$. Para ello, se coloca al $1,5\,\%$ de interés ( compuesto ) anual, liquidando los intereses cada tres meses. ¿ Cuánto tiempo debe permanecer depositado dicho capital ? ¿ Cuál es la TAE ?.

SOLUCIÓN.
El capital final es $C_{\text{final}}=4500,00+4500,00\cdot0,1=1,1\cdot 4500,00=4950,00$ euros . Como el periodo de liquidación de intereses es trimestral, la frecuencia de dicha operación es $f=\dfrac{12}{3}=4$. Entonces, de la fórmula del capital final a interés compuesto, $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot \left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ donde $t$ denota el número de años; y, poniendo los datos, $$4950=4500\cdot \left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^{4t}$$ esto es $$\dfrac{11}{10}= \left(1,00375\right)^{4t}$$ Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,\dfrac{11}{10}=4t\,\ln\,{1,00375}$$ de donde, despejando $t$, $$t=\dfrac{\ln\,\frac{11}{10}}{4\cdot \ln\,1,00375}\approx 6,37\,\text{años} \approx 6\,\text{años y}\,5\,\text{meses}$$

Por último, procedemos a calcular la tasa anual equivalente: $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^f-1$$ que, con los datos del problema, es igual a $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^4-1\approx 0,0151 = 1,51\,\%$$

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Hacer los siguientes cálculos acerca de un préstamo

ENUNCIADO. Se desea comprar un piso cuyo precio es de $350\,000$ euros. Se quiere pagar de la siguiente manera: con unos ahorros, un pago inicial del $30\,\%$ del total; y, para pagar la cantidad restante, se pide un préstamo hipotecario a un banco, al $2\,\%$ de interés anual, a pagar en cuotas mensuales durante $20$ años. Se pide:

a) El valor de dichas mensualidades

b) ¿ Qué parte de la primera mensualidad corresponde al pago de intereses y qué parte corresponde a la amortización de capital ? ¿ Cuál es el montante de la deuda tras realizar el pago de la primera mensualidad ?.

SOLUCIÓN.
a)
Teniendo en cuenta la fórmula de la cuota, $q$, de amortización de un préstamo, $P$, $$q=P\cdot \dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}\cdot \dfrac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
El valor del préstamo es igual a $(1-0,3)\cdot 350\,000=245\,000$ euros; $i=0,02$; $t=20$ años; y, al tratarse de cuotas mensuales ( liquidación de intereses doce veces al año ), $f=12$; por tanto,
$$q=245\,000\cdot \dfrac{\left(1+\frac{0,02}{12}\right)^{20\cdot 12}\cdot \dfrac{0,02}{12}}{\left(1+\frac{0,02}{12}\right)^{20\cdot 12}-1}\approx 1239,41\; \text{euros}$$

b)
La parte de la 1.ª mensualidad destinada al pago de intereses es $$1239,41 \cdot 0,02=24,79\;\text{euros}$$ y la parte destinada a la amortización de capital $$1239,41 \cdot (1-0,02)=1241,63\;\text{euros}$$ por lo que el montante de la deuda en ese momento es igual a $$245\,000-1241,63=243\,785,37\;\text{euros}$$
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Resolver la siguiente ecuación cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{x^2-1}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando por $\text{m.c.m}(x-1,x+1,x^2-1)=\text{m.c.m}(x-1,x+1,(x-1)(x+1))=(x-1)(x+1)$ en ambos miembros de la ecuación, transformamos esta en una ecuación polinómica $$(x-1)(x+1)\dfrac{x}{x-1}-(x-1)(x+1)\,\dfrac{x}{x+1}=(x-1)(x+1)\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$$
$$x(x+1)-(x-1)x=1$$
$$x^2+x-x^2+x=1$$
$$2x=1$$
$$x=\dfrac{1}{2}$$
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Plantear y resolver el sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. La suma de tres números racionales es $1$; la diferencia entre la suma de los dos primeros y el tercero es $0$, y la diferencia entre la suma de los dos últimos y el primero es $2$. ¿ De qué números estamos hablando ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$, $y$, $z$ el primer, segundo y tercero de los números pedidos. Entonces,
$$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
x &+&y&-&z&=&0 \\
y &+&z&-&x&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
esto es
$$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
x &+&y&-&z&=&0 \\
-x &+&y&+&z&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones $$e_1-e_2 \rightarrow e_2$$ $$e_3+e_2 \rightarrow e_3$$ transformamos este sistema en el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
&&&&2z&=&1 \\
&&2y&&&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la tercera ecuación, y $z$ de la segunda $$y=1$$ $$z=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo, finalmente, dichos valores en la primera $$x+1+\dfrac{1}{2}=1$$ con lo cual, despejando $x$ de esta ecuación $$x=-\dfrac{1}{2}$$
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Calcular las raíces del polinomio y expresarlo como producto de factores polinómicos primos

ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$P(x)=2\,x^4-x^3-14\,x^2+19\,x-6$$

ENUNCIADO. Primero, trataremos de encontrar raíces racionales, que, por las propiedades estudiadas, sólo pueden ser aquellas cuyo numerador sea algún divisor de $-6$ ( el término independiente del polinomio ) y cuyo denominador sea algún divisor del coeficiente del término de mayor grado, que es $2$.

Vemos que $\text{div}(-6)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\}$ y $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$, luego las posibles raíces racionales ( incluidas las enteras ) son $$\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\,,\,\pm\dfrac{1}{2}\,,\,\dfrac{3}{2}\}$$

Empleando el teorema del resto, y dividiendo por Ruffini, vamos a ir probándolas. Observemos que $\text{resto}(P(x)\div (x-1))=0$ y, por tanto, una primera raíz es $r_1=1$; en efecto $$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & -1 & -14 & 19 & -6\\
1 & & 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline & 2 & 1 & -13 & 6 & 0\end{array}$$

entonces, por el teorema del factor, $$P(x)=(x-1)(2x^3+x^2-13x+6)$$ Las otras raíces de $P(x)$ ( si las hay ) deberán ser raíces de $2x^3+x^2-13x+6$. Podemos comprobar ( dividiendo otra vez por $(x-1)$ ) que el resto de $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-1)$ es distinto de $0$, por lo que $r_1=1$ sólo aparece una vez, con lo cual su multiplicidad es $1$. Probemos, a continuación el valor $2$, como posible raíz: al dividir $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-2)$ obtenemos resto igual a $0$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6 \\
2 & & 4 & 10 & -6\\
\hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$$

luego otra raíz es $r_2=2$, y ( otra vez ) por el teorema del factor $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x^2+5x-3)$$ Vemos, finalmente, si el polinomio remanente $2x^2+5x-3$ tiene, a su vez, raíces ( que serán también de $P(x)$ ); para ello, imponemos la condición necesaria $$2x^2+5x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot (-3)\cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}
1/2
\\
\text{ó}
\\
-3
\end{matrix}\right.$$
Por tanto $$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)\left(x-(-3)\right)$$ esto es
$$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)(x+3)$$
que es la respuesta a la segunda pregunta ( factorización de $P(x)$ ).

NOTA: Observemos que ha sido necesario, multiplicar por el factor $2$, para ajustar el producto de factores, pues ( recordemos que ) el coeficiente del término de mayor grado no es $1$ sino $2$.

También podemos dar el polinomio de la forma $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x-1)(x+3)$$

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